M11 Das Newtonsche Iterationsverfahren: Unterschied zwischen den Versionen

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{{Aufgaben-blau|4|2=Bearbeiten Sie im Buch S. 84/10 und 84/11}}
 
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G<sub>f</sub> hat Schnittpunkt mit der y-Achse (0;0), da f(0)=0 ist und <br>
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Schnittpunkt mit der x-Achse (0;0), da <math>\frac{1}{4}x^4-\frac{4}{3}x^3+2x^2=0</math><br>
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Ein Produkt ist 0, wenn ein Faktor 0 ist, also <math>x=0</math> oder <math>\frac{1}{4}x^2-\frac{4}{3}x+2=0</math>.
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Die quadratische Gleichung hat keine Lösung, da ihre Diskriminante <math>D=\left ( \frac{4}{3} \right )^2-4\cdot \frac{1}{4} \cdot 2=\frac{16}{9}-2 <0</math><br>
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Also ist x=0 doppelte Nullstelle.<br>
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Für die Monotonietabelle braucht man <math>f'</math>. Es ist <math>f'(x)=x^3-4x^2+4x=x(x-2)^2</math><br>
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<math>f'(x)=0</math> für <math> x_1=0 , x_2=2</math>, wobei x<sub>2</sub>=2 zweifach ist.<br>
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G<sub>f'</sub> ist der Graph eines Polynoms 3. Grades mit Nullstelle bei x<sub>1</sub>=0 und x<sub>2</sub>=2 (doppelt), also hat man bei x<sub>2</sub>=2 keinen Vorzeichenwechsel. <br>
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Monotonietabelle:<br>
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Für x < 0 ist f'(x) < 0 und G<sub>f</sub> ist streng monoton fallend.<br>
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Für x = 0 ist f'(0) = 0 und (0;0) ist wegen VZW -/+ ein TP.<br>
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Für 0 < x < 2 ist f'(x) > 0 und G<sub>f</sub> ist streng monoton steigend.<br>
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Für x = 2 ist f'(2) = 0 und G<sub>f</sub> hat dort einen Terrassenpunkt, da kein VZW.<br>
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Für x > 0 ist f'(x) > 0 und G<sub>f</sub> ist streng monoton steigend.
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Version vom 15. Dezember 2020, 11:15 Uhr

Für lineare und quadratische Funktionen hat man zur Bestimmung der Nullstellen Gleichungen zu lösen. Bei quadratischen Funktionen gibt es hierzu die Lösungsformel. Für Polynome höheren Grades kann man meist nur Nullstellen erraten und dann per Polynomdivision versuchen auf ein Polynom 2. Grades zu kommen.
Bei vielen Funktionen hat man Probleme die Nullstellen zu bestimmen. Oftmals reicht es aus, wenn man einen Näherungswert hat. Ein Verfahren um einen Näherungswert für die Nullstelle einer Funktion zu finden ist das Newtonsche Iterationsverfahren.


Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe 1

Lesen Sie im Buch auf S.73 den gelb unterlegten Text durch. Schauen Sie sich danach die zwei Beispiele Auf S.73-74 an.

In diesem Video wird das Newton-Verfahren erkärt.

In diesem Applet wird das Verfahren schrittweise dargestellt.

Nuvola apps kig.png   Merke

Newtonsche Iterationsformel x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}

Diese Formel steht auch in der Merkhilfe


Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe 2

Machen Sie jeweils den ersten Schritt des Newton-Verfahrens für die Funktionen
Verwenden Sie jeweils als Startwert x0 = 5.
a) f:x \rightarrow x^3+x^2+1
b) f:x \rightarrow x^3+x-5
c) f:x \rightarrow x^4-3x-3

a) x1 = 3,2235
Diese Lösung soll nochmals ausführlich dargestellt werden. Man erhält x1 indem man im Punkt P(x0),f(x0) auf dem Graphen von f die Tangente macht.
Es ist f(5) = 53+52+1=151.
Die Steigung der Tangente erhält man durch f'(5).
Die Ableitungsfunktion f' ist durch f(x) = 3x2+2x gegeben. Es ist f'(5) = 85.
Den Schnittpunkt der Tangente mit der x-Achse ist nun x1 und x1 erhält man nun durch die Formel x_1=x_0-\frac{f(x_0}{f'(x_0)} .
Es ist also x_1=x_0-\frac{f(x_0)}{f'(x_0)}=5-\frac{151}{85}=3,2235...
b) x1 = 3,3552

c) x1 = 3,77876


Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe 3

Ermitteln Sie jeweils alle Nullstellen der Funktion f nach dem Newton-Verfahren auf zwei Nachkommastellen genau.
Verwenden Sie wieder als Startwert x0=5.
Hierzu empiehlt sich eine Tabellenkalkulation! Beim Aufgabe a) brauchen Sie 26 Schritte.
a) f:x \rightarrow x^3+x^2+1
b) f:x \rightarrow x^3+x-5
c) f:x \rightarrow x^4-3x-3

In der Tabellenkalukaltion können Sie leicht den Startwert x0 ändern. Variieren Sie x0 und schauen Sie nach wie vielen Schritten Sie die Nullstelle erhalten.

a) x26 = - 1,46557
b) x6 = 1,51598

c) x7 = 1,6846


Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe 4

Bearbeiten Sie im Buch S. 84/10 und 84/11

84/11 f: x \rightarrow \frac{1}{4}x^4-\frac{4}{3}x^3+2x^2
Gf hat Schnittpunkt mit der y-Achse (0;0), da f(0)=0 ist und
Schnittpunkt mit der x-Achse (0;0), da \frac{1}{4}x^4-\frac{4}{3}x^3+2x^2=0
x^2(\frac{1}{4}x^2-\frac{4}{3}x+2)=0

Ein Produkt ist 0, wenn ein Faktor 0 ist, also x=0 oder \frac{1}{4}x^2-\frac{4}{3}x+2=0. Die quadratische Gleichung hat keine Lösung, da ihre Diskriminante D=\left ( \frac{4}{3} \right )^2-4\cdot \frac{1}{4} \cdot 2=\frac{16}{9}-2 <0
Also ist x=0 doppelte Nullstelle.
Für die Monotonietabelle braucht man f'. Es ist f'(x)=x^3-4x^2+4x=x(x-2)^2
f'(x)=0 für x_1=0 , x_2=2, wobei x2=2 zweifach ist.
Gf' ist der Graph eines Polynoms 3. Grades mit Nullstelle bei x1=0 und x2=2 (doppelt), also hat man bei x2=2 keinen Vorzeichenwechsel.
Monotonietabelle:
Für x < 0 ist f'(x) < 0 und Gf ist streng monoton fallend.
Für x = 0 ist f'(0) = 0 und (0;0) ist wegen VZW -/+ ein TP.
Für 0 < x < 2 ist f'(x) > 0 und Gf ist streng monoton steigend.
Für x = 2 ist f'(2) = 0 und Gf hat dort einen Terrassenpunkt, da kein VZW.

Für x > 0 ist f'(x) > 0 und Gf ist streng monoton steigend.
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