M10 Der Logarithmus: Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 13. April 2021, 13:59 Uhr

Die Gleichung $2^x = 4$ ist ganz leicht zu lösen. Man erhält $x = 2$ . Dies geht immer gut, wenn der Wert auf der rechten Seite eine Potenz der Basis ist, also
$2^x = 1024$ hat die Lösung $x = 10$ ,
$5^x = 625$ hat die Lösung $x = 4$ ,
$3^x = 243$ hat die Lösung $x = 5$ .

Doch was macht man, wenn die Gleichung $2^x = 5$ lautet?

Man hatte schon einmal ein ähnliches Problem. Die Gleichung $x^2 = 4$ hat die Lösungen $x_1 = -2$ und $x_2=2$ . Für die Gleichung $x^2 = 5$ hat man dann neue Zahlen eingeführt, die Wurzeln, und die Gleichung hatte die Lösungen $x_1 = -\sqrt 5, x_2 = \sqrt 5$ .

Für die Gleichung $2^x = 5$ muss man, um eine Lösung zu haben, neue Zahlen einführen, die Logarithmen bzw. den Logarithmus.

Merke:

Die Gleichung $a^x = p$ mit a $\in$ R⁺ und p > 0 hat die Lösung $x = log_a (p)$ .

Man spricht für $x = log_a (p)$ : "x ist der Logarithmus von p zur Basis a"

Beispiele: $2^x = 4$ hat die Lösung $x = log_2(4) = 2$
$3^x = 243$ hat die Lösung $x = =log_3(243)=5$
$10^x = 5$ hat die Lösung $x = log_{10}(5)$
$2^x = 19$ hat die Lösung $x = log_2[18)$

Aufgabe 1

1. Schreibe den Exponenten als Logarithmus
a) $2^3 = 8$
b) $5^4 = 625$
c) $2^{-3} = \frac{1}{8}$
d) $7^0 = 1$
e) $10^{-2}=0,01$
f) $100^{\frac{1}{2}}=10$

2. Schreibe die Logarithmusgleichung als Exponentialgleichung
a) $log_3(9) = 2$
b) $log_4(16) = 2$
c) $log_4(\frac{1}{16}) = -2$
d) $log_8(0,125) = -1$
e) $log_3(\frac{1}{81})= -4$

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1a) $3 = log_2(8)$
b) $4 = log_5(625)$
c) $-3 = log_2(\frac{1}{8})$
d) $0 = log_7(1)$
e) $-2 = log_{10}(0,1)$
f) $\frac{1}{2}=log_{100}(10)$

2a) $3^2 = 9$
b) $4^2 = 16$
c) $4^{-2}=\frac{1}{16}$
d) $8^{-1}=0,125$

e) $3^{-4}=\frac{1}{81}$

Merke:

Es ist $log_a(a^r) = r$

$log_a(1) = 0$

Aufgabe 2

1. Buch S. 101 / 3

2. Buch S. 102 / 4

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Stelle eventuell die passende Exponentialgleichung auf!
Für log₂(32) lautet die Exponentialgleichung $2^x = 32$ , also x = 5

1a) 5; b) 10; c) 5; d) 1; e) 4; f) 0; g) -1; h) -3; i) -2; k) -1; l) -2; m) -3
n) -1; o) -1; p) -3; q) 2; r) 0; s) 2; t) 1; u) -1; v) 2; w) 0; x) -1; y) -2

2a) 0,5; b) 0,5; c) $\frac{1}{3}$ ; d) $\frac{1}{3}$ ; e) $\frac{1}{5}$ ; f) $\frac{2}{3}$ ; g) $\frac{3}{2}$ ; h) $\frac{3}{2}$ ;;

i) $\frac{9}{2}$ ; k) 0,5; l) $\frac{3}{2}$ ; m) $-\frac{3}{2}$ ; o) 2; p) -6; q) 0

