M10 Grenzwert und Polynomfunktionen: Unterschied zwischen den Versionen

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Version vom 23. Juli 2021, 08:23 Uhr

Wir betrachten zuerste das Verhalten von Potenzfunktionen f mit f(x) = xn, wobei n eine natürliche Zahl ist.

Nuvola apps kig.png   Merke

Der Grenzwert von allen Potenzfunktionen f mit f(x) = xn ist für x \rightarrow \infty: \lim_{x\to \infty} x^n = \infty

Der Grenzwert für x \rightarrow -\infty ist, wenn

  • n gerade ist: \lim_{x\to -\infty} = \infty
  • n ungerade ist: \lim_{x\to -\infty} = -\infty


Maehnrot.jpg
Merke:

Ein Term anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0 mit reellen Zahlen an, an-1, ... , a1, a0 und an \neq 0 ist ein Polynom vom Grad n.
an, an-1, ... , a1, a0 sind die Koeffizienten.
n, n-1, ..., 2 sind die Exponenten. Der größte Exponent n ist der Grad des Polynoms.


Ordnet man jeder reellen Zahl x den Polynomwert anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0 zu, so erhält man eine Polynomfunktion oder ganzrationale Funktion.


Beispiel: f(x) = -2x^4 + \frac{1}{3}x^3 + x - 52

Der Grad von f(x) ist 4, da die höchste x-Potenz x4 ist.
Die Koeffizienten sind a4 = -2, a3 = \frac{1}{3}, a1 = 1, a0 = -52.
Da im Polynom kein Summand mit x2 vorkommt ist a2 = 0, was man nicht extra notiert.

Maehnrot.jpg
Merke:

Der Grenzwert von Polynomfunktionen f vom Grad n wird durch die höchste x-Potenz xn bestimmt.

Bei den Polynomfunktionen geraden Grade ist das Vorzeichen der beiden Grenzwerte für x \rightarrow -\infty und x \rightarrow \infty gleich, bei ungeradem Grad verschieden.

Ihr Koeffizient an bestimmt dann das Vorzeichen der Grