M8 Potenzen mit ganzzahligen Exponenten: Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 26. Juli 2020, 06:40 Uhr

In Physik oder Chemie gibt es eine wissenschaftliche Schreibweise für Größen. Man gibt die Größe als Zahl mit Einheit und oftmals ist die Zahl mit Zehnerpotenzen geschrieben. Dies macht man gerne, da man sonst den Zahlenwert nur sehr schwer lesen kann. Zum Beispiel ist die Masse der Erde m = 6000000000000000000000000 kg. Man kann die Zahl durch Dreierbündel der Nullen etwas übersichtlicher gestalten m = 6 000 000 000 000 000 000 000 000 kg. Aber sehr viel einfacher wird es dadurch auch nicht. Daher schreibt man gerne m = 6·10²⁴ kg. Diese Schreibweise schaut doch wenn man ihre Bedeutung kennt sehr viel einfacher aus.
Was heißt 10²⁴?
10²⁴ ist eine Potenz 10 ist die Basis 24 der Exponent. Eine Potenz ist eine Abkürzung für ein Produkt mit lauter gleichen Faktoren.
Hier ist 10²⁴=10·10·10·10·10·10·10·10·10·10·10·10·10·10·10·10·10·10·10·10·10·10·10·10. Der Faktor 10 kommt 24 mal vor.

Merke

aⁿ ist eine Potenz, a ist die Basis, n der Exponent.

Potenzen kennst du schon. Meist ist die Basis eine natürliche Zahl, ebenso der Exponent.

Was macht man aber, wenn man eine sehr kleine Zahl hat? Der Atomdurchmesser ist circa 0,0000000001m. Dies ist auch sehr unübersichtlich zu lesen. Kann man diese Zahl auch mit einer Zehnerpotenz schreiben?

10⁵		:10
10⁴		:10
10³		:10
10²		:10
10¹		:10
???		:10
???		:10

In dieser Tabelle hat man mit der Zehnerpotenz 10⁵ angefangen. 10⁵ wird durch 10 dividiert und man erhält in der nächsten Zeile 10⁴. 10⁴ wird durch 10 dividiert und man erhält in der nächsten Zeile 10³. 10³ wird durch 10 dividiert und man erhält in der nächsten Zeile 10². 10² wird durch 10 dividiert und man erhält 10¹. Wie geht es nun weiter?

Merke

Bei diesem Vorgehen dividiert man eine Zehnerpotenz durch 10 und der Exponent verringert sich dabei um 1, also 10ⁿ : 10 = 10^n-1.

Macht man dieses Verfahren nun weiter, so erhält man:

10²		:10
10¹		:10
10⁰		:10
10^-1		:10
10^-2		:10
10^-3		:10
10^-4		:10
usw.

Nun hat man plötzlich Potenzen mit negativen Exponenten. In unserem Fall 10^-n. Aber die Werte dieser Potenzen kennt man schon. Es ist:

10² =100		:10
10¹=100:10=10		:10
10⁰=10:10=1		:10
10^-1=1:10=0,1= $\frac{1}{10}$		:10
10^-2=0,1:10=0,01= $\frac{1}{100}$		:10
10^-3=0,01:10=0,001= $\frac{1}{1000}$		:10
10^-4=0,001:10=0,0001= $\frac{1}{10000}$		:10
usw.

Man hat eine 10-Potenz z.B. 10². Man kommt zur nächstkleineren Zehnerpotenz, indem man durch 10 teilt. Also ist die nach 10² nächskleinere 10-Potenz 10¹ und man erhält deren Wert, indem man 100:10 = 10 berechnet. Die nächstkleinere 10-Potenz ist dann 10⁰ und man erhält deren Wert, indem man 10 :10 = 1 berechnet. Die nächstkleinere 10-Potenz ist dann 10^-1 und man erhält deren Wert, indem man 1 : 10 = 0,1 berechnet. usw.

Merke

Also kann man sagen, 10^-n ist eine Dezimalzahl mit n Nachkommastellen. Die letzte Nachkommastelle ist 1, alle anderen sind 0.
Zahlen wie 10^-4=0,001:10=0,0001 kennst du bereits. Es ist $10^{-4}=0,0001 = \frac{1}{10000}=\frac{1}{10^4}$
Also ist $10^{-4}=\frac{1}{10^4}$ oder allgemein $10^{-n}=\frac{1}{10^n}$

Für unseren Atomdurchmesser 0,0000000001m bedeutet dies, dass die Zahl 10 Nachkommastellen hat und die letze Ziffer ist 1, also ist 0,0000000001m = 10^-10m.

Merke:

Man definiert Potenzen aⁿ mit ganzzahligen Exponenten:
Ist n eine natürliche Zahl, dann ist $a^n = a\cdot a\cdot a \cdot ... \cdot a$ (mit n gleichen Faktoren a), $a^0 = 1$ und $a^{-n}= \frac{1}{a^n}$

Beispiele
$4^{-1}=\frac{1}{4}=0,25$
$5^{-2}=\frac{1}{5^2}=\frac{1}{25}=0,04$
$\frac{1}{2}^{-3}=\frac{1}{\frac{1}{2}^3}=\frac{1}{\frac{1}{8}}=8$
$(-\frac{1}{2})^{-4}=\frac{1}{(-\frac{1}{2})^4}=\frac{1}{\frac{1}{16}}=16$

Aufgabe 1

Berechne ohne Taschenrechner den Termwert und
1. gib ihn als Dezimalzahl an.
$a) \quad 0,5^3 \qquad 0,5^{-1} \qquad (-0,5)^{-2} \qquad (-0,5)^{-3} \qquad (\frac{1}{0,5})^{-1} \qquad (-\frac{1}{0,5})^{-1}$
$b) \quad (\frac{1}{10})^2 \qquad (-0,1)^{-1} \qquad (\frac{1}{0,001})^2 \qquad (-0,1)^{-3} \qquad (-100)^{-3} \qquad (-0,001)^0$

2. $a) \quad 0,2^0+0,2^1+0,2^2+0,2^3+0,2^4$
$b) \quad 0,5^0-(-2)^0+0,5^1-(-2^{-2})+0,5^2$

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1
a) 0,5³=0,5·0,5·0,5 = 0,125
0,5^-1 = 1/0,5 = 2
(-0,5)^-2 = 4
$\left ( \frac{1}{0,5}\right )^{-1}=\frac{1}{\frac{1}{5}}=0,5$
$\left ( -\frac{1}{0,5}\right )^{-1}=\frac{1}{-\frac{1}{5}}=-0,5$
b) $\left ( \frac{1}{10} \right )^2=\frac{1}{100}=0,01$
$(-0,1)^{-1}=\frac{1}{-0,1}=-\frac{1}{\frac{1}{10}}=-10$
$\left ( \frac{1}{0,001} \right )^2=\frac{1}{0,000001}=\frac{1}{\frac{1}{1000000}}=1000000=10^6$
$(-0,1)^{-3}=\frac{1}{(-0,1)^3}=\frac{1}{-0,001}=-1000$
$(-100)^{-3}=\frac{1}{(-100)^3}=\frac{1}{1000000}=\frac{1}{10^6}=-10^{-6}$
(-0,001)⁰ = 1

2.
a) 0,2⁰ + 0,2¹ + 0,2² + 0,2³ + 0,2⁴ = 1 + 0,2 + 0,04 + 0,008 + 0,0016 = 1.2496

b) 0,5⁰ - (-2)⁰ + 0,5¹ - (-2^-2) + 0,5² = 1 - 1 + 0,5 - (-0,25) + 0,25 = 1

Aufgabe 2

Bevor du im Buch S. 133/5 die Aufgabe bearbeitest, schaue dir dieses Video an.

