M9 Quadratische Gleichungen: Unterschied zwischen den Versionen

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Der Term b<sup>2</sup> -  4ac unter der Wurzel heißt '''Diskriminante''' und gibt an wie viele Lösungen die Gleichung hat. Es gibt nur eine Lösung, wenn b<sup>2</sup> -  4ac ≥ 0 ist. Falls b<sup>2</sup> -  4ac < 0 ist, dann hat die quadratische Gleichung keine Lösung, da in den reellen Zahlen unter einer Wurzel keine negative Zahl stehen darf.
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Der Term b<sup>2</sup> -  4ac unter der Wurzel heißt '''Diskriminante''' und gibt an wie viele Lösungen die Gleichung hat. Es gibt nur eine Lösung oder zwei Lösungen, wenn b<sup>2</sup> -  4ac ≥ 0 ist. Falls b<sup>2</sup> -  4ac < 0 ist, dann hat die quadratische Gleichung keine Lösung, da in den reellen Zahlen unter einer Wurzel keine negative Zahl stehen darf.
  
 
{{Merke|1=b<sup>2</sup> -  4ac  ist die '''Diskriminante''' D der quadratischen Gleichung ax<sup>2</sup> + bx + c = 0. D = b<sup>2</sup> -  4ac<br>
 
{{Merke|1=b<sup>2</sup> -  4ac  ist die '''Diskriminante''' D der quadratischen Gleichung ax<sup>2</sup> + bx + c = 0. D = b<sup>2</sup> -  4ac<br>

Version vom 20. Januar 2021, 11:31 Uhr

Bei den linearen Funktionen war es nützlich die Schnittpunkte des Graphen mit den Koordinatenachsen zu bestimmen. Der Schnittpunkt mit der y-Achse war der y-Abschnitt t und mit Hilfe der Nullstelle (Schnittpunkt mit der x-Achse) konnte man leicht die Steigung mbestimmen.

Bei den quadratischen Funktionen geht dies ähnlich. Der Schnittpunkt mit der y-Achse ist durch f(0) gegeben. Die Nullstelle/Nullstellen erhält man durch Lösen der Gleichung f(x) = 0.
Bei den Übungen zu den quadratischen Funktionen hast du bei Aufgabe 1 und Aufgabe 2 gesehen, dass eine Parabel zwei Nullstellen oder keine Nullstelle haben kann. Von der Normalparabel kennst du, dass sie eine Nullstelle hat.


Um die Nullstellen zu bestimmen muss man die Lösungen der Gleichung f(x) = 0 finden.
Für eine quadratische Funktion f: x \rightarrow ax^2 + bx + c führt dies zur Gleichung a x^2 + b x + c = 0.

Maehnrot.jpg
Merke:

Eine Gleichung der Form a x^2 + b x + c = 0 mit a \in R\{0}, b, c \in R heißt quadratische Gleichung:

Inhaltsverzeichnis

graphische Lösung

Manchmal kann man aus dem Graph die Nullstellen direkt ablesen. Man spricht dann vom graphischen Lösen der quadratischen Gleichung. Bei der quadratischen Funktion f : x \rightarrow x^2 - 1 hast du folgenden Graph

y=x^2-1

Du liest hier problemlos x_1 = -1 und x_2 = 1 als Nullstellen der Funktion ab.


Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe 1

Lies aus dem Graphen die Nullstelle(n) ab.
a) (x-1)^2-1.jpg b) -(x+1)^2+1.jpg c) (x-1.5)^2-2.jpg
Gib auch jeweils die Funktionsgleichung an.

a) x1 = 0 und x2 = 2, y = (x-1)2-1
b) x1 = -2 und x2 = 0, y = -(x+1)2+1

c) x1 = 0,1 und x2 = 2,9, y = (x-1,5)2-2

Bei dem Graphen von Aufgabe 1c kann man die Nullstellen nur näherungsweise ablesen. Man sieht jedenfalls, dass x1 = 0 und x2 = 3 nicht die Nullstellen sind, sondern, dass sie etwas daneben liegen. Aus dem Graphen kann man sie dann nur ungefähr ablesen.


Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe 2

1. Löse graphisch
1 a) x2 + 4x + 4 = 0, b) 3x2 - 3x - 18 = 0, c) x2 + x - 2 = 0
2 Ermittle graphisch die Nullstellen
a) f(x) = 4 - x2, b) f(x) = 0,5( x-1)2 - 0,5, c) f(x) = x2 - 2

1a) x = -2 , b) x1 = -2 und x2 = 3 , c) x1 = -2 und x2 = 1

2a) x1 = -2 und x2 = 2 , b) x1 = 0 und x2 = 2 , c) x1 = -1,4 und x2 = 1,4


Von der letzten Aufgabe weißt man, dass die Gleichung x^2 -2 = 0 die zwei Lösungen x_1 = -\sqrt 2 und x_2=\sqrt 2 hat. Auch hier kann man graphisch nur Näherungslösungen bestimmen.
Dies ist natürlich unbefriedigend. Man möchte ja gerne die exakten Lösungen. Also muss man eine rechnerische Lösung finden.

rechnerische Lösung

Zerlegung in Linearfaktoren

Bei der Gleichung x2 + 5x = 0 kann man x ausklammern. Es ist x2 + 5x = x(x+5), also muss man die Gleichung x(x+5)=0 lösen. Man weiß 

Ein Produkt hat den  Wert Null, wenn ei Faktor den Wert Null hat.

Dann sind die zwei Lösungen der Gleichung x(x+5)=0 die zwei Zahlen x1=-5 und x2=0. Damit hat die Gleichung x2 + 5x = 0 auch diese zwei Lösungen x1=-5 und x2=0.

In diesem Video
wird Ausklammern und die Verwendung der binomischen Formeln aufgezeigt.

Ausklammern funktioniert bei der Gleichung x2 +5x + 6 = 0 nicht!
Bei den ersten beiden Summanden könnte man x ausklammern, aber der dritte Summand 6 bleibt dann stehen. x2 +5x + 6 =x(x+5)+6 und wie soll man x(x+5)+6 = 0 lösen?
Wenn man bei der ganzen rechten Seite x ausklammert, dann erhält man x^2 + 5x + 6 = x(x+5+\frac{6}{x}) und für die Gleichung x+5+\frac{6}{x} = 0 hat man keinen Plan wie man sie lösen soll.

Schön wäre es, wenn man den Term x2 +5x + 6 so umformen könnte, dass x2 +5x + 6 = (x+3)(x+2) da steht. Dann hätte man wieder, dass ein Produkt 0 ist, wenn ein Faktor 0 ist. Also wären die Lösungen x1=-3 und x2=-2.


Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe 3

1. Zeige, dass die Gleichung x2 +5x + 6 = (x+3)(x+2) allgemeingültig ist.
2. Überprüfe durch Einsetzen in die Gleichung x2 +5x + 6 = 0, dass x1=-3 und x2=-2 Lösungen sind.

1. Man multipliziert die rechte Seite aus (x+3)(x+2)=x2+3x+2x+6=x2+5x+6 und erhält die linke Seite.

2. x = -3 eingesetzt ergibt 9 - 15 + 6 0 = und x = -2 eingesetzt ergibt 4 - 10 + 6 = 0.

Doch wie kommt man auf so eine Zerlegung?
Zuerst schaut man sich den Summanden ohne x, also hier 6 an. Beim Ausmultiplizieren entsteht die 6 als Produkt der zwei Zahlen 2 und 3. Also schaut man welche natürliche Zahlen als Produkt 6 ergeben. Hier kommen 6·1 = 6 und 2·3=6 also die zwei Zahlenpaar 6 und 1 sowie 3 und 2 in Frage. Beim Ausmultiplizieren der Klammern sieht man auch, dass der Term mit x als Koeffizient die Summe der beide Zahlen hat, also 6+1 = 7 bzw. 3+2=5. Damit hat man (x+3)(x+2)=x2 + 5x + 6.

