M9 Die allgemeine Wurzel: Unterschied zwischen den Versionen
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Beispiele: <math>\sqrt [5] {1024} = 4</math><br> | Beispiele: <math>\sqrt [5] {1024} = 4</math><br> | ||
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<math>\sqrt [10] {1024} = 2</math><br> | <math>\sqrt [10] {1024} = 2</math><br> | ||
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| − | <math>\sqrt | + | <math>\sqrt [5] {243} = 3</math><br> |
| − | <math> \sqrt [3 | + | <math> \sqrt [3] {729} = 9</math> |
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Mit der n-ten Wurzel hat man die Möglichkeit weitere Gleichungen zu lösen:<br> | Mit der n-ten Wurzel hat man die Möglichkeit weitere Gleichungen zu lösen:<br> | ||
Version vom 1. März 2021, 12:20 Uhr
Zu Beginn des Schuljahres haben wir 
als die positive Zahl definiert, die quadriert a ergibt. Diese Definition wird nun erweitert.
 Merke:
Die n-te Wurzel ![(\sqrt [n] {a})^n = a](/images/math/3/b/7/3b7a007cfd6f5f5ef3513c35c5bf6032.png) Die Zahl a unter dem Wurzelzeichen heißt Radikand, n ist der Wurzelexponent. Es ist 1. |
![\sqrt [n] {a}](/images/math/9/a/2/9a2b6d33f3d62a1e8bd99c76f3cb79f5.png)
aus a mit n
N\{1} und a![\sqrt [n] {a} \ge 0](/images/math/b/e/f/befde518159cf76e5392a4a14345374a.png)
![\sqrt [n] {a^n} = a](/images/math/a/7/3/a73d367ed0ace076492bd5d360b13ed6.png)
falls a ≥ 0
Wenn a < 0 ist, dann hat die quadratische Gleichung x2 = a keine Lösung. Wenn nun n eine ungerade Zahl ist, dann gibt es Lösungen. Die Gleichung x3 = -8 hat die Lösung x = -2, da (-2)3 = -8 ist. Also kann man unterscheiden:
30px Merke
Die Gleichung xn = a kann zwei Lösungen, eine Lösung oder keine Lösung haben, je nachdem ob: n gerade ist und n ungerade ist und |
![-\sqrt [n] {a}, \sqrt [n] {a}](/images/math/9/1/f/91f0181839fadbec49ab7cf78f53f424.png)
}![-\sqrt [n]{a}](/images/math/d/5/3/d53b7538d927f8fc73a562de8ef434ae.png)
}
Beispiele: ![\sqrt [5] {1024} = 4](/images/math/c/d/f/cdf9e10220895ffd78969ffd1c45d2f4.png)
![\sqrt [4] {0,0016} = 0,2](/images/math/b/f/3/bf3a40d532633f46620db7e11aeae85a.png)
![\sqrt [10] {1024} = 2](/images/math/d/e/b/deb29ea68afda2936fc6b5202e5ba1cb.png)
![\sqrt [3] {216} = 6](/images/math/b/b/b/bbb8d86b8dfcb8c9b861eddb3a8bd42f.png)
![\sqrt [5] {243} = 3](/images/math/e/0/5/e05396213ebba89eaebcb52448c6f6cd.png)
![\sqrt [3] {729} = 9](/images/math/a/2/8/a285934a9163e49c806a2513a126965b.png)
Mit der n-ten Wurzel hat man die Möglichkeit weitere Gleichungen zu lösen:
x3 = 216 hat die Lösung x = 6
x3 = -216 hat die Lösung x = -6
x5 = 1024 hat die Lösung x = 4
x4 = 256 hat die Lösungen x = -4 und x = 4
x4 = 2401 hat die Lösungen x = -7 und x = 7
x5 = -243 hat die Lösung x = -3
x4 = -256 hat die keine Lösung
