Ph9 Der freie Fall: Unterschied zwischen den Versionen
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b) <math>v=4,5\frac{m}{s}</math> ergibt für <math>t = \frac{v}{g}=\frac{4,5\frac{m}{s}}{9,8\frac{m}{s^2}}=0,46s</math> <br> | b) <math>v=4,5\frac{m}{s}</math> ergibt für <math>t = \frac{v}{g}=\frac{4,5\frac{m}{s}}{9,8\frac{m}{s^2}}=0,46s</math> <br> | ||
und für <math>h_0=\frac{1}{2}gt^2=\frac{1}{2}\cdot 9,8\frac{m}{s^2}\cdot (0,46s)^2= 1m</math> }} | und für <math>h_0=\frac{1}{2}gt^2=\frac{1}{2}\cdot 9,8\frac{m}{s^2}\cdot (0,46s)^2= 1m</math> }} | ||
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| + | {{Aufgaben-blau|5|2=Wie tief ist der Brunnen? | ||
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| + | [[Datei:Nürnberg,_Burg,_Tiefer_Brunnen,_003.jpg|thumb]] | ||
| + | Beim Wandertag geht es nach Nürnberg und bei einer Führung in der Nürnberger Burg kommt man auch zum Brunnenhaus und kann sich den "tiefen Brunnen" ansehen. Ein Theo lässt einen Stein in den Brunnen fallen und stoppt 3,44s für die Zeit, bis er das Auftreffen des Steins hört.<br> | ||
| + | a) Theo berechnet die Tiefe des Brunnens mit der Formel <math>h(t) = \frac{1}{2}gt^2</math>. Welchen Wert für die Tiefe des Brunnens erhält er?<br> | ||
| + | b) Martha wendet zu Theos Rechnung aber ein: "Der Wert kann nicht stimmen, denn er berücksichtigt nicht die Zeit, die der Schall für die Strecke vom Boden des Brunnens bis zu Theos Standort benötigt. Die Gesamtzeit setzt sich aus der Fallzeit des Steins und der Zeit, die der Schall nach oben braucht zusammen." <br> | ||
| + | Wie tief ist der Brunnen, wenn man die Zeit des Schalls mit berücksichtigt?<br> | ||
| + | Die Geschwindigkeit des Schalls in Luft ist <math>v_{Schall}\approx 340\frac{m}{s}</math>. }} | ||
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| + | {{Lösung versteckt|1=a) Für den freien Fall eines Körpers kennt man aus der Physik die Formel <math> h = \frac{1}{2}gt^2</math>. Dabei ist g die Erdbeschleunigung <math>g = 9,81\frac{m}{s^2}</math>. <br> | ||
| + | Setzt man die gemessene Zeit t = 3,44s in die Gleichung für h, dann erhält man <math>h=\frac{1}{2}\cdot 9,81\cdot {m}{s^2}\cdot (3,44s)^2=58m</math>. | ||
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| + | b) Sophie hat mit ihrem Einwand natürlich Recht. Die gemessene Zeit setzt sich zusammen aus der <br> | ||
| + | * Fallzeit <math>t_{Stein}</math>des Steins und<br> | ||
| + | * der Zeit <math>t_{Schall}</math>, die der Schall vom Boden bis zum Standort <br> | ||
| + | braucht. Es ist <math>3,44s = t_{Stein} + t_{Schall}</math>.<br> | ||
| + | Der Stein und der Schall legen beide jeweils den Weg <math>h</math> zurück. Dabei macht der Stein eine Bewegung mit konstanter Beschleunigung und der Schall eine Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit.<br> | ||
| + | Der Stein wird mit konstanter Beschleunigung beschleunigt, dabei ist der zurückgelegte Weg <math>h = \frac{1}{2}gt_{Stein}^2</math>.<br> | ||
| + | Der Schall macht eine Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit, dabei ist der zurückgelegte Weg <math>h=c_{Schall}t</math>, wobei <math>c_{Schall} \approx 340\frac{m}{s}</math> ist.<br> | ||
