M9 Simulation von Zufallsexperimenten: Unterschied zwischen den Versionen
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<center>{{#ev:youtube |HlNoMh2M1_A|350}}</center> }} | <center>{{#ev:youtube |HlNoMh2M1_A|350}}</center> }} | ||
− | {{Aufgaben-blau|7|2=Berechne die Wahrscheinlichkeit für 6 | + | {{Aufgaben-blau|7|2=Berechne die Wahrscheinlichkeit für 6 Richtige im Zahlenlotto. }} |
{{Lösung versteckt|1='''6 Richtige'''<br> | {{Lösung versteckt|1='''6 Richtige'''<br> | ||
− | Wir stellen uns ein Baumdiagramm vor mit den 6 Verzweigungen, wobei jeweils nach links "gezogene Zahl" <math>Z</math> und nach rechts "nicht gezogene Zahl" <math>\overline Z</math> als Äste gehen. Bei der obersten Verzweigung ist die Wahrscheinlichkeit <math>P(Z)=\frac{6}{49}</math> und <math>P(\overline Z)=\frac{43}{49}</math>. Für die vier Ziehungen der ersten vier Kugeln sieht das Baumdiagramm so aus: <br> | + | Wir stellen uns ein vereinfachtes Baumdiagramm vor mit den 6 Verzweigungen, wobei jeweils nach links "gezogene Zahl" <math>Z</math> und nach rechts "nicht gezogene Zahl" <math>\overline Z</math> als Äste gehen. Bei der obersten Verzweigung ist die Wahrscheinlichkeit <math>P(Z)=\frac{6}{49}</math> und <math>P(\overline Z)=\frac{43}{49}</math>. Für die vier Ziehungen der ersten vier Kugeln sieht das Baumdiagramm so aus: <br> |
[[Datei:Lotto 1.jpg]]<br> | [[Datei:Lotto 1.jpg]]<br> | ||
Die Wahrscheinlichkeit für "6 Richtige" ist dann <math>P(6 Richtige)=\frac{6}{49}\cdot \frac{5}{48} \cdot \frac{4}{47}\cdot\frac{3}{46}\cdot \frac{2}{45} \cdot \frac{1}{44}=\frac{6\cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{49\cdot 48 \cdot 47 \cdot 46 \cdot 45\cdot 44} =\frac{1}{13983816}=7,15\cdot 10^{-8}</math> | Die Wahrscheinlichkeit für "6 Richtige" ist dann <math>P(6 Richtige)=\frac{6}{49}\cdot \frac{5}{48} \cdot \frac{4}{47}\cdot\frac{3}{46}\cdot \frac{2}{45} \cdot \frac{1}{44}=\frac{6\cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{49\cdot 48 \cdot 47 \cdot 46 \cdot 45\cdot 44} =\frac{1}{13983816}=7,15\cdot 10^{-8}</math> | ||
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− | }} | + | Im letzten Video wurde eine andere Art der Berechnung dieser Wahrscheinlichkeit gezeigt. Es wird mit Laplace-Wahrscheinlichkeiten <math>P(E)=\frac{Anzahl\ der \ fuer\ E\ guenstigen\ Ergebnisse}{Anzahl\ aller\ Ergebnisse}</math> gearbeitet. Es gibt 49·48·47·46·45·44=10 068 348 752 Möglichkeiten sechs Gewinnzahlen zu ziehen. Bei der Ziehung werden die Kugeln der Reihe nach wie sie gezogen wurden aufgereiht, also etwa 7, 46, 22, 34, 15, 34. Nach der Ziehung werden diese sechs Zahlen der Größe nach mit der Kleinsten beginnend angeordnet. Um sechs Zahlen anzuordnen gibt es 6! = 6·5·4·3·2·1 = 720 Möglichkeiten, die alle zu den gleichen sechs Gewinnzahlen führen. Daher muss man 49·48·47·46·45·44=10 068 348 752 durch 6! = 6·5·4·3·2·1 teilen und hat dann <math>\frac{49\cdot 48 \cdot 47 \cdot 46 \cdot 45\cdot 44}{6\cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}=13983816 </math> Möglichkeiten die sechs Zahlen aus 49 Zahlen zu ziehen. Die Wahrscheinlichkeit für P("6 Richtige")=<math>\frac{1}{13983816}=7,15\cdot 10^{-8}</math>. |
