M11 Verschieben und Spiegeln der Exponentialkurven: Unterschied zwischen den Versionen

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<ggb_applet height="700" width="800" filename="Exponentialfunktion 9.ggb" />  
 
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2. Mache ähnliche Schritte für den Graph den Funktion <math>g:x \to 3 - 4\cdot 2^x</math>.}}
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2. Mache ähnliche Schritte für den Graph den Funktion <br>
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a) <math>g:x \to 3 - 4\cdot 2^x</math>.<br>
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b) <math>g:x \to \frac{1}{2}\cdot 2^x - 5 </math>.<br>}}
  
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{{Lösung versteckt|1=Beachte <math>4\cdot 2^x =2^{x+2}</math> ! }}
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{{Lösung versteckt|1=2. a) Beachte <math>4\cdot 2^x =2^{x+2}</math> <br>
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<math>4\cdot 2^x = 2^{x+2}</math>, also <math>g(x)=3 - 2^{x+2}</math>.<br>
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Im Exponent steht x+1, also eine Verschiebung in x-Richtung um -2, (2 nach links).<br>
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- vor der Potenz bedeutet, dass der Graph an der x-Achse gespiegelt wird.<br>
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Verschiebung um 3 in y-Richtung (3 nach oben).
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b) Es ist <math>g(x)=\frac{1}{2}\cdot 2^x - 5=2^{x-1} - 5</math>.<br>
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x-1 im Exponent bedeutet, dass der Graph um 1 in x-Richtung verschoben wird (1 nach rechts).<br>
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-5 bedeutet, dass der Graph um -5 in y-Richtung verschoben wird (5 nach unten). }}
  
 
{{Aufgaben-blau|3|2=Buch S. 96 / 8  }}
 
{{Aufgaben-blau|3|2=Buch S. 96 / 8  }}

Version vom 26. Februar 2021, 14:17 Uhr

Im folgenden Applet kann man mit den Schiebereglern für a, b, c und d die Werte der Parameter der Exponentialfunktion g mit g(x) = b \cdot a^{x-c} +d ändern.

Zur Kontrolle ist der Graph der Funktion f mit f(x) = a^x eingezeichnet.


Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe 1

1. Verändere mit dem Schieberegler für c den Wert von c. Lass die anderen Schieberegler in ihrer Einstellung.
Was beobachtest du, wenn sich der Wert von c ändert? Notiere deine Beobachtungen.

2. Stelle den Schieberegler von c wieder auf c = 0. Verändere mit dem Schieberegler für d den Wert von d. Lass die anderen Schieberegler in ihrer Einstellung.
Was beobachtest du, wenn sich der Wert von d ändert? Notiere deine Beobachtungen.

3. Stelle den Schieberegler von d wieder auf d = 0. Verändere mit dem Schieberegler für bden Wert von b. Lass die anderen Schieberegler in ihrer Einstellung.
Was beobachtest du, wenn sich der Wert von c ändert? Notiere deine Beobachtungen.

1. Der Graph der Funktion f(x) = a^x wird um c in Richtung der x-Achse verschoben.
Ist c > 0, dann erfolgt die Verschiebung nach rechts, ist c < 0, dann erfolgt die Verschiebung nach links in x-Richtung.

2. Der Graph der Funktion f(x) = a^x wird um d in Richtung der y-Achse verschoben.
Ist d > 0, dann erfolgt die Verschiebung nach oben, ist d < 0, dann erfolgt die Verschiebung nach unten in y-Richtung.

3. Ist b > 1, wird der Graph von f in y-Richtung gestreckt.
Ist 0 < b < 1, wird der Graph von f in y-Richtung gestaucht.

Ist b < 0, erfolgt noch eine Spiegelung an der x-Achse.


Beispiel: Wie erhält man den Graphen der Funktion g:x\to 1,5 - 2^{x+1} aus dem Graphen der Funktion f.x \to 2^x?
1. Im Exponent steht x+1, also wird der Graph von f um -1 in x-Richtung (um 1 nach links) verschoben. Beachte, dass im Exponent x-c steht. Das bedeutet, dass x + 1 = x - (-1) zu betrachten ist und c = -1.
2. Vor der Potenz steht ein -, also wird der Graph von 2^{x+1} an der x-Achse gespiegelt.
3. Nun wird der Graph noch um d = 1,5 in y-Richtung (um 1,5 nach oben) verschoben.


Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe 2

1. Verifiziere die drei Schritte im Applet.

2. Mache ähnliche Schritte für den Graph den Funktion
a) g:x \to 3 - 4\cdot 2^x.
b) g:x \to \frac{1}{2}\cdot 2^x - 5 .

2. a) Beachte 4\cdot 2^x =2^{x+2}
4\cdot 2^x = 2^{x+2}, also g(x)=3 - 2^{x+2}.
Im Exponent steht x+1, also eine Verschiebung in x-Richtung um -2, (2 nach links).
- vor der Potenz bedeutet, dass der Graph an der x-Achse gespiegelt wird.
Verschiebung um 3 in y-Richtung (3 nach oben).

b) Es ist g(x)=\frac{1}{2}\cdot 2^x - 5=2^{x-1} - 5.
x-1 im Exponent bedeutet, dass der Graph um 1 in x-Richtung verschoben wird (1 nach rechts).

-5 bedeutet, dass der Graph um -5 in y-Richtung verschoben wird (5 nach unten).


Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe 3

Buch S. 96 / 8


Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe 4

Buch S. 96 / 9, 10, 11

96/9 A) 3x hat den Schnittpunkt (0;1) mit der y-Achse und ist monoton steigend, also Graph f.
B) 3x-1 hat den Schnittpunkt (0; 1/3) mit der y-Achse und ist monoton steigend, also Graph h.
C) -3x hat den Schnittpunkt (0;-1) mit der y-Achse, also Graph m<.
D) 3-x hat den Schnittpunkt (0;1) mit der y-Achse und ist monoton fallend, also Graph g.

96/10 a) Verschiebung um -3 in y-Richtung (3 nach unten).
Waagrechte Asymptote ist die positive Gerade y = -3.
b) Verschiebung um 4 in y-Richtung (4 nach oben).
Waagrechte Asymptote ist die positive Gerade y = 4.
c) Streckung um den Faktor 3 in y-Richtung.
Waagrechte Asymptote ist die positive x-Achse.
d) Stauchung um 1/3 in y-Richtung.
Waagrechte Asymptote ist die positive x-Achse.
e) Spiegelung an der x-Achse.
Waagrechte Asymptote ist die positive x-Achse.
f) Spiegelung an der x-Achse und verschieben um -3 in y-Richtung (3 nach unten).
Waagrechte Asymptote ist die positive Gerade y = -3.
g) Spiegelung an der x-Achse und Verschiebung um 1 in y-Richtung (1 nach oben).
Waagrechte Asymptote ist die positive Gerade y = 1. h) Spiegelung an der x-Achse und Streckung in y-Richtung um den Faktor 3.

96/11 a)3^{x+1}=3\cdot 3^x
b) 10^{-x}=\left (\frac{1}{10}\right )^x
c) 2^{-x-1}=0,5\cdot\left (\frac{1}{2} \right )^x
d) 2^{-x} - 1=\left ( \frac{1}{2} \right )^x -1
e) 2^{2x+5}=32\cdot 4^x
f) 3^{-2x + 5}=243 \cdot \left ( \frac{1}{9} \right )^x
g) 3^{-2x} + 5=\left ( \frac{1}{9} \right )^x + 5

g) 4^{\frac{1}{2}x}=(\sqrt 4)^x =2^x
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