| + | Da in beiden Fällen der gleiche Weg <math>h</math> zurückgelegt wird, kann man die beiden Gleichungen gleich setzen. <br> | ||
| + | <math>\frac{1}{2}gt_{Stein}^2=c_{Schall}t</math><br> | ||
| + | Dies ist eine Gleichung mit zwei Unbekannten <math>t_{Stein}</math> und <math>t_{Schall}</math>.<br> | ||
| + | Von Sophia wissen wir, dass <math>3,44s = t_{Stein} + t_{Schall}</math> ist. Das ist die zweite Gleichung.<br> | ||
| + | Man hat ein Gleichungssystem mit zwei Unbekannten:<br> | ||
| + | (1) <math>\frac{1}{2}gt_{Stein}^2=c_{Schall}t</math><br> | ||
| + | (2) <math>3,44s = t_{Stein} + t_{Schall}</math><br> | ||
| + | Löst man (2) nach <math>t_{Schall}</math> auf und setzt den erhaltenenen Term in (1) ein, dann hat man<br> | ||
| + | <math>\frac{1}{2}gt_{Stein}^2=c_{Schall}(3,44s - t_{Stein})</math><br> | ||
| + | Man erhält eine quadratische Gleichung für <math>t_{Stein}</math>: <math>\frac{1}{2}gt_{Stein}^2+c_{Schall}t_{Stein}-c_{Schall }\cdot 3,44s=0</math><br> | ||
| + | Mit der Lösungsformel erhält man <math>t_{Stein 1,2}=\frac{-c_{Schall} \pm \sqrt {(c_{Schall})^2+4\cdot \frac{1}{2}g\cdot c_{Schall}\cdot 3,44s}}{2\cdot \frac{1}{2}g}= \frac{-340\frac{m}{s} \pm \sqrt {(340\frac{m}{s})^2+4\cdot \frac{1}{2}\cdot 9,81 \frac{m}{s^2} \cdot 340\frac{m}{s}\cdot 3,44s}} {2\cdot \frac{1}{2}9,81\frac{m}{s^2}}</math><br> | ||
| + | Das -Zeichen vor der Wurzel kann man weglassen, da sonst im Zähler etwas Negatives stehen würde und damit die Zeit negativ wäre. Dies kann nicht sein. Also kann man gleich nur mit dem + rechnen. Setzt man die Werte ein, dann erhält man <matsh>t_{Stein}=3,284s<br> und für den Schall <math>t_{Schall}=0,156s</math>.<br> | ||
| + | Damit erhält man für die Tiefe des Brunnens <br> | ||
| + | * bei der Bewegung mit konstanter Beschleunigung des Steins <math>h=\frac{1}{2}\cdot 9,81\frac{m}{s^2}\cdot (3,284s)^2=52,9m</math><br> | ||
| + | * bei der Bewegung des Schalls mit konstanter Geschwindigkeit <math>h=340\ frac{m}{s}\cdot 0,156s=53,0m</math>. }} | ||
Version vom 22. Februar 2021, 19:01 Uhr
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und 
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. Merke
Der freie Fall ist eine Bewegung mit konstanter Beschleunigung (ohne Berücksichtigung des Luftwiderstandes).  und  |
, die auf die Erde wirkt und was bewirkt sie?
ist die Beschleunigung, die auf die Erde wirkt 
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.
kann man nach t auflösen. Es ist 
und 
.
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durch die Gleichung 
gegeben. Man erhält 
ergibt für 
. Welchen Wert für die Tiefe des Brunnens erhält er?
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. Dabei ist g die Erdbeschleunigung 
. 
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des Steins und
, die der Schall vom Boden bis zum Standort 
.
zurück. Dabei macht der Stein eine Bewegung mit konstanter Beschleunigung und der Schall eine Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit.
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, wobei 
ist.
.
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