Aufgabe 3

Logarithmiere
a) $log_a(a^3)$
b) $log_a(a^5)$
c) $log_a(1)$
d) $log_a(\frac{1}{a^2})$
e) $log_a(\frac{1}{a})$
f) $log_a(a)$
g) $log_a(\sqrt a)$
h) $log_a(\sqrt[5]{a})$
i) $log_a(\sqrt[4]{a^3})$
k) $log_a(\frac{1}{\sqrt a})$

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a) $log_a(a^3)= 3$
b) $log_a(a^5)= 5$
c) $log_a(1)= 0$
d) $log_a(\frac{1}{a^2})= -2$
e) $log_a(\frac{1}{a})= -1$
f) $log_a(a)=1$
g) $log_a(\sqrt a)=\frac{1}{2}$
h) $log_a(\sqrt[5]{a})=\frac{1}{5}$
i) $log_a(\sqrt[4]{a^3})=\frac{3}{4}$

k) $log_a(\frac{1}{\sqrt a})=-\frac{1}{2}$

Merke:

Rechengesetze des Logarithmus

Logarithmus eines Produkts: $log_a(p\cdot q) = log_a(p) + log_a(q)$

Logarithmus eines Quotienten: $log_a(\frac{p}{q})=log_a(p) - log_a(q)$

Logarithmus einer Potenz: $log_a(p^r) = r\cdot log_a(p)$

Zur Begründung der Rechenregeln:
Man geht bei den Begründungen auf die Definition des Logarithmus zurück und macht dann entsprechende Umformungen bei den Exponentialgleichungen. Das Ergebnis erhält man, wenn man die Exponenten vergleicht.
1. $log_a(p\cdot q) = log_a(p) + log_a(q)$ erhält man durch folgende Überlegung:
$p = b^x$ und $q = b^y$ . Dann ist $p\cdot q = b^x \cdot b^y = b^{x+y}$ , also $x + y = log_b(p\cdot q)$ .
Da $x = log_b (p)$ und $y = log_b(q)$ ist erhält man $log_b(p)+log_b(q)=x+y=log_b(p\cdot q)$ .

2. $log_a(\frac{p}{q}) = log_a(p) - log_a(q)$ erhält man durch folgende Überlegung:
$p = b^x$ und $q = b^y$ . Dann ist $p : q = b^x : b^y = b^{x-y}$ , also $x - y = log_b(p : q)$ .
Da $x = log_b (p)$ und $y = log_b(q)$ ist erhält man $log_b(p)-log_b(q)=x-y=log_b(p: q)=\log_b(\frac{p}{q})$ .

3. Es ist $a^{log_a(p^r)} = p^r = (a^{log_a(p)})^r=a^{r\cdot log_a(p)}$ . Zwei Potenzen mit gleicher Basis haben denselben Wert, wenn auch ihre Exponenten gleich sind, also $log_a(p^r) = r\cdot log_a(p)$ .

Beispiele:1. $log_3(9a^4)=log_3(9)+log_3(a^4)=log_3(3^2)-4\cdot log_3(a) = 2 + 4log_3(a)$

2. $log_{10}(1000\cdot\sqrt[5]{a^2}=log_{10}(1000)+log_{10}(a^{\frac{2}{5}})=3 +\frac{2}{5}log_{10}(a)$

3. $log_2 (6) log_2(48) = log_2(\frac{6}{48})=log_2(\frac{1}{8})=log_2(2^{-3})=-3$

Merke

Für $log_{10}$ schreibt man $lg$

Für $log_e$ schreibt man $ln$ , wenn e die Eulersche Zahl e = 2, 718 281 828 459 045 235 360 287 ... ist.

Diese beiden Symbole findest du auch auf dem Taschenrechner.

4. $lg(\sqrt {250})-lg(\sqrt 2)+0,5lg(8)=lg({\frac{\sqrt {250} \cdot \sqrt 8}{\sqrt 2}}= lg(\sqrt{1000} =\lg(10^{\frac{3}{2}})=\frac{3}{2}$

Aufgabe 4

Für die Logarithmen zur Basis 2 hat man diese Tabelle:

Berechne die Logarithmen auf zwei verschiedene Arten:
1.) indem du zuerst das Argument des Logarithmus berechnest und dann logarithmierst.
2.) indem die Rechenregeln verwendest und die Logarithmen addierst, subtrahierst, ....

