M11 Aufgaben zu Logarithmus- und Exponentialfunktionen: Unterschied zwischen den Versionen

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 {{Lösung versteckt|1=Es ist P(0;1), Q(2;e<sup>2</sup>), f'(x) = e<sup>x</sup> imd f'(0) = 1 und f'(2) = e<sup>2</sup>. <br>
 Gleichung der Tangente t<sub>1</sub> in P: y = x + 1<br>
-Gleichung der Tangente t<sub>2</sub> in Q: y = e<sup>2</sup>·x - e<sup>2</sup><br>
+Gleichung der Tangente t<sub>2</sub> in Q: y = e<sup>2</sup>·x - e<sup>2</sup>. (t erhält man aus der Gleichung e<sup>2</sup> = e<sup>2</sup>·2 - t.)<br>
-(t erhält man aus der Gleichung e<sup>2</sup> = e<sup>2</sup>·2 - t.)<br>
 Den Schnittwinkel der beiden Tangenten erhält man, indem man <math>\varphi = \varphi_2 - \varphi_1</math> bildet, wenn <math>\varphi_1</math> der Schnittwinkel von t<sub>1</sub> mit der Waagrechten im Schnittpunkt und <math>\varphi_2</math> der Schnittwinkel von t<sub>2</sub> mit der Waagrechten im Schnittpunkt ist.<br>
-Es ist <math>tan(\varphi_1) = 1</math>, also ist <math>\varphi_1 = 45^o<math>. <br>
+Es ist <math>tan(\varphi_1) = 1</math>, also ist <math>\varphi_1 = 45^o</math>. <br>
 Es ist <math>tan(\varphi_2) = e^2</math>, also ist <math>\varphi_2=82,3^o</math><br>
 Damit ist <math>\varphi = \varphi_2 - \varphi_1 = 82,3^o - 45^o = 37,3^o</math>.<br>
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 <math>x = -\frac{2}{3}(1-ln(2))\approx -0,2</math>
-<math>y = f(-\frac{2}{3}(1-ln(2))) \approx 1,11</math>, also S(-0,2; 1,11)
+<math>y = f(-\frac{2}{3}(1-ln(2)) \approx 1,11</math>, also S(-0,2; 1,11) (näherungsweise, aber genügend genau!)
 Den Schnittwinkel zwischen beiden Graphen  erhält man, indem man den Schnittwinkel der Tangenten in S an G<sub>f</sub> und G<sub>g</sub> bestimmt. Dazu muss man nicht die Tangetengleichungen aufstellen. Es reicht, wenn man die Steigungen in S kennt, denn es ist <math>tan(\varphi) = f'(x_S)</math>.<br>
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 A(0;1) [[Datei:152-8b 1.jpg|350px]]
-Die Tangente in B soll senkrecht zu einer Geraden k mit Steigung -2 sein. Die Tangente in B an G<sub>g</sub> hat dann die Steigung 0,5. Also ist g'(x<sub>B</sub>) = 0,5.<br>
+Die Tangente in B soll senkrecht zu einer Geraden k mit Steigung -2 sein. Die Tangente in B an G<sub>g</sub> hat dann die Steigung 0,5. Also ist g'(x<sub>B</sub>) = 0,5.<br<sup>>
-<math>0,5=\frac{1}{2}e^{x+1} \qquad |\cdot 2</math>
+<math>0,5=\frac{1}{2}e^{x+1} \qquad |\cdot 2</math</sup>>
 <math>1=e^{x+1} \qquad |logarithmieren</math>
 <math> 0 = x+1</math> ergibt <math> x = -1</math> <br>
 B(-1;0,5) [[Datei:152-8b 2.jpg|350px]]   }}
+Buch S. 153 / 4
+{{Lösung versteckt|1=Graph 1 gehört zu Funktion f (f ist die einzige Funktion mit D = R<sup>+</sup>.)<br>
+Graph 2 gehört zu Funktion d (d hat bei x = 0 eine Polstelle.)<br>
+Graph 3 gehört zu Funktion a (e<sup>x</sup> wird um den Faktor 2 in y-Richtung gestreckt, ebenso in x-Richtung, also ist der Verlauf wie bei "e-Funktion" durch (0;2).)<br>
+Graph 4 gehört zu Funktion b (-e<sup>x</sup> ist e<sup>x</sup> an der x-Achse gespiegelt und wird um 3 nach oben verschoben.)<br>
+Graph 5 gehört zu Funktion c (c ist die einzig verbleibende Funktion mit c(0) = 2.)<br>
+Graph 6 gehört zu Funktion e (e hat als einzige Funktion eine Nullstelle bei x = 1.)  }}

Version vom 15. April 2021, 18:49 Uhr

Buch S. 151 / 4

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151 / 4 Da man nur eine Stammfunktion angeben soll, wird auf + C verzichtet.
a) F(x) = e^x + x
b) F(x) = - e^-x
c) F(x) = 0,5(e^x - e^-x)
d) F(x) = 0,5x² + 2x + e^x+2
e) F(x) = e^1+x
f) F(x) = 2e^0,5x

Sie können dies leicht überprüfen, indem Sie prüfen ob F'(x) = f(x) ist.

