M8 Potenzen mit ganzzahligen Exponenten: Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 14. Mai 2020, 15:12 Uhr

In Physik oder Chemie gibt es eine wissenschaftliche Schreibweise für Größen. Man gibt die Größe als Zahl mit Einheit und oftmals ist die Zahl mit Zehnerpotenzen geschrieben. Dies macht man gerne, da man sonst den Zahlenwert nur sehr schwer lesen kann. Zum Beispiel ist die Masse der Erde m = 6000000000000000000000000 kg. Man kann die Zahl durch Dreierbündel der Nullen etwas übersichtlicher gestalten m = 6 000 000 000 000 000 000 000 000 kg. Aber sehr viel einfacher wird es dadurch auch nicht. Daher schreibt man gerne m = 6·10²⁴ kg. Diese Schreibweise schaut doch wenn man ihre Bedeutung kennt sehr viel einfacher aus.
Was heißt 10²⁴?
10²⁴ ist eine Potenz 10 ist die Basis 24 der Exponent. Eine Potenz ist eine Abkürzung für ein Produkt mit lauter gleichen Faktoren.
Hier ist 10²⁴=10·10·10·10·10·10·10·10·10·10·10·10·10·10·10·10·10·10·10·10·10·10·10·10. Der Faktor 10 kommt 24 mal vor.

Merke

aⁿ ist eine Potenz, a ist die Basis, n der Exponent.

Potenzen kennst du schon. Meist ist die Basis eine natürliche Zahl, ebenso der Exponent.

Was macht man aber, wenn man eine sehr kleine Zahl hat? Der Atomdurchmesser ist circa 0,0000000001m. Dies ist auch sehr unübersichtlich zu lesen. Kann man diese Zahl auch mit einer Zehnerpotenz schreiben?

10⁵	:10
10⁴	:10
10³	:10
10²	:10
10¹	:10
???	:10
???	:10

In dieser Tabelle hat man mit der Zehnerpotenz 10⁵ angefangen. 10⁵ wird durch 10 dividiert und man erhält in der nächsten Zeile 10⁴. 10⁴ wird durch 10 dividiert und man erhält in der nächsten Zeile 10³. 10³ wird durch 10 dividiert und man erhält in der nächsten Zeile 10². 10² wird durch 10 dividiert und man erhält 10¹. Wie geht es nun weiter?

Merke

Bei diesem Vorgehen dividiert man eine Zehnerpotenz durch 10 und der Exponent verringert sich dabei um 1, also 10ⁿ : 10 = 10^n-1.

Macht man dieses Verfahren nun weiter, so erhält man:

10²	:10
10¹	:10
10⁰	:10
10^-1	:10
10^-2	:10
10^-3	:10
10^-4	:10
usw.

Nun hat man plötzlich Potenzen mit negativen Exponenten. In unserem Fall 10^-n. Aber die Werte dieser Potenzen kennt man schon. Es ist:

10² =100	:10
10¹=10=:10=10	:10
10⁰=10:10=1	:10
10^-1=1:10=0,1	:10
10^-2=0,1:10=0,01	:10
10^-3=0,01:10=0,001	:10
10^-4=0,001:10=0,0001	:10
usw.

Merke

Also kann man sagen, 10^-n ist eine Dezimalzahl mit n Nachkommastellen. Die letzte Nachkommastelle ist 1, alle anderen sind 0.
Zahlen wie 10^-4=0,001:10=0,0001 kennst du bereits. Es ist $10^{-4}=0,0001 = \frac{1}{10000}=\frac{1}{10^4}$
Also ist $10^{-4}=\frac{1}{10^4}$ oder allgemein $10^{-n}=\frac{1}{10^n}$