+ | Für den Term <math>\frac{49\cdot 48 \cdot 47 \cdot 46 \cdot 45\cdot 44}{6\cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}</math> führt man eine eigene Bezeichnung ein. Mit Fakultäten lässt sich der Term schreiben: <math>\frac{49\cdot 48 \cdot 47 \cdot 46 \cdot 45\cdot 44}{6\cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}=\frac{49\cdot 48 \cdot 47 \cdot 46 \cdot 45\cdot 44 \cdot 43 \cdot ...\cdot 1}{6\cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 43 \cdot ... \cdot 1}=\frac{49!}{6!\cdot 43!}</math>. Und für den letzten Ausdruck <math> | ||
+ | \frac{49!}{6!\cdot 43!}</math> schreibt man <math>{49 \choose 6}</math>. Es ist also <math>\frac{49\cdot 48 \cdot 47 \cdot 46 \cdot 45\cdot 44}{6\cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}=\frac{49!}{6!\cdot 43!}={49 \choose 6}</math>. | ||
{{Merksatz|MERK=n! ist das Produkt der Zahlen von 1 bis n, also n! = 1 ·2 · 3 · ... · (n-1) · n und heißt '''n Fakultät'''. Außerdem ist 0! = 1. | {{Merksatz|MERK=n! ist das Produkt der Zahlen von 1 bis n, also n! = 1 ·2 · 3 · ... · (n-1) · n und heißt '''n Fakultät'''. Außerdem ist 0! = 1. | ||
− | Der mathematische Term <math>{n \choose k}</math> heißt '''Binomialkoeffizient''' und man berechnet seinen Wert mittels <math>{n \choose k}=\frac{n!}{k!\cdot(n-k)!}</math>, mit <math>k \le n</math>. | + | Der mathematische Term <math>{n \choose k}</math> heißt '''Binomialkoeffizient''' und man berechnet seinen Wert mittels <math>{n \choose k}=\frac{n!}{k!\cdot(n-k)!}</math>, mit <math>k \le n</math>. <br> |
+ | Man spricht für <math>{n \choose k}</math>: "n über k" oder "k aus n". }} | ||
− | {{Aufgaben-blau| | + | {{Aufgaben-blau|8|2=Berechne a) <math>{2 \choose 0}, {2 \choose 1}, {2 \choose 2}</math> |
b) <math>{3 \choose 0}, {3 \choose 1}, {3 \choose 2}, {3 \choose 3} </math> | b) <math>{3 \choose 0}, {3 \choose 1}, {3 \choose 2}, {3 \choose 3} </math> | ||
c) <math>{49 \choose 6}</math> }} | c) <math>{49 \choose 6}</math> }} | ||
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+ | {{Lösung versteckt|1=a) <math>{2 \choose 0}=\frac{2!}{0!\cdot 2!}=\frac{2\cdot 1}{1\cdot 2 \cdot 1}=1</math><br> | ||
+ | <math>{2 \choose 1}=\frac{2!}{1!\cdot 1!}=\frac{2}{1\cdot 1}=2</math><br> | ||
+ | <math>{2 \choose 2}=\frac{2!}{2!\cdot 0!}=\frac{2\cdot 1}{2\cdot 2 \cdot 1}=1</math> | ||
+ | |||
+ | b) <math>{3 \choose 0}=\frac{3!}{0!\cdot 3!}=\frac{3\cdot2\cdot 1}{1\cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}=1</math><br> | ||
+ | <math>{3 \choose 1}=\frac{3!}{1!\cdot 2!}=\frac{3\cdot2\cdot 1}{1\cdot 2 \cdot 1}=3</math><br> | ||
+ | <math>{3 \choose 2}=\frac{3!}{2!\cdot 1!}=\frac{3\cdot2\cdot 1}{1\cdot 2 \cdot 1 \cdot 1}=3</math><br> | ||
+ | <math>{3 \choose 3}=\frac{3!}{3!\cdot 0!}=\frac{3\cdot2\cdot 1}{3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 1}=1</math><br> | ||
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+ | c) <math>{49 \choose 6}=\frac{49!}{6!\cdot 43!}=\frac{49\cdot 48 \cdot 47\cdot 46\cdot 45 \cdot 44 \cdot 43 \cdot ...3\cdot2\cdot 1}{6\cdot 5\cdot ... \cdot 2 \cdot 1\cdot 43\cdot 42\cdot ... \cdot 2 \cdot 1}=\frac{49\cdot 48 \cdot 47 \cdot 46 \cdot 45\cdot 44}{6\cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}=13983816</math> }} | ||