Nuvola apps kig.png   Merke

Um die Zerlegung von x2 + bx + c in Linearfaktoren zu finden, schaue nach natürlichen Zahlen x1 und x2,
1. deren Produkt c ist, also x1·x2 = c und
2. deren Summe b ist, also x1+x2=b.
3. Es ist dann x2 + bx + c = (x + x1)(x + x2).

Die quadratische Gleichung x2 + bx + c = 0 hat dann die zwei Lösungen -x1 und -x2.

Beispiele:

x2 + 7x + 6 1. 6 ist das Produkt aus 6 und 1 sowie 3 und 2
2. Summe: 6+1 = 7, 3+2 = 5
3. x2 + 7x + 6 =(x+1)(x+6)
x2 - 8x + 12 1. 12 ist das Produkt aus 12 und 1, sowie 6 und 2, sowie 4 und 3.
2. Summe: 12+1 = 13, 6 + 2 = 8, 4+3=7
3. 2 und 6 sind die Kandidaten. Da vor 8 ein Minuszeichen steht muss man -2 und -6 nehmen.

x2 - 8x + 12 =(x-2)(x-6)

x2 -5x + 6 1. 6 ist das Produkt aus 6 und 1 sowie 3 und 2
2. Summe: 6+1 = 7, 3+2 = 5
3. 2 und 3 sind die Kandidaten. Da vor x aber -5 steht, muss man -3 und -2 nehmen, also x2 - 5x + 6 =(x-3)(x-2)
x2 + x - 6 1. 6 ist das Produkt aus 6 und 1 sowie 2 und 3. Da nun aber hier -6 steht muss man jeweils eine Zahl mit - versehen, also (6 und -1) oder (-6 und 1) oder (-2 und 3) oder (-3 und 2).

2. Summe 6-1=5, -6+1=-5, -2+3=1, -3+2=-1, also sind -2 und 3 die passenden Zahlen.
3. x2 + x - 6 = (x-2)(x+3)


François Viète hat dies etwas anders herausgefunden.
Sind x1 und x2 die zwei Lösungen der Gleichung x2 + bx + c = 0, dann lässt sich der quadratische Term x2 + bx + c in Faktoren x - x1 und x - x2 zerlegen. Es ist x2 + bx + c = (x - x1)(x - x2).
Hier steht nun in der Klammer jeweils ein - Zeichen, da ja die Zahlen eingesetzt 0 ergeben!
Multipliziert man die rechte Seite aus (x - x1)(x - x2) = x2 - x·x2 - x1·x + x1·x2=x2-(x1+x2)·x+x1·x2
Der Vergleich von x2-(x1+x2)·x+x1·x2 mit x2 + bx + c liefert
b = -(x1+x2) und c = x1·x2

Nuvola apps kig.png   Merke

Satz von Vieta
Sind p und q die Koeffizienten der quadratischen Gleichung x2 + px + q = 0 und x1 und x2 deren Lösung, so ist x1 + x2 = -p und x1·x2 = q.

In dem Satz von Vieta wurden p und q verwendet. Dies ist allgemein so üblich, wenn in der quadratischen Gleichung der Koeffizient von x2 die Zahl 1 ist. Die quadratische Gleichung hat dann die Form x2 + px + q = 0.


Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe 4

1. Bestimme die Lösungen:
a) (x+11)(x-2)=0
b) (x-3)(x-10)=0
c) (x-4)(x+2)=0
d) (x+3)(x+78)=0

2. Löse
a) x2 - 4x -21 = 0
b) x2 + 3x -10 = 0
c) x2 + x - 2 = 0
d) x2 - 5x + 6 = 0
e) x2 + 5x - 6 = 0

3. Bearbeite die Aufgabe 1, Aufgabe 2

1a) x1=-11, x2=2
b) x1=3, x2=10
c) x1=4, x2=-2
d) x1=-3, x2=-78

2a) x1=-3, x2=7
b) x1=-5, x2=2
c) x1=-2, x2=1
d) x1=2, x2=3

e) x1=-6, x2=1
Information icon.svg Lösung

Nochmals ausführlich die Lösung für Aufgabe 2c:
x2 + x - 2 = 0
Das Produkt der beide Zahlen a und b ist -2, also haben a und b verschiedenes Vorzeichen.
a=2 und b = -1 oder a = -2 und b = 1.
Bei der Zerlegung in Faktoren: (x+2)(x-1) = 0 oder (x-2)(x+1) = 0.
Wenn man beide Faktoren ausmultipliziert, dann ist
(x+2)(x-1) =x²-x+2x-2=x²+x-2 und (x-2)(x+1) =x²+x-2x-2=x²-x-2.
Also ist das erste Produkt die Lösung. Ein Produkt ist 0, wenn ein Faktor 0 ist. Bei (x+2)(x-1) ist der erste Faktor 0, wenn x = -2 ist, der zweite Faktor ist 0, wenn x= 1 ist.

Mit dem Ssatz vno Vieta ist x1*x2=-2 und x1+x2=-1. Auch dies liefert durch Probieren x1=-2 und x2 = 1.


Lösungsformel

Das Zerlegen in Linearfaktoren oder der Satz des Vieta funktionieren oft wunderbar. Allerdings muss der Koeffizient von x2 stets 1 sein. Was macht man, wenn das nicht der Fall ist?
Was ist aber, wenn man eine Gleichung x2 - 5x + 5 = 0 hat? Da kommt man mit unserem obigen Verfahren nicht weiter. Die Zahl 5 ist das Produkt der Zahlen 5 und 1. Die Summe 5+1=6. Das ist nicht -5! Was macht man nun?

Wir betrachten den Fall a x^2 + bx + c=0 wobei a\neq 0 ist. Wenn a = 0 wäre, hätten wir keine quadratische Gleichung, sondern eine lineare Gleichung.
Im folgenden verzichten wir nun darauf a \neq 1 zu fordern. Das Beispiel x2 - 5x + 5 = 0 zeigt, dass wir auch das nicht lösen können.

Eine quadratische Funktion wird normalerweise in der Form f:x \rightarrow ax^2 +bx +c angegeben.
Mit Hilfe der quadratischen Ergänzung bringt man den Funktionsterm ax^2 + bx + c in die Scheitelform a [(x + (\frac{b}{2a}))^2 - (\frac{b}{2a})^2 + \frac{c}{a}] = a [x + (\frac{b}{2a})]^2 - \frac{b^2}{4a} + c

Die beiden Funktionsterme sind gleichwertig, es ist ax^2 +bx +c = a [x + (\frac{b}{2a})]^2 - \frac{b^2}{4a} + c .

Für die quadratische Gleichung ax^2 +bx +c = 0 bedeutet dies, dass sie gleichwertig ist zur Gleichung a [x + (\frac{b}{2a})]^2 - \frac{b^2}{4a} + c = 0

Division durch a (das ist erlaubt, da a\neq 0 ist) ergibt die Gleichung [x + (\frac{b}{2a})]^2 - \frac{b^2}{4a^2} + \frac{c}{a} = 0
Nun löst man die Gleichung nach x auf. Man erhält dann [x + (\frac{b}{2a})]^2 = \frac{b^2}{4a^2} - \frac{c}{a} .
Auf der linken Seite steht ein Quadrat, auf der rechten Seite ein Term. Zieht man nun auf beiden Seiten die Wurzel so erhält
x + (\frac{b}{2a}) = \pm \sqrt {\frac{b^2}{4a^2} - \frac{c}{a}}
\pm vor der Wurzel bedeutet, dass sowohl die negatitve wie die positive Wurzel quadriert den Term auf der linken Seite ergibt.
Isoliert man x auf der linken Seite so erhält man x_{1,2} = - (\frac{b}{2a})\pm \sqrt {\frac{b^2}{4a^2} - \frac{c}{a}}
Der Indix 1,2 von x bedeutet, dass es für x zwei Werte gibt je nachdem ob vor der Wurzel ein - oder ein + steht.
Es geht jetzt nur noch darum diese Formel in eine einprägsame Form zu bringen. Dazu bringt man den Term unter der Wurzel auf den gemeinsamen Nenner 4a2 bringt, also x_{1,2} = - (\frac{b}{2a})\pm \sqrt {\frac{b^2}{4a^2} - \frac{c}{a}}= - (\frac{b}{2a})\pm \sqrt {\frac{b^2}{4a^2} - \frac{4ac}{4a^2}}=- (\frac{b}{2a})\pm \sqrt {\frac{b^2-4ac}{4a^2}}
4a2 ist ein Quadrat, welches man aus der Wurzel herausziehen kann. Es ist also - (\frac{b}{2a})\pm \sqrt {\frac{b^2-4ac}{4a^2}}=- (\frac{b}{2a})\pm \frac{1}{2a} \sqrt{b^2-4ac}
Dies ergibt weiter x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 -4ac}}{2a}