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a) 149 600 000 km = 1,496·10⁸km
1,52143·10⁸km
1,47057·10⁸km
1,2756·10⁴km = 1,2756·10⁷m
1,2713·10⁴km
5,974·10²¹t =5,974·10²⁴kg
1,087·10¹²km³
5,101·10⁸km²
b) 9,1·10^-28g = 9,1·10^-31kg

-1,6·10^-19As

Aufgabe 3

Schaue dir diesen Video an:

Formuliere ein Rechengesetz dazu.

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Im Beispiel $2^2:2^7=2^{2-7}=2^{-5}$ , also allgemein $a^m:a^n=a^{m-n}$ auch für negative Exponenten.

Merke:

Auch für Potenzen mit negativen Exponenten gelten weiterhin die Potenzgesetze.

Potenzen mit gleicher Basis:
$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$
$a^m : a^n = a^{m-n}$

Potenzen mit gleichem Exponenten
$a^n \cdot b^n = (a\cdot b)^n$
$a^n : b^n = \left( \frac{a}{b} \right)^n$

Potenzieren einer Potenz
$\left ( a^m \right )^n = a^{m \cdot n}$

Beachte: Die Potenzgesetze gelten nur beim Multiplizieren und Dividieren von Potenzen.
Bei der Addition und Subtraktion von Potenzen kann man nichts machen!

Aufgabe 4

Formuliere die Aussagen der Potenzgesetze in Worten.

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Zwei Potenzen mit gleicher Basis werden multipliziert, indem man die Basis beibehält und die Exponenten addiert.
Zwei Potenzen mit gleicher Basis werden dividiert, indem man die Basis beibehält und die Exponenten subtrahiert.
Zwei Potenzen mit gleichem Exponenten werden multipliziert, indem man die Basen multipliziert und den Exponenten beibehält.
Zwei Potenzen mit gleichem Exponenten werden dividiert, indem man die Basen dividiert und den Exponenten beibehält.

Eine Potenz wird potenziert, indem man die Exponenten multipliziert.

Beispiele:
1. x⁵ · x⁴ = x⁵⁺⁴ = x⁹
x⁵ · x^-4 = x^5-4 = x¹ = x
4x^-5 · x^-4 = 4x^-5-4 = 4x^-9
2. x⁵ : x^-4 = x^5-(-4) = x⁵⁺⁴ = x⁹
2x^-4 : x^-7 = 2x^-4-(-7) = 2x^-4+7 = 2x³
3. (x^-2)³ = x^-2·3 = x^-6
(x^-4)^-3 = x^-4·(-3) = x¹²
(0,5x^-3)^-2 = 0,5^-2x^-3·(-2) = 4x⁶
4. a^1-m · 2^1-m = (2a)^1-m
(ab)⁶ : (ac)⁵ = $\left ( \frac{ab}{ac} \right )^5=\left ( \frac{b}{c} \right ) ^5$
(abc)⁵ · (-abc)^2m+1 = (abc)⁵ · [-(abc)^2m+1] = - (abc)^5+2m+1 = - (abc)^6+2m
Beachte, dass der Exponent 2m+1 immer ungerade ist. Eine negative Zahl hoch einer ungeraden Zahl ist negativ. Daher wird das - vor die Potenz geschrieben.
5. 500⁴ = (5 · 100)⁴ = 5⁴ · 100⁴ = 625 · (10²)⁴ = 625 · 10⁸ = 6,25 · 10¹⁰
$0,004^{-4} = \left ( \frac{4}{1000} \right )^{-4} = \left ( \frac{1}{250} \right )^{-4} = 250^4 = (5^2 \cdot 10)^4 = (5^2)^4 \cdot 10^4 = 5^8 \cdot 10^4 = 390625 \cdot 10^4 = 3,90625 \cdot 10^9$

Wenn du mit den Beispielen klar gekommen bist, dann schau dir noch dieses Video an.

Die letze Potenz $x^{\frac{1}{2}} = \sqrt x$ lernst du in der 9. Klasse kennen. Da gibt es dann auch wieder Potenzgesetze.

