M11 Anwendungen und Aufgaben zum Rechnen mit Vektoren: Unterschied zwischen den Versionen
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+ | In den folgenden Bildern sind die Vektoren ohne Vektorpfeil angegeben. Leider macht GeoGebra das nicht. | ||
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{{Merksatz|MERK=Der Verbindungsvektor <math>\vec {AB}</math> der zwei Punkte mit den Ortsvektoren <math>\vec a</math> und <math>\vec b</math> ist <br> | {{Merksatz|MERK=Der Verbindungsvektor <math>\vec {AB}</math> der zwei Punkte mit den Ortsvektoren <math>\vec a</math> und <math>\vec b</math> ist <br> | ||
<center> <math>\vec {AB} = \vec b - \vec a</math>.<br></center> | <center> <math>\vec {AB} = \vec b - \vec a</math>.<br></center> | ||
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Wie kommt man vom Ursprung zu M?<br> | Wie kommt man vom Ursprung zu M?<br> | ||
Man geht zuerst mit dem Vektor <math> \vec a</math> zum Punkt A und dann die Hälfte der Strecke [AB], dies geht mit dem Vekor <math>\frac{1}{2} \vec {AB} = \frac{1}{2} (\vec b -\vec a)</math>. Also insgesamt <math> \vec m = \vec a + \frac{1}{2} \vec {AB} = \vec a + \frac{1}{2} (\vec b - \vec a)=\vec a + \frac{1}{2} \vec b - \frac {1}{2} \vec a = \frac{1}{2} \vec a + \frac{1}{2} \vec b=\frac{1}{2}(\vec a +\vec b)</math>. | Man geht zuerst mit dem Vektor <math> \vec a</math> zum Punkt A und dann die Hälfte der Strecke [AB], dies geht mit dem Vekor <math>\frac{1}{2} \vec {AB} = \frac{1}{2} (\vec b -\vec a)</math>. Also insgesamt <math> \vec m = \vec a + \frac{1}{2} \vec {AB} = \vec a + \frac{1}{2} (\vec b - \vec a)=\vec a + \frac{1}{2} \vec b - \frac {1}{2} \vec a = \frac{1}{2} \vec a + \frac{1}{2} \vec b=\frac{1}{2}(\vec a +\vec b)</math>. | ||
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+ | Ein ähnliches Ergebnis erhält man für den Schwerpunkt S eines Dreiecks mit den Eckpunkten A, B, C. | ||
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+ | [[Datei:Schwerpunkt S.jpg]] | ||
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+ | {{Merksatz|MERK=Der Schwerpunkt S eines Dreiecks mit den Eckpunkten A, B, C und deren Ortsvektoren <math>\vec a, \vec b, \vec c</math> hat den Ortsvektor <math>\vec s</math>. Es ist <br> | ||
+ | <center><math>\vec s = \frac{1}{3}(\vec a + \vec b + \vec c)</math>.</center>}} | ||
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+ | Wie kommt man vom Urpsung zu S?<br> | ||
+ | Sind Ma, Mb und Mc die Mittelpunkte der Dreiecksseiten a, b, c. <br> | ||
+ | [[Datei:Schwerpunkt S 2.jpg]]<br> | ||
+ | Man geht zurest mit dem Vektor <math>\vec a</math> zum Punkt A, dann von A nach Mb und von Mb nach S, also <br> | ||
+ | <math>\vec s = \vec a+ \vec {AMb} + \vec {MbS}</math><br> | ||
+ | Nun ist <math>\vec{AMb}=\frac{1}{2}\vec {AC}=\frac{1}{2}(\vec c -\vec a)</math> und <math>\vec {MbS}=\frac{1}{3} \vec {MbB} = \frac{1}{3}(\vec b - \vec {Mb})=\frac{1}{3}[\vec b - \frac{1}{2}(\vec c + \vec a)]</math><br> | ||
+ | Damit ist <math>\vec s = \vec a+ \vec {AMb} + \vec {MbS} = \vec a + \frac{1}{2}(\vec c -\vec a) + \frac{1}{3}[\vec b - \frac{1}{2}(\vec c + \vec a)]=\vec a + \frac{1}{2} \vec c - \frac{1}{2} \vec a + \frac{1}{3} \vec b - \frac{1}{6} \vec c - \frac{1}{6}\vec a = \frac{1}{3} \vec c + \frac{1}{3} \vec b + \frac{1}{3} \vec b = \frac{1}{3} (\vec a + \vec b + \vec c)</math> | ||
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+ | Hinweis: <math>\vec {MbS}=\frac{1}{3} \vec {MbB}</math> [https://mathepedia.de/Seitenhalbierende.html erhält man aus dem Strahlensatz!] |
Version vom 16. Januar 2021, 16:48 Uhr
In den folgenden Bildern sind die Vektoren ohne Vektorpfeil angegeben. Leider macht GeoGebra das nicht.
Die Strecke [AB] hat einen Mittelpunkt M, dessen Ortsvektor ist .
Merke:
Der Ortsvektor des Mittelpunkts M der Strecke [AB] ist |
Wie kommt man vom Ursprung zu M?
Man geht zuerst mit dem Vektor zum Punkt A und dann die Hälfte der Strecke [AB], dies geht mit dem Vekor . Also insgesamt .
Ein ähnliches Ergebnis erhält man für den Schwerpunkt S eines Dreiecks mit den Eckpunkten A, B, C.
Merke:
Der Schwerpunkt S eines Dreiecks mit den Eckpunkten A, B, C und deren Ortsvektoren hat den Ortsvektor . Es ist |
Wie kommt man vom Urpsung zu S?
Sind Ma, Mb und Mc die Mittelpunkte der Dreiecksseiten a, b, c.
Man geht zurest mit dem Vektor zum Punkt A, dann von A nach Mb und von Mb nach S, also
Nun ist und
Damit ist
Hinweis: erhält man aus dem Strahlensatz!