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+ | Mit den Binomialkoeffizienten lassen sich die Wahrscheinlichkeiten P("k Richtige") im Zahlenlotte leicht berechnen. Man betrachtet immer die Anzahl aller Ergebnisse <math>{49 \choose 6}=13983816</math> und muss sich dann nur noch die Anzahl der für E günstigen Ergebnisse überlegen.<br> | ||
+ | Für "6 Richtige" gibt es nur ein günstiges Ergebnis, also ist <math>P(6\ Richtige)=\frac{{6 \choose 6}\cdot{43 \choose 0}}{{49 \choose 6}}=\frac{1}{13983816}=7,15\cdot 10^{-8}</math>. | ||
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+ | Für "5 Richtige" hat man <math>{6 \choose 5}=\frac{6!}{1!\cdot 5!}=6</math> Möglichkeiten 5 richtige Kugeln aus den 6 gezogenen Kugeln und <math>{43 \choose 1}=\frac{43!}{1!\cdot 42!}=43</math> Möglichkeiten eine Kugeln aus den 43 nicht gezogenen Kugeln auszuwählen. Also hat man 6·43 = 258 günstige Ergebnisse und die Wahrscheinlichkeit für "5 Richtige" ist <math>P(5\ Richtige)=\frac{{6 \choose 5}\cdot{43 \choose 1}}{{49 \choose 6}}=\frac{6\cdot 43}{13983816}=1,84\cdot 10^{-5}</math>. | ||
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+ | Für "4 Richtige" gibt es <math>{6 \choose 4}=\frac{6!}{2!\cdot 4!}=\frac{6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2 \cdot 1}{2\cdot 1 \cdot 4\cdot 3 \cdot 2 \cdot1}=\frac{6\cdot 5}{2}=15</math> Möglichkeiten aus den 6 gezogenen Zahlen 4 zu nehmen und <math>{43 \choose 2}=\frac{43!}{2!\cdot 41!}=\frac{43\cdot 42\cdot 41\cdot 40\cdot ... \cdot 1}{2\cdot 1 \cdot 41\cdot 40 \cdot ... \cdot1}=\frac{43\cdot 42}{2}=903</math> Möglichkeiten 2 Kugeln aus den 43 nicht gezogenen Kugeln zu wählen. Also hat man 15 · 903 = 13545 günstige Ergebnisse für "4 Richtige". Die Wahrscheinlichkeit für "4 Richtige" ist dann <math>P(4\ Richtige)=\frac{{6 \choose 4}\cdot{43 \choose 2}}{{49 \choose 6}}=\frac{15\cdot 903}{13983816}=9,69\cdot 10^{-4}</math>. | ||
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+ | Für "3 Richtige" gibt es <math>{6 \choose 3}=\frac{6!}{3!\cdot 3!}=\frac{6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2 \cdot 1}{3\cdot 2\cdot 1 \cdot 3 \cdot 2 \cdot1}=\frac{6\cdot 5 \cdot 4}{3\cdot 2}=20</math> Möglichkeiten aus den 6 gezogenen Zahlen 3 zu nehmen und <math>{43 \choose 3}=\frac{43!}{3!\cdot 40!}=\frac{43\cdot 42\cdot 41\cdot 40\cdot 39 \cdot... \cdot 1}{3\cdot 2\cdot 1 \cdot 40 \cdot 29\cdot... \cdot1}=\frac{43\cdot 42 \cdot 41}{3\cdot 2}=12341</math> Möglichkeiten 3 Kugeln aus den 43 nicht gezogenen Kugeln zu wählen. Also hat man 20 · 12341 = 148092 günstige Ergebnisse für "3 Richtige". Die Wahrscheinlichkeit für "3 Richtige" ist dann <math>P(3\ Richtige)=\frac{{6 \choose 3}\cdot{43 \choose 3}}{{49 \choose 6}}=\frac{20\cdot 12341}{13983816}=1,77\cdot 10^{-2}</math>. | ||
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+ | Mit dem Baumdiagramm aus Aufgabe 7 hätte man echte Probleme gehabt, diese Wahrscheinlichkeiten zu berechnen. Dazu war es viel zu vereinfacht. | ||
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+ | {{Aufgaben-blau|9|2=Mit welcher Wahrscheinlichkeit gewinnt man beim Zahlenlotte 6 aus 49?}} | ||