Maehnrot.jpg
Merke:

Die Lösungen der quadratischen Gleichung ax2 + bx +c = 0 sind
x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 -4ac}}{2a}

Eine Herleitung ist in diesem Video dargestellt:

Vielleicht könnt ihr es euch mit dem Lied besser merken:


Beispiele: 1. 2x2 - 32 = 0
Hier ist a = 2, b = 0 und c = -32, also x_{1,2}=\frac{-0\pm \sqrt{0^2-4 \cdot 2 \cdot 2}}{2\cdot (-32)}=\frac{\pm \sqrt {256} }{4}=\frac{\pm 16}{4}, also x1 = -4 und x2 = 4.
Diese Aufgabe hätte man auch ohne Lösungsformel lösen können.
2x2 - 32 = 0 | +32 --> 2x2 = 32 | :2 --> x2 = 16 also x1 = -4 und x2 = 4

2. 5x2 + 15x = 0
5x ausklammern 5x(x + 3) = 0 liefert x1 = -3 und x2 = 0
Die Lösungsformel mit a = 5, b = 15, c = 0 liefert x_{1,2}=\frac{-15 \pm \sqrt {15^2 - 4 \cdot 5 \cdot 0}}{2 \cdot 5}= \frac{-15 \pm \sqrt {15^2}}{10}= \frac{-15 \pm 15}{10} und x1 = -3 ( für - vor der Wurzel) und x2 = 0 (für + vor der Wurzel).

3. x2 + 10x + 25 = 0
Die 2. binomische Formel ergibt x2 + 10x + 25 = (x + 5)2, also (x + 5)2 = 0 und x = -5
Die Lösungsformel mit a = 1, b = 10, c = 25 ergibt sich x_{1,2}=\frac{-10 \pm \sqrt {10^2-4 \cdot 1 \cdot 25}}{2}=\frac{-10 \pm \sqrt{0}}{2}=\frac{-10}{2}=-5

4. x2 - 11x + 30 = 0
Lösungsformel mit a = 1, b = -11, c = 30 liefert x_{1,2} = \frac{11 \pm \sqrt{(-11)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 30}}{2}=\frac{11 \pm \sqrt {121 - 120}}{2} = \frac {11 \pm 1}{2} und für das - Zeichen x1 = 5 und für das + Zeichen x2 = 6
Dies hätte man auch mit der Zerlegung in Linearfaktoren erhalten. Es ist 30 = 5·6. Wegen -11 ist auch 30 = (-6)·(-5) und (-6) + (-5) = -11 hat man die Zerlegung x2 - 11x + 30 = (x - 5)(x - 6) und dieses Produkt hat den Wert 0, wenn x1 = 5 und x2 = 5 ist.

5. x2 + 9 = 0
Fortman die Gleichung um, so erhält man x2 = -9. In den reellen Zahlen gibt es keine Zahl, die quadriert -9 ist, also hat die Gleichung keine Lösung.
Lösungs

Diese fünf Beispiele zeigen, dass die Lösungsformel immer geht, die Gleichungen aber auch einfacher lösbar sind.
Bei den nächsten zwei Beispielen kommt man nur mit der Lösungsformel zum Ziel.

