Rationale Funktionen Indirekte Proportionalitaet: Unterschied zwischen den Versionen

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x bezeichne die Anzahl der Kinder und y die Anzahl der Schokoladenstückchen, die jedes Kind bekommt. <br>
 
x bezeichne die Anzahl der Kinder und y die Anzahl der Schokoladenstückchen, die jedes Kind bekommt. <br>
  
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c) Betrachte die Produkte <math>x\cdot y</math>. Was stellst du fest?
 
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Version vom 29. Juli 2013, 15:36 Uhr

Eine Tafel Schokolade mit 24 Stücken soll auf Kinder verteilt werden. Wie viele Stückchen bekommt jedes Kind?

x bezeichne die Anzahl der Kinder und y die Anzahl der Schokoladenstückchen, die jedes Kind bekommt.


Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe 1

a) Vervollständige die Tabelle: http://wikis.zum.de/rsg/images/6/67/Tab-24-x.jpg

b) Zeichne den Graph für dieses Beispiel.

c) Betrachte die Produkte x\cdot y. Was stellst du fest?


a) http://wikis.zum.de/rsg/images/3/31/Tab-24-x-lsg.jpg

b)
http://wikis.zum.de/rsg/images/b/bc/24-x.jpg

c) Es ist immer x\cdot y = 24.
Nuvola apps kig.png   Merke


Eine Zuordnung zwischen zwei Größen x und y heißt indirekt proportional, wenn das Produkt x\cdot y für alle Paare (x,y) stets konstant ist, also x\cdot y = m.


In diesem Beispiel ist x eine natürliche Zahl zwischen 1 und 24.

Man kann die Funktion f: x \rightarrow \frac{24}{x} allgemein für alle reellen Zahlen x \not = 0 erklären.
Der Graph dieser Funktion schaut dann so aus:

http://wikis.zum.de/rsg/images/6/64/F24-x-graph.jpg

Der Graph einer indirekten Proportionalität heißt Hyperbel.


Nuvola apps kig.png   Merke

Die Funktion f:x \rightarrow \frac{m}{x} mit einer reellen Zahl m \not = 0 heißt indirekte Proportionalität oder indirekt proportionale Funktion.


Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe 2

Bestimme die Definitionsmenge und die Wertemenge der Funktion f:x \rightarrow \frac{24}{x}.

Ist der Graph symmetrisch bezüglich des Koordinatensystems?

Da x im Nenner steht, darf x nicht 0 sein, also ist die Definitionsmenge R\{0}.

Eine solche Stelle, an der der Funktionsterm nicht definiert ist und in deren Nähe die Funktionswerte nach + Unendlich oder - Unendlich gehen, heißt Polstelle.

http://wikis.zum.de/rsg/images/6/64/F24-x-graph.jpg

Aus dem Graph sieht man, dass 0 als Funktionswert nicht angenommen wird, ansonsten kommen alle reelle Zahlen als y-Werte vor, also ist die Wertemenge auch R\{0}.

Desweiteren sieht man, dass der Graph punktsymmetrisch zum Ursprung ist.


Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe 3

a) Stelle in diesem Applet


den Schieberegler für m so ein, dass der Graphen der Funktion f:x \rightarrow \frac{24}{x} angezeigt wird.

b) Beschreibe wie du den Graphen der Funktion f:x \rightarrow \frac{24}{x} aus dem Graphen der Funktion f:x \rightarrow \frac{1}{x} erhältst?

c) Beantworte die Fragen auf dieser Seite (wird im Mozilla Firefox nicht alles angezeigt, also mit Internet Explorer öffnen!).

a) m = 24

b) Jeder y-Wert der Funktion f:x \rightarrow \frac{1}{x} wird mit 24 multiplilziert. Der Graph von f:x \rightarrow \frac{1}{x} wird in y-Richtung um den Faktor 24 gestreckt.

Der Funktionsterm von http://wikis.zum.de/rsg/images/0/05/F24-x.jpg ist ein Bruch, in dessen Nenner die Variable x vorkommt. Kommen im Nenner der Funktion f auch andere Terme mit x vor, z.B. http://wikis.zum.de/rsg/images/e/eb/Bspl-rationale-funktion.jpg oder http://wikis.zum.de/rsg/images/d/dd/Bspl-rationale-funktion2.jpg dann spricht man von rationalen Funktionen.

Internetlinks:

Mehr über indirekte Proportionalität wiederholst du in diesem Lernpfad.

Alles über Hyperbeln

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