Beispiel: log₂(4·8) berechnest du als 1.) log₂(4·8)=log₂(32)=5
2. log₂(4·8) = log₂(4) + log₂ = 2 + 3 = 5

a) log₂(4·16)
b) log₂(4·32)
c) log₂(8·32)
d) log₂( $\frac{32}{8}$ )
e) log₂( $\frac{64}{4}$ )
f) log₂( $\frac{128}{8}$ )
g) log₂( $\frac{256}{32}$ )
h) log₂(4³)
i) log₂(8⁵)

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a) 1.) log₂(4·16)=log(64)=6
2.) log₂(4·16)= log₂(4) + log₂(16) = 2 + 4 = 6

b) 1.) log₂(4·32)= log₂(128) = 7
2.) log₂(4·16) = log₂(4) + log₂(16) ? 2 + 4 = 6

c) 1.) log₂(8·32) = log₂(256) = 8
2.) log₂(8·32)= log₂(8) + log₂(32) = 3 + 5 = 8

d) 1.) log₂( $\frac{32}{8}$ ) = log₂(4) = 2
2.) log₂( $\frac{32}{8}$ ) = log₂(32) - log₂(8) = 5 - 3 = 2

e) 1.) log₂( $\frac{64}{4}$ ) = log₂(16) = 4
2.) log₂( $\frac{64}{4}$ ) = log₂(64) - log₂(4) = 6 - 2 = 4

f) 1.) log₂( $\frac{128}{8}$ ) = log₂(16) = 4
2.) log₂( $\frac{128}{8}$ ) = log₂(128) - log₂(8) = 7 - 3 = 4

g) 1.) log₂( $\frac{256}{32}$ ) = g) log₂(8) = 3
2.) g) log₂( $\frac{256}{32}$ ) = log₂(256) - log₂(32) = 8 - 5 = 3

h) 1.) log₂(4³) = log₂(512) = 9
2.) log₂(4³) = 3·log₂(4) = 3·3 = 9

i) 1.) log₂(8⁵) = log₂(32768) = 15

2.) log₂(8⁵) = 5·log₂(8) = 5·3 = 15

Merke

Nicht verwechseln!

Merke:

Basiswechsel: $log_a(p) = \frac{log_b(p)}{log_b(a)}$

Zur Begründung: $x = log_a(p)$ ist Lösung der Gleichung $a^x = p$ .
Nun möchte man die Basis a durch die Basis b ersetzen. Dazu verwendet man, dass $a = b^{log_b(a)}$ ist.
Es ist dann $a^x = (b^{log_b(a)})^x = b^{x \cdot log_b(a)}$ und die Gleichung lautet dann $b^{x \cdot log_b(a)}=p$
Diese Gleichung löst man nach dem Exponenten auf. Es ist $x \cdot log_b(a) = log_b(p)$ , dividiert durch den Koeffizienten von x und erhält $x = \frac{log_b(p)}{log_b(a)}$ .
Damit hat man gezeigt, dass $log_a(p) = x = \frac{log_b(p)}{log_b(a)}$ ist.

Beispiele: Auf den Taschenrechnern sind immer zwei Logarithmus-Tasten, meist eine Taste log oder lg für den Logarithmus zur Basis 10 und ln für den Logarithmus zur Basis e.
$log_2(5) = \frac{lg(5)}{lg(2)}\approx 2,231928$
$log_7(2)=\frac{ln(2)}{ln(7)}\approx 0,359207$

Aufgabe 5

Vervollständige die Tabellen mit Hilfe deines Taschenrechners:
1.

2. Verwende die Formel für den Basiswechsel!

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1.

2.

Aufgabe 6

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