6. x2 - 11x - 30 = 0
Lösungsformel mit a = 1, b = -11, c = -30 liefert x_{1,2}=\frac{11 \pm \sqrt {(-11)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-30)}}{2} = \frac{11 \pm \sqrt {121+120}}{2} = \frac {11 \pm \sqrt {241}}{2} und x_1 = \frac{11 - \sqrt {241}}{2} und x_2 = \frac{11 + \sqrt {241}}{2} .

7. 6x2 - 11x -10 = 0
Lösungsformel mit a = 6, b = -11, c = -10 liefert x_{1,2}=\frac{11 \pm \sqrt {(-11)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-10)}}{2 \cdot 6} = \frac{11 \pm \sqrt {121+240}}{12} = \frac {11 \pm \sqrt {361}}{12} = \frac{11 \pm 19}{12} und x_1 = \frac{-8}{12} = -\frac{2}{3} und x_2 = \frac{30}{12}=2,5 .

8. x2 + 33 - 14x = 0
Hier bringen wir diese quadratische Gleichung erst auf die übliche Form x2 - 14x + 33 = 0. Dann ist a = 1, b = -14, c = 33 und D = (-14)2 - 4·1·33 = 64 und x_{1,2}=\frac {-b \pm \sqrt D}{2a} =\frac{14 \pm \sqrt {64}}{2}=\frac{14 \pm 8}{2}. Also x2 = 3 und x2 = 11.


Information icon.svg Lösung

Um die Lösungsformel richtig anzuwenden gehe folgendermaßen vor:

1. Bringe die quadratische Gleichung auf die übliche Form ax2 + bx + c = 0, also den Summand mit x2 zuerst, dann der Summand mit x und am Schluss der Summand ohne x. -Zeichen immer richtig mitnehmen!
2. Notiere die Werte von a, b, c.
3. Setze dann die Werte von a, b, c, in die Lösungsformel x_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ein.



Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe 5

Bestimme die Lösungen
a) x2 - 16 = 0
b) x2 + 14x - 207 = 0
c) x2 - 12 x = 64
d) x2 - 10x - 56 = 0
e) y2 + 11y - 50,75= 0
f) -y2 - 13y = 0
g) 120x - 5x2 = 640

a) x1 = -4, x2 = 4
b) x1 = -23, x2 = 9
c) übliche Form: x2 - 12x - 64 = 0, x1 = -4, x2 = 16
d) x1 = -4, x2 = 14
e) y1 = -3,5, y2 = 14,5
f) y1 = -13, x2 = 0

g) übliche Form -5x2 + 120x - 640 = 0 oder wen das - vor dem quadratischen Term stört 5x2 - 120x + 640 = 0, x1= 8, x2 = 16


Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe 6

Bestimme die Nullstellen der Funktion f mit
a) f(x) = x2 + 3x - 22,75
b) f(x) = 1,5x2 + 2x - 7,5
c) f(x)=-\frac{1}{6}x^2 + \frac{1}{3}x+1

a) x1 = -6,5, x2 = 3,5
b) x1 = -3, x2 = 5/3
c) x1 = 1-\sqrt 7, x2 = 1 + \sqrt 7

Du kannst die Gleichung -\frac{1}{6}x^2 + \frac{1}{3}x+1=0 mit -6 durchmultiplizieren, dann hast du keine Brüche dabei und musst diese Gleichung x2 - 2x -6 = 0 lösen.

Diskriminante

Der Term b2 - 4ac unter der Wurzel heißt Diskriminante und gibt an wie viele Lösungen die Gleichung hat. Es gibt nur eine Lösung oder zwei Lösungen, wenn b2 - 4ac ≥ 0 ist. Falls b2 - 4ac < 0 ist, dann hat die quadratische Gleichung keine Lösung, da in den reellen Zahlen unter einer Wurzel keine negative Zahl stehen darf.

