M11 Aufgaben zu Logarithmus- und Exponentialfunktionen: Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 20. April 2021, 16:29 Uhr

Buch S. 151 / 4

Buch S. 152 / 7a

Buch S. 152 / 8

a) Die Koordinaten des Schnittpunkts S der beiden Graphen erhält man, indem man die Funktionsterme gleich setzt.
$e^{-\frac{x}{2}}=0,5e^{x+1} \qquad |\cdot e^{-(x+1)}$
$e^{-\frac{x}{2}}\cdot e^{-(x+1)}=0,5$
$e^{-\frac{x}{2} - x - 1}=\frac{1}{2}$
$e^{-\frac{3x}{2}}\cdot e^{- 1}=\frac{1}{2} \qquad |\cdot e$
$e^{-\frac{3x}{2}}=\frac{e}{2} \qquad |logarithmieren$
$-\frac{3x}{2} = ln(\frac{e}{2})$
$-\frac{3}{2}x=ln(e) - ln(2)$
$-\frac{3}{2}x=1 - ln(2) \qquad |\cdot (- \frac{2}{3})$
$x = -\frac{2}{3}(1-ln(2))\approx -0,2$

$y = f(-\frac{2}{3}(1-ln(2)) \approx 1,11$ , also S(-0,2; 1,11) (näherungsweise, aber genügend genau!)

Den Schnittwinkel zwischen beiden Graphen erhält man, indem man den Schnittwinkel der Tangenten in S an G_f und G_g bestimmt. Dazu muss man nicht die Tangetengleichungen aufstellen. Es reicht, wenn man die Steigungen in S kennt, denn es ist $tan(\varphi) = f'(x_S)$ .
Man berechnet $f'(x) = -\frac{1}{2}e^{-\frac{x}{2}}$ und $f'(-\frac{2}{3}(1-ln(2)))\approx -0,55$ .
$g'(x)=\frac{1}{2}e^{x+1}$ und $g'(e^((-(2*ln(2)/3-2/3))/2)) \approx 1,11$ .
Für $f$ ist $tan(\varphi_1)=-0,55385$ und $\varphi_1 = -28,98^o$ und
für $g$ ist $tan(\varphi_2) = 1,10770$ und $\varphi_2 = 47,93^o$ .
Damit ist $\varphi = \varphi_2 - \varphi_1 = 47,93^o - (-28,98^o) = 76,91^o$ .

b) Die Tangente in A soll parallel zu einer Geraden h mit Steigung - 0,5 sein. Also ist f'(x_A) = - 0,5.
$- 0,5 = -\frac{1}{2}e^{-\frac{x}{2}} \qquad | \cdot (-2)$
$1 =e^{-\frac{x}{2}} \qquad |logarithmieren$
$ln(1) = -\frac{x}{2}$ ergibt $0 = -\frac{x}{2}$ und $x = 0$ .
A(0;1)

Die Tangente in B soll senkrecht zu einer Geraden k mit Steigung -2 sein. Die Tangente in B an G_g hat dann die Steigung 0,5. Also ist g'(x_B) = 0,5.

Zwei Geraden g₁: y = m₁x+t₁ und g₂: y = m₂x + t₂ stehen senkrecht zueinander, wenn m₁· m₂ = -1 ist.

$0,5=\frac{1}{2}e^{x+1} \qquad |\cdot 2$
$1=e^{x+1} \qquad |logarithmieren$
$0 = x+1$ ergibt $x = -1$

B(-1;0,5)

Buch S. 153 / 14

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Buch S. 154 / 18

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Buch S. 160 / 10

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$f(x) = ln(x^2+\frac{1}{4}) - ln(x)$ , D = R⁺
a) Es ist $ln(x^2+\frac{1}{4}) - ln(x)=ln \left ( \frac{x^2 + 0,25}{x} \right )$
Gemeinsame Punkte mit der x-Achse erhält man, wenn $f(x) = 0$ ist. Es ist $ln \left (\frac{x^2+0,25}{x} \right )=0$ für $\frac{x^2+0,25}{x} = 1$ .
$x^2+0,25 = x$ ist eine quadratische Gleichung.
$x^2 - x + 0,25 = 0$ ergibt mit der binomischen Formel $(x-0,5)^2 = 0$ , also ist x = 0,5 (doppelte) Nullstelle von f.

$f'(x) = \frac{1}{x^2+0,25} \cdot 2x - \frac{1}{x}=\frac{2x}{x^2+0,25}-\frac{1}{x}=\frac{2x^2 -(x^2+0,25)}{x(x^2+0,25)}=\frac{x^2-0,25}{x(x^2+0,25)}$
$f'(x) = 0$ ist $\frac{x^2-0,25}{x(x^2+0,25)}=0$ . Da der Nenner für positive x stets positiv ist, muss man nur den Zähler betrachten. Es ist $x^2-0,25=(x+0,5)(x-0,5)$ . Der Zähler ist 0 für x = - 0,5 und x = 0,5. -0,5 ist nicht in D, also ist $f'(x)=0$ für x = 0,5.
Es ist $f(0,5)=ln(\frac{0,5^2+0,25}{0,5})=ln(1)=0$
Der Zähler ist eine nach oben geöffnete Parabel, die bei der rechten Nullstelle einen VZW -/+ hat. (Der Nenner ist positiv!). Daher hat f' bei x = 0,5 einen VZW -/+ und f hat bei x = 0,5 ein Minimum, G_f bei (0,5;0) einen Tiefpunkt.

b) $\lim_{x\to 0+}[ln(x^2+\frac{1}{4}) - ln(x)]=\infty$ , da ln(0,25) < 0 und $lim_{x\to 0}ln(x)=-\infty$ ist.
Die positive y-Achse ist für $x \to 0+$ Asymptote.