Buch S. 152 / 7a

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Es ist P(0;1), Q(2;e²), f'(x) = e^x imd f'(0) = 1 und f'(2) = e².
Gleichung der Tangente t₁ in P: y = x + 1
Gleichung der Tangente t₂ in Q: y = e²·x - e². (t erhält man aus der Gleichung e² = e²·2 - t.)

Den Schnittwinkel der beiden Tangenten erhält man, indem man $\varphi = \varphi_2 - \varphi_1$ bildet, wenn $\varphi_1$ der Schnittwinkel von t₁ mit der Waagrechten im Schnittpunkt und $\varphi_2$ der Schnittwinkel von t₂ mit der Waagrechten im Schnittpunkt ist.
Es ist $tan(\varphi_1) = 1$ , also ist $\varphi_1 = 45^o$ .
Es ist $tan(\varphi_2) = e^2$ , also ist $\varphi_2=82,3^o$
Damit ist $\varphi = \varphi_2 - \varphi_1 = 82,3^o - 45^o = 37,3^o$ .

Oder man verwendet die neben der Aufgabe stehende Formel: $tan(\varphi) = \left | \frac{m_2-m_1}{1+m_1m_2} \right| = \left | \frac{e^2 - 1}{1 + 1\cdot e^2} \right |=0,76159...$ ergibt $\varphi = 37,3^o$ .

Buch S. 152 / 8

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a) Die Koordinaten des Schnittpunkts S der beiden Graphen erhält man, indem man die Funktionsterme gleich setzt.
$e^{-\frac{x}{2}}=0,5e^{x+1} \qquad |\cdot e^{-(x+1)}$
$e^{-\frac{x}{2}}\cdot e^{-(x+1)}=0,5$
$e^{-\frac{x}{2} - x - 1}=\frac{1}{2}$
$e^{-\frac{3x}{2}}\cdot e^{- 1}=\frac{1}{2} \qquad |\cdot e$
$e^{-\frac{3x}{2}}=\frac{e}{2} \qquad |logarithmieren$
$-\frac{3x}{2} = ln(\frac{e}{2})$
$-\frac{3}{2}x=ln(e) - ln(2)$
$-\frac{3}{2}x=1 - ln(2) \qquad |\cdot (- \frac{2}{3})$
$x = -\frac{2}{3}(1-ln(2))\approx -0,2$

$y = f(-\frac{2}{3}(1-ln(2)) \approx 1,11$ , also S(-0,2; 1,11) (näherungsweise, aber genügend genau!)

Den Schnittwinkel zwischen beiden Graphen erhält man, indem man den Schnittwinkel der Tangenten in S an G_f und G_g bestimmt. Dazu muss man nicht die Tangetengleichungen aufstellen. Es reicht, wenn man die Steigungen in S kennt, denn es ist $tan(\varphi) = f'(x_S)$ .
Man berechnet $f'(x) = -\frac{1}{2}e^{-\frac{x}{2}}$ und $f'(-\frac{2}{3}(1-ln(2)))\approx -0,55$ .
$g'(x)=\frac{1}{2}e^{x+1}$ und $g'(e^((-(2*ln(2)/3-2/3))/2)) \approx 1,11$ .
Für $f$ ist $tan(\varphi_1)=-0,55385$ und $\varphi_1 = -28,98^o$ und
für $g$ ist $tan(\varphi_2) = 1,10770$ und $\varphi_2 = 47,93^o$ .
Damit ist $\varphi = \varphi_2 - \varphi_1 = 47,93^o - (-28,98^o) = 76,91^o$ .

b) Die Tangente in A soll parallel zu einer Geraden h mit Steigung - 0,5 sein. Also ist f'(x_A) = - 0,5.
$- 0,5 = -\frac{1}{2}e^{-\frac{x}{2}} \qquad | \cdot (-2)$ $1 =e^{-\frac{x}{2}} \qquad |logarithmieren$
$ln(1) = -\frac{x}{2}$ ergibt $0 = -\frac{x}{2}$ und $x = 0$ .
A(0;1)

Die Tangente in B soll senkrecht zu einer Geraden k mit Steigung -2 sein. Die Tangente in B an G_g hat dann die Steigung 0,5. Also ist g'(x_B) = 0,5.<br^{>

ergibt

B(-1;0,5) </div>}

Buch S. 153 / 4

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Graph 1 gehört zu Funktion f (f ist die einzige Funktion mit D = R⁺.)
Graph 2 gehört zu Funktion d (d hat bei x = 0 eine Polstelle.)
Graph 3 gehört zu Funktion a (e^x wird um den Faktor 2 in y-Richtung gestreckt, ebenso in x-Richtung, also ist der Verlauf wie bei "e-Funktion" durch (0;2).)
Graph 4 gehört zu Funktion b (-e^x ist e^x an der x-Achse gespiegelt und wird um 3 nach oben verschoben.)
Graph 5 gehört zu Funktion c (c ist die einzig verbleibende Funktion mit c(0) = 2.)

Graph 6 gehört zu Funktion e (e hat als einzige Funktion eine Nullstelle bei x = 1.)

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Version vom 15. April 2021, 18:49 Uhr

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