Nuvola apps kig.png   Merke

b2 - 4ac ist die Diskriminante D der quadratischen Gleichung ax2 + bx + c = 0. D = b2 - 4ac
Ist D < 0, so hat die quadratische Gleichung keine Lösung.
Ist D = 0, so hat die quadratische Gleichung eine Lösung x_0 = -\frac{b}{2a}.
Ist D ≥ 0, so hat die quadratische Gleichung zwei Lösungen x_1 = \frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a} und x_2 = \frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.


Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe 7

Bestimme mit Hilfe der Diskriminante D = b2 - 4ac die Anzahl der Lösungen der quadratischen Gleichungen:
a) 2x2 - 32 = 0
b) 5x2 + 15x = 0
c) x2 + 10x + 25 = 0
d) x2 - 11x + 30 = 0
e) x2 + 9 = 0
f) x2 - 11x - 30 = 0
g) 6x2 - 11x -10 = 0

a) a = 2, b = 0, c = -32, D = 02 - 4·2·(-32) = 256 > 0, also zwei Lösungen
b) a = 5, b = 15, c = 0, D = 152 - 4·5·0 = 225 > 0, also zwei Lösungen
c) a = 1, b = 10, c = 25, D = 102 - 4·1·25 = 0, also eine Lösung
d) a = 1, b = -11, c = 30, D = (-11)2 - 4·1·30 = 1 > 0, also zwei Lösungen
e) a = 1, b = 0, c = 9, D = 02 - 4·1·9 = -36 < 0, also keine Lösung
f) a = 1, b = -11, c = -30, D = (-11)2 - 4·1·(-30) = 241 > 0, also zwei Lösungen

e) a = 6, b = -11, c = -10, D = (-11)2 - 4·6·(-10) = 361 > 0, also zwei Lösungen


Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe 8

Ermittle für die quadratische Gleichung 2x2 - 4x + k = 0 die Diskriminante D.
Finde heraus für welchen Wert / welche Werte von k die Gleichung eine Lösung / zwei Lösungen oder keine Lösung hat.

D = (-4)2 - 4·2·k = 16 - 8k
Es ist D = 0 für k = 2, also hat die Gleichung für k = 2 genau eine Lösung.
Ist k > 2, so ist D < 0 und die Gleichung hat keine Lösung.

Ist k < 2, so ist D > 0 und die Gleichung hat zwei Lösungen.

weitere Aufgaben

Nuvola apps kig.png   Merke

Falls die quadratische Gleichung ax2 + bx +c = 0 Lösungen hat, erhältst du sie
x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 -4ac}}{2a} (abc-Formel)

Ist a = 1, dann verwendet man oft p und q statt b und c. Es ist dann b = p und c = q und falls die quadratische Gleichung x2 + px + q = 0 Lösungen hat sind sie x_{1,2} = \frac{-p \pm \sqrt{p^2 -4q}}{2} (pq-Formel)


Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe 9

Bei 3. und 4 wird die "pq-Formel" verwendet. p und q nimmt man, wenn a = 1 ist, dann ist b = p und c = q. Die Lösungsformel ist dann x_{1,2} = \frac{-p \pm \sqrt{p^2-4q}}{2}.


Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe 10

1. Bearbeite die Aufgaben auf dieser Seite
2. Bearbeite auf dieser Seite die Aufgaben. (Die Aufgaben kommen nach dem Stoff und Beispielen.)
3. Bearbeite die Klapptests Klapptest 1, Klapptest 2 (Die Lösungen findest du leicht durch Zerlegen in Linearfaktoren bzw. Satz von Vieta.)
Mit der Lösungsformel bearbeite Klapptest 3, Klapptest 4


Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe 11

Bearbeite in Mathegym den Arbeitsauftrag "quadratische Gleichungen 1".

Videos

Zerlegung in Linearfaktoren:


Schaut nur den Teil zu den quadratischen Gleichungen an, höhere Polynome kommen erst in der 10. Klasse.

Satz von Vieta:

Lösungsformel:

pq-Formel:
Mitternachtsformel:

Eselsbrücken

Bär 1, Bär 2,

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