$\lim_{x\to \infty}[ln(x^2+\frac{1}{4}) - ln(x)] =\lim_{x\to \infty}ln(\frac{x^2+0,25}{x}=\infty$ , da der Grad des Zählerpolynoms 2 ist und damit größer als der Grad des Nennerpolynoms. Der Bruch geht für $x\to \infty$ auch gegen $\infty$ .
Der Graph hat für $x\to \infty$ keine Asymptote.

$\lim_{x\to \infty}[ln(x^2+\frac{1}{4}) - ln(x) -ln(x)]=\lim_{x\to \infty}[ln(x^2+0,25)-2ln(x)=\lim_{x\to \infty}\frac{x^2+0,25}{x^2}=ln(1)=0$ , da der Grad des Zählerpolynoms gleich dem Grad des Nennerpolynoms ist. Damit geht der Bruch für $x\to \infty$ gegen 1 .
Die positive x-Achse ist für $x\to \infty$ Asymptote.

c)

d) g(x) = ln(x). Wenn im Argument 2x steht, dann wird der Graph von g um den Faktor 2 in x-Richtung gestaucht.

Den Schnittpunkt von G_h und G_f erhält man, wenn man $ln(2x) = ln(\frac{x^2+0,25}{x})$ löst. Wenn die beiden Logarithmen gleich sind, müssen auch ihre Argumente gleich sein und man muss die Gleichung $2x = \frac{x^2+0,25}{x}$ lösen.
$2x = \frac{x^2+0,25}{x} \qquad |\cdot x$
$2x^2 = x^2 + 0,25 \qquad |-x^2$
$x^2 = 0,25$
$x_{1,2}=\pm 0,5$
Da D = R⁺ ist, hat man nur die Lösung x = 0,5 und der Schnittpunkt ist (0,5;0) (x = 0,5 ist Nullstelle, was man in a) gezeigt hat!)
Den Schnittwinkel $\varphi$ erhält man, wenn man $tan(\varphi_1)=h'(0,5)$ und $tan(\varphi_2)=f'(0,5)$ bestimmt und dann $\varphi = \varphi_1 - \varphi_2$ berechnet.
Es ist $h'(x)=\frac{1}{x}$ , $tan(\varphi_1)=h'(0,5)=2$ und $\varphi_1=63,4^o$ .
$tan(\varphi_2)=f'(0,5)=0$ und $\varphi_2=0^o$ .
Also erhält man $\varphi = 63,4^o$ .

e)

Wenn das Trapez um die x-Ache rotiert entsteht ein Zylinder, bei dem rechts ein Kegel herausgeschnitten ist. Die Grundfläche des Zylinders ist ein Kreis mit Mittelpunkt (0;0) und Radius r = ln(2). Die Höhe des Zylinders ist h = 1, also hat der Zylinder das Volumen $V_Z = r^2\pi \cdot h = (ln(2))^2 \pi$ .
Der Kegel, der recht herausgenommen wird hat ebenfalls den Radius r = ln(2), aber die Höhe h_K = 0,5. Sein Volumen ist $V_K=\frac{1}{3}(ln(2))^2\cdot 0,5 \cdot \pi=\frac{(ln(2))^2}{6}\cdot \pi$ .
Damit hat der Rotationskörper das Volumen $V = V_Z - V_K = (ln(2))^2 \cdot \pi- \frac{(ln(2))^2}{6}\cdot \pi=\frac{5(ln(2))^2}{6}\cdot \pi$ .

Die Oberfläche des Rotationskörpers setzt sich aus der Grundfläche des Zylinders, seiner Mantelfläche und der Mantelfläche des Kegel zusammen. Es ist $G = ((ln(2))^2\pi$ , $M_Z=2r_Z\pi h_Z=2ln(2)\pi$ und $M_K=r_K \pi m=ln(2)\pi\sqrt{(ln(2))^2 + 0,5^2}$ .

Damit ist $O = ((ln(2))^2\pi + 2ln(2)\pi + ln(2)\pi\sqrt{(ln(2))^2 + 0,5^2}$

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 Die Tangente in B soll senkrecht zu einer Geraden k mit Steigung -2 sein. Die Tangente in B an G<sub>g</sub> hat dann die Steigung 0,5. Also ist g'(x<sub>B</sub>) = 0,5.<br>
+ Zwei Geraden g<sub>1</sub>: y = m<sub>1</sub>x+t<sub>1</sub> und g<sub>2</sub>: y = m<sub>2</sub>x + t<sub>2</sub> stehen senkrecht zueinander, wenn m<sub>1</sub>· m<sub>2</sub> = -1 ist.
 <math>0,5=\frac{1}{2}e^{x+1} \qquad |\cdot 2</math><br>
 <math>1=e^{x+1} \qquad |logarithmieren</math><br>

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