M9 Die allgemeine Wurzel: Unterschied zwischen den Versionen

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{{Merke|1=Es ist <math>\sqrt [n]{a^n} = a = (\sqrt [n]{a})^n</math>. }}
  
  

Version vom 11. März 2021, 12:20 Uhr

Zu Beginn des Schuljahres haben wir \sqrt a als die positive Zahl definiert, die quadriert a ergibt. Diese Definition wird nun erweitert.

Maehnrot.jpg
Merke:

Die n-te Wurzel \sqrt [n] {a} aus a mit n\inN\{1} und a\inR+0 ist diejenige nicht negative reelle Zahl, deren n-te Potenz a ist.

(\sqrt [n] {a})^n = a

Die Zahl a unter dem Wurzelzeichen heißt Radikand, n ist der Wurzelexponent.

Es ist 1. \sqrt [n] {a} \ge 0
2. (\sqrt [n] {a})^n = a
3. \sqrt [n] {a^n} = a falls a ≥ 0

Für \sqrt [n] {a} schreibt man auch \sqrt [n] {a} = a^{\frac{1}{n}}.

Beispiele: \sqrt [5] {1024} = 4 Tipp: Mache die Umkehrrechnung 4^5=1024!
\sqrt [4] {0,0016} = 0,2
\sqrt [10] {1024} = 2
\sqrt [3] {216} = 6
\sqrt [5] {243} = 3
\sqrt [3] {729} = 9

Wenn a < 0 ist, dann hat die quadratische Gleichung x2 = a keine Lösung. Wenn nun n eine ungerade Zahl ist, dann gibt es Lösungen. Die Gleichung x3 = -8 hat die Lösung x = -2, da (-2)3 = -8 ist. Also kann man unterscheiden:

Nuvola apps kig.png   Merke

Die Gleichung xn = a kann zwei Lösungen, eine Lösung oder keine Lösung haben, je nachdem ob:

n gerade ist und
a > 0, dann ist L={-\sqrt [n] {a}, \sqrt [n] {a}}
a = 0, dann ist L = {0}
a < 0, dann ist L = { }

n ungerade ist und
a > 0, dann ist L={\sqrt [n] {a}}
a = 0, dann ist L = {0}
a < 0, dann ist L = {-\sqrt [n]{-a}} (Wenn a < 0 ist, dann ist -a > 0!)



Mit der n-ten Wurzel hat man die Möglichkeit weitere Gleichungen zu lösen:
x3 = 216 hat die Lösung x = 6
x3 = -216 hat die Lösung x = -6
x5 = 1024 hat die Lösung x = 4
x4 = 256 hat die Lösungen x = -4 und x = 4
x4 = 2401 hat die Lösungen x = -7 und x = 7
x5 = -243 hat die Lösung x = -3
x4 = -256 hat die keine Lösung


Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe 1

Buch S. 111 / 1, 2

111/1 a) 2; 6; 3; 2; 8; 10; 0; 1
b) 20; 400; 10; 100; 3; 1
c) 0,3; 0,2; 0,05; \frac{2}{3}; \frac{4}{3}; 2; \frac{1}{4}=0,25; 1,5

111/2

111-2.jpg


Für die kommenden Aufgaben sind die Potenzgesetze hilfreich.


Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe Wiederholung der Potenzgesetze

Zum Wiederholen und Üben der Potenzgesetze: Potenzgesetze, Aufgaben 1, Aufgaben 2

Nuvola apps kig.png   Merke

Es ist \sqrt [n]{a^n} = a = (\sqrt [n]{a})^n.


Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe 2

Buch S. 111 / 3, 4

111/3 a) D = R_0^+ und ...= a2
D = R_0^+ und ...= b3
D = R_0^+ und ...= c^{\frac{1}{3}} = \sqrt [3]{c}
D = R_0^+ und ...= 3·b2

b) D = R^+ und ...= d-1
D = R^+ und ...= e-2
D = R^+ und ...= f-2
D = R_0^+ und ...= 17b

c) D = R_0^+ und ...= 5·g2
D = R^+ und ...= 10·h2
D = R_0^+ und ...= 5·k0,2n+1 D = R_0^+ und ...= 12·b2

111/4 a) x^3 = - 125 --> x = -5, L = {-5}
b) x^6 = - 32 --> L = { }
c) x^2 = 8 --> x =\pm 2\sqrt 2, L = {-2\sqrt2;2\sqrt2}
d) x^4 = 8 --> x =\pm \sqrt [4]{8}, L = {-\sqrt [4]{8};\sqrt [4]{8}}
e) x^4 = 81 --> x = \pm 3, L = {-3,3}

f) x^5 = 0 --> x = 0, L = {0}


Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe 3

Buch S. 112 / 8

V = 216 dm3 entspricht einem Würfel mit Seitenlänge s = 6 dm.
Der Oberflächeninhalt ist O = 6·36 dm2=216 dm2.

25% mehr, heißt Multiplikation mit 1,25, also 216dm2·1,25 = 270 dm2, also braucht man 270 dm2 Pappe.
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