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+ | {{Lösung versteckt|1=Man gewinnt, wenn man mindestens 3 Zahlen richtig getippt hat. Die Wahrscheinlichkeit hierfür ist <math>P(mindestens\ 3\ Richtige) =7,15\cdot 10^{-8}+1,84\cdot 10^{-5}+9,69\cdot 10^{-4}+ 1,77\cdot 10^{-2}=0,018687<2%</math> }} |
Version vom 13. Mai 2021, 10:25 Uhr
Merke:
Sehr viele Zufallsexperimente können mit dem Urnenmodell simuliert werden. Beim Urnenmodell hat man eine Urne in der verschiedenfarbige, aber ansonsten nicht unterscheidbare Kugeln sind. Ein Experiment mit dem Urnenmodell besteht darin, dass man n-mal "blind" nacheinander eine Kugel zieht und die Farbe notiert. Beim Ziehen mit Zurücklegen ändert sich die der Urneninhalt für den nächsten Zug nicht, beim Ziehen ohne Zurücklegen ändert sich der Urneninhalt für den nächsten Zug . |
Hinführung zum Zahlenlotte durch ein einfacheres Spiel "3 aus 20". Und nun zum Zahlenlotte "6 aus 49" |
Im letzten Video wurde eine andere Art der Berechnung dieser Wahrscheinlichkeit gezeigt. Es wird mit Laplace-Wahrscheinlichkeiten gearbeitet. Es gibt 49·48·47·46·45·44=10 068 348 752 Möglichkeiten sechs Gewinnzahlen zu ziehen. Bei der Ziehung werden die Kugeln der Reihe nach wie sie gezogen wurden aufgereiht, also etwa 7, 46, 22, 34, 15, 34. Nach der Ziehung werden diese sechs Zahlen der Größe nach mit der Kleinsten beginnend angeordnet. Um sechs Zahlen anzuordnen gibt es 6! = 6·5·4·3·2·1 = 720 Möglichkeiten, die alle zu den gleichen sechs Gewinnzahlen führen. Daher muss man 49·48·47·46·45·44=10 068 348 752 durch 6! = 6·5·4·3·2·1 teilen und hat dann Möglichkeiten die sechs Zahlen aus 49 Zahlen zu ziehen. Die Wahrscheinlichkeit für P("6 Richtige")=.
Für den Term führt man eine eigene Bezeichnung ein. Mit Fakultäten lässt sich der Term schreiben: . Und für den letzten Ausdruck schreibt man . Es ist also .
Merke:
n! ist das Produkt der Zahlen von 1 bis n, also n! = 1 ·2 · 3 · ... · (n-1) · n und heißt n Fakultät. Außerdem ist 0! = 1. Der mathematische Term heißt Binomialkoeffizient und man berechnet seinen Wert mittels , mit . |
Mit den Binomialkoeffizienten lassen sich die Wahrscheinlichkeiten P("k Richtige") im Zahlenlotte leicht berechnen. Man betrachtet immer die Anzahl aller Ergebnisse und muss sich dann nur noch die Anzahl der für E günstigen Ergebnisse überlegen.
Für "6 Richtige" gibt es nur ein günstiges Ergebnis, also ist .
Für "5 Richtige" hat man Möglichkeiten 5 richtige Kugeln aus den 6 gezogenen Kugeln und Möglichkeiten eine Kugeln aus den 43 nicht gezogenen Kugeln auszuwählen. Also hat man 6·43 = 258 günstige Ergebnisse und die Wahrscheinlichkeit für "5 Richtige" ist .
Für "4 Richtige" gibt es Möglichkeiten aus den 6 gezogenen Zahlen 4 zu nehmen und Möglichkeiten 2 Kugeln aus den 43 nicht gezogenen Kugeln zu wählen. Also hat man 15 · 903 = 13545 günstige Ergebnisse für "4 Richtige". Die Wahrscheinlichkeit für "4 Richtige" ist dann .
Für "3 Richtige" gibt es Möglichkeiten aus den 6 gezogenen Zahlen 3 zu nehmen und Möglichkeiten 3 Kugeln aus den 43 nicht gezogenen Kugeln zu wählen. Also hat man 20 · 12341 = 148092 günstige Ergebnisse für "3 Richtige". Die Wahrscheinlichkeit für "3 Richtige" ist dann .
Mit dem Baumdiagramm aus Aufgabe 7 hätte man echte Probleme gehabt, diese Wahrscheinlichkeiten zu berechnen. Dazu war es viel zu vereinfacht.