M9 Die allgemeine Wurzel: Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 1. März 2021, 14:19 Uhr

Zu Beginn des Schuljahres haben wir als die positive Zahl definiert, die quadriert a ergibt. Diese Definition wird nun erweitert.

Merke: Die n-te Wurzel aus a mit nN\{1} und aR+0 ist diejenige nicht negative reelle Zahl, deren n-te Potenz a ist. Die Zahl a unter dem Wurzelzeichen heißt Radikand, n ist der Wurzelexponent. Es ist 1. 2. 3. falls a ≥ 0 Für schreibt man auch .

Wenn a < 0 ist, dann hat die quadratische Gleichung x² = a keine Lösung. Wenn nun n eine ungerade Zahl ist, dann gibt es Lösungen. Die Gleichung x³ = -8 hat die Lösung x = -2, da (-2)³ = -8 ist. Also kann man unterscheiden:

Merke Die Gleichung xn = a kann zwei Lösungen, eine Lösung oder keine Lösung haben, je nachdem ob: n gerade ist und a > 0, dann ist L={} a = 0, dann ist L = {0} a < 0, dann ist L = { } n ungerade ist und a > 0, dann ist L={} a = 0, dann ist L = {0} a < 0, dann ist L = {}

Beispiele:

Mit der n-ten Wurzel hat man die Möglichkeit weitere Gleichungen zu lösen:
x³ = 216 hat die Lösung x = 6
x³ = -216 hat die Lösung x = -6
x⁵ = 1024 hat die Lösung x = 4
x⁴ = 256 hat die Lösungen x = -4 und x = 4
x⁴ = 2401 hat die Lösungen x = -7 und x = 7
x⁵ = -243 hat die Lösung x = -3
x⁴ = -256 hat die keine Lösung

  Aufgabe 1

Buch S. 111 / 1, 2, 3, 4

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111/1 a) 2; 6; 3; 2; 10; 0; 1
b) 20; 400; 10; 100; 3; 1
c) 0,3; 0,2; 0,05; ; ; 8

111/2

111/3 a) D = und ...= a²
D = und ...= b³
D = und ...=
D = und ...= 3·b²

b) D = und ...= d^-1
D = und ...= e^-2
D = und ...= f^-2
D = und ...= 17b

c) D = und ...= 5·g²
D = und ...= 10·h²
D = und ...= 5·k^0,2n+1 D = und ...= 12·b²

111/4 a) --> , L = {-5}
b) --> L = { }
c) --> , L = {}
d) --> , L = {}
e) --> , L = {-3,3}

f) --> , L = {0}