Aufgabe 5

1. Berechne ohne Taschenrechner

$a) \quad (-6)^3 \qquad b) \quad -3^4 \qquad c) \quad (-2)^4 \qquad d) \quad (-2 \cdot 5)^3 \qquad e) \quad 5 \cdot 3^2 \qquad f) (-5 \cdot 3)^2$
$g) \quad -5 \cdot (-3)^3 \qquad h) \quad 5^0+5^1-5^2 \qquad i) \quad 4^{-3} \cdot 4^3 \qquad j)\quad \frac{1}{4^{-1}} \qquad k) \quad \frac{2^3}{2^{-3}} \qquad l) \quad \frac{12^3}{4^3}$
$m)\quad (\frac{2}{3})^{-1} \qquad n) \quad (\frac{4}{5})^2\cdot (\frac{5}{4})^2 \qquad o) \quad [(\frac{1}{2})^3]^{-1} \qquad p) \quad (\frac{1}{4})^{-1}+(\frac{2}{5})^{-1} - 6,5 \qquad q) \quad 2^{-1} \cdot (\frac{1}{6})^{-1}$

2. Vereinfache so weit wie möglich ( $x,y \in Q \setminus {0}$
$a) \quad \frac{y}{y^{-5}} \qquad b) x^3 \cdot x^{-4} \qquad c) \quad \frac{x^{-2}}{x^{-4}} \qquad d) (x^2)^{-4} \cdot (x^3)^3 \qquad e) \quad (2a)^{-3} -\frac{2}{a^3} \qquad f) \quad (x^{-2})^{-2}-2x^4$

3. Gib als Potenz mit positvem Exponenten an.
$a) \quad (2^4)^3 \qquad b) (2^{-4})^3 \qquad c) (2^4)^{-3} \qquad d) \quad (-2^{-3})^{-4} \qquad e) \quad (2^5)^{-1}$

4. Schreibe jeweils alsl Potenz mit positivem Expoenten und als Potenz mit negativem Exponenten.
$a) \quad \frac{1}{64} \qquad b) \quad 81 \qquad c) \quad \frac{125}{27} \qquad d) \quad 729 \qquad e) \quad 1024 \qquad f) \quad \frac{1}{512} \qquad g) \quad 10000$

5. Vereinfache so weit als möglich. Es sind $x \neq 0$ bzw. $y \neq 0$ .
$a) \quad x^7:x^3 \qquad b) \quad y^3 \cdot y^{-6} \qquad c)\quad x^{-8}\cdot (x^4)^2 \qquad d) \quad (\frac{x^4y}{x^2y^3})^{-2} \qquad e) \quad \frac{x^{-1}-y^{-1}}{x-y}, \qquad x \neq y$

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1.
a) -216 <br< b) -81
c) 16
d) -1000
e) 45
f) 225
g) 135
h) -19
i) 1
j) 4
k) 2⁶ = 64
l) 3³ = 27
m) 1,5
n) 1
o) 8
p) 4 + 2,5 - 6,6 = 0
q) 3

2.
a) y⁶
b) x^-1
c) x²
d) x^-8 · x⁹ = x
e) 6a^-3
f) -x⁴

3.
a) 2¹²
b) 2^-12 = $\left (\frac{1}{2} \right )^{12}$
c) 2^-12= $\left (\frac{1}{2} \right )^{12}$ = 0,5¹²
d) 2¹²
e) 2^-5 = $\left (\frac{1}{2} \right )^{5}$ = 0,5⁵

4.
a) $\left ( \frac{1}{2} \right )^6 = 2^{-6}$
b) $3^4=\left ( \frac{1}{3} \right )^{-4}$
c) $3^6=\left ( \frac{1}{3} \right )^{-6}$
d) 2¹⁰ = 0,5^-10
e) $\left ( \frac{1}{2} \right )^9 = 2^{-9}$
g) 10⁴ = 0,1^-4

5.
a) x⁴
b) y^-3
c) x⁰ = 1
d) x^-4 y⁴
e) Hier stehen in Zähler und Nenner Differenzen. Man kann Zähler und Nenner nicht in ein Produkt umwandeln. :-(
Aber man folgendes machen: $\frac{x^{-1} - y^{-1}}{x-y}=\frac{\frac{1}{x}-\frac{1}{y}}{x-y}=\frac{\frac{y}{xy}-\frac{x}{xy}}{x-y}=\frac{\frac{y-x}{xy}}{x-y}=\frac{y-x}{xy\cdot (x-y)} =\frac{-(x-y)}{xy\cdot(x-y)}=\frac{1}{xy}=(xy)^{-1}$

Und das schaut doch einfacher aus! :-)

Aufgabe 6

Potenzen mit negativen Exponenten treten auch oft in der Physik bei den Einheiten auf und ermöglicht eine neue Schreibweise für Einheiten.
Welche physikalische Größe gibt man in
$a) \quad m \cdot s^{-1} \qquad b) \quad km \cdot h^{-1} \qquad c) \quad N \cdot m^{-1} \qquad d) \quad N \cdot m^{-2} \qquad e) N \cdot kg^{-1} \qquad f) g \cdot cm^{-3}$ an?

[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

a) $m\cdot s^{-1}=\frac{m}{s}$ ist die Einheit der Geschwindigkeit.
b) $km \cdot h^{-1}=\frac{km}{h}$ ist auch eine Einheit der Geschwindigkeit.
c) $N \cdot m^{-1}=\frac{N}{m}$ ist die Einheit der Federkonstante D.
d) $N \cdot m^{-2}=\frac{N}{m^2}$ ist die Einheit des Drucks p.
e) $N \cdot kg^{-1}=\frac{N}{kg}$ ist die Einheit des Ortsfaktors g und auch die Einheit der Beschleunigung a.

f) $g \cdot cm^{-3}=\frac{g}{cm^3}$ ist die Einheit der Dichte.

Aufgabe 7

Informiere dich wie man bei deinem Taschenrechner eine Eingabe mit Zehnerpotenzen macht.
a) Wie lange braucht das Licht von der Sonne bis zur Erde?
b) Berechen, wie viele Zellen ein Jugendlicher der masse 45 kg hat, wenn die Masse einer Zelle etwa $0,0075\mu g$ beträgt.

[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

a) 8min 20 s

b) 6 · 10¹²

Aufgabe 8

Zum Knobeln!
Zeige, dass gilt: $2^{1994}+4^{997}+8^{665}=16^{499}$

[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

linke Seite: 2¹⁹⁹⁴ + 4⁹⁹⁷ + 8⁶⁶⁵=2¹⁹⁹⁴ + 2¹⁹⁹⁴ + 2¹⁹⁹⁵ = 2¹⁹⁹⁴ + 2¹⁹⁹⁴ + 2 · 2¹⁹⁹⁴ = 4 · 2¹⁹⁹⁴ = 2¹⁹⁹⁶

rechte Seite: 16⁴⁹⁹ = (2⁴)⁴⁹⁹ = 2^{4 · 499} = 2¹⁹⁹⁶

@@ Zeile 291: / Zeile 291: @@
 b) 6 · 10<sup>12</sup> }}
-{{Aufgaben-blau|8|2=Zum Knobeln<!<br>
+{{Aufgaben-blau|8|2=Zum Knobeln!<br>
 Zeige, dass gilt: <math>2^{1994}+4^{997}+8^{665}=16^{499}</math> }}
 {{Lösung versteckt|1=linke Seite: 2<sup>1994</sup> + 4<sup>997</sup> + 8<sup>665</sup>=2<sup>1994</sup> + 2<sup>1994</sup> + 2<sup>1995</sup> = 2<sup>1994</sup> + 2<sup>1994</sup> + 2 · 2<sup>1994</sup> = 4 · 2<sup>1994</sup> = 2<sup>1996</sup><br>
 rechte Seite: 16<sup>499</sup> = (2<sup>4</sup>)<sup>499</sup> = 2<sup>4 · 499</sup> = 2<sup>1996</sup> }}

M8 Potenzen mit ganzzahligen Exponenten: Unterschied zwischen den Versionen

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