M10 Der Logarithmus: Unterschied zwischen den Versionen
Zeile 51: | Zeile 51: | ||
3. <math>log_2 (6) log_2(48) = log_2(\frac{6}{48})=log_2(\frac{1}{8})=log_2(2^{-3})=-3</math> | 3. <math>log_2 (6) log_2(48) = log_2(\frac{6}{48})=log_2(\frac{1}{8})=log_2(2^{-3})=-3</math> | ||
− | {{Merke|1=Für <math> | + | {{Merke|1=Für <math>log_{10}</math> schreibt man <math>lg</math> |
− | Für <math>log_e</math> schreibt man <math>ln</math>, wenn e die Eulersche Zahl e = 2, 718 281 828 459 045 235 360 287 ... ist.}} | + | Für <math>log_e</math> schreibt man <math>ln</math>, wenn e die Eulersche Zahl e = 2, 718 281 828 459 045 235 360 287 ... ist. |
+ | |||
+ | Diese beiden Symbole findest du auch auf dem Taschenrechner.}} | ||
4. <math>lg(\sqrt {250})-lg(\sqrt 2)+0,5lg(8)=lg({\frac{\sqrt {250} \cdot \sqrt 8}{\sqrt 2}}= lg(\sqrt{1000} =\log(10^{\frac{3}{2}})=\frac{3}{2}</math> | 4. <math>lg(\sqrt {250})-lg(\sqrt 2)+0,5lg(8)=lg({\frac{\sqrt {250} \cdot \sqrt 8}{\sqrt 2}}= lg(\sqrt{1000} =\log(10^{\frac{3}{2}})=\frac{3}{2}</math> |
Version vom 22. März 2021, 08:50 Uhr
Die Gleichung ist ganz leicht zu lösen. Man erhält
. Dies geht immer gut, wenn der Wert auf der rechten Seite eine Potenz der Basis ist, also
hat die Lösung
,
hat die Lösung
,
hat die Lösung
.
Doch was macht man, wenn die Gleichung lautet?
Man hatte schon einmal ein ähnliches Problem. Die Gleichung hat die Lösungen
und
. Für die Gleichung
hat man dann neue Zahlen eingeführt, die Wurzeln, und die Gleichung hatte die Lösungen
.
Für die Gleichung muss man, um eine Lösung zu haben, neue Zahlen einführen, die Logarithmen bzw. den Logarithmus.
Merke:
Die Gleichung Man spricht für |
Beispiele: hat die Lösung
hat die Lösung
hat die Lösung
hat die Lösung
Merke:
Es ist
Rechengesetze des Logarithmus Logarithmus eines Produkts: Logarithmus eines Quotienten: Logarithmus einer Potenz: |
Zur Begründung der Rechenregeln:
1. erhält man durch folgende Überlegung:
und
. Dann ist
, also
.
Da und
ist erhält man
.
2. erhält man durch folgende Überlegung:
und
. Dann ist
, also
.
Da und
ist erhält man
.
Beispiele:1.
2.
3.
Für Für Diese beiden Symbole findest du auch auf dem Taschenrechner. |
4.
Merke:
Basiswechsel: |