M9 Quadratische Gleichungen: Unterschied zwischen den Versionen
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Schön wäre es, wenn man den Term x<sup>2</sup> +5x + 6 so umformen könnte, dass x<sup>2</sup> +5x + 6 = (x+3(x+2) da steht. Dann hätte man wieder, dass ein Produkt 0 ist, wenn ein Faktor 0 ist. Also wären die Lösungen x<sub>1</sub>=-3 und x<sub>2</sub>=-2. | Schön wäre es, wenn man den Term x<sup>2</sup> +5x + 6 so umformen könnte, dass x<sup>2</sup> +5x + 6 = (x+3(x+2) da steht. Dann hätte man wieder, dass ein Produkt 0 ist, wenn ein Faktor 0 ist. Also wären die Lösungen x<sub>1</sub>=-3 und x<sub>2</sub>=-2. | ||
| − | {{Aufgaben-blau|3|2= | + | {{Aufgaben-blau|3|2=1. Zeige, dass die Gleichung x<sup>2</sup> +5x + 6 = (x+3(x+2) allgemeingültig ist. <br> |
| − | + | 2. Überprüfe durch Einsetzen in die Gleichung x<sup>2</sup> +5x + 6 = 0, dass x<sub>1</sub>=-3 und x<sub>2</sub>=-2 Lösungen sind. }} | |
==Lösungsformel== | ==Lösungsformel== | ||
Version vom 5. Januar 2021, 10:34 Uhr
Bei den linearen Funktionen war es nützlich die Schnittpunkte des Graphen mit den Koordinatenachsen zu bestimmen. Der Schnittpunkt mit der y-Achse war der y-Abschnitt t und mit Hilfe der Nullstelle (Schnittpunkt mit der x-Achse) konnte man leicht die Steigung mbestimmen.
Bei den quadratischen Funktionen geht dies ähnlich. Der Schnittpunkt mit der y-Achse ist durch f(0) gegeben. Die Nullstelle/Nullstellen erhält man durch Lösen der Gleichung f(x) = 0.
Bei den Übungen zu den quadratischen Funktionen hast du bei Aufgabe 1 und Aufgabe 2 gesehen, dass eine Parabel zwei Nullstellen oder keine Nullstelle haben kann. Von der Normalparabel kennst du, dass sie eine Nullstelle hat.
Um die Nullstellen zu bestimmen muss man die Lösungen der Gleichung f(x) = 0 finden.
Für eine quadratische Funktion 
führt dies zur Gleichung 
.
 Merke:
Eine Gleichung der Form |
R\{0}, b, c Inhaltsverzeichnis |
graphische Lösung
Manchmal kann man aus dem Graph die Nullstellen direkt ablesen. Man spricht dann vom graphischen Lösen der quadratischen Gleichung. Bei der quadratischen Funktion 
hast du folgenden Graph
Du liest hier problemlos 
und 
als Nullstellen der Funktion ab.
%5E2-1.jpg)
%5E2%2B1.jpg)
%5E2-2.jpg)
a) x1 = 0 und x2 = 2, y = (x-1)2-1
b) x1 = -2 und x2 = 0, y = -(x+1)2+1
Bei dem Graphen von Aufgabe 1c kann man die Nullstellen nur näherungsweise ablesen. Man sieht jedenfalls, dass x1 = 0 und x2 = 3 nicht die Nullstellen sind, sondern, dass sie etwas daneben liegen. Aus dem Graphen kann man sie dann nur ungefähr ablesen.
1a) x = -2 , b) x1 = -2 und x2 = 3 , c) x1 = -2 und x2 = 1
Von der letzten Aufgabe weißt man, dass die Gleichung 
die zwei Lösungen 
und 
hat. Auch hier kann man graphisch nur Näherungslösungen bestimmen.
Dies ist natürlich unbefriedigend. Man möchte ja gerne die exakten Lösungen. Also muss man eine rechnerische Lösung finden.
rechnerische Lösung
Zerlegung in Linearfaktoren
Bei der Gleichung x2 + 5x = 0 kann man x ausklammern. Es ist x2 + 5x = x(x+5), also muss man die Gleichung x(x+5)=0 lösen. Man weiß
Ein Produkt hat den Wert Null, wenn ei Faktor den Wert Null hat.
Dann sind die zwei Lösungen der Gleichung x(x+5)=0 die zwei Zahlen x1=-5 und x2=0. Damit hat die Gleichung x2 + 5x = 0 auch diese zwei Lösungen x1=-5 und x2=0.
Ausklammern funktioniert bei der Gleichung x2 +5x + 6 = 0 nicht!
Bei den ersten beiden Summanden könnte man x ausklammern, aber der dritte Summand 6 bleibt dann stehen. x2 +5x + 6 =x(x+5)+6 und wie soll man x(x+5)+6 = 0 lösen?
Wenn man bei der ganzen rechten Seite x ausklammert, dann erhält man 
und für die Gleichung 
hat man keinen Plan wie man sie lösen soll.
Schön wäre es, wenn man den Term x2 +5x + 6 so umformen könnte, dass x2 +5x + 6 = (x+3(x+2) da steht. Dann hätte man wieder, dass ein Produkt 0 ist, wenn ein Faktor 0 ist. Also wären die Lösungen x1=-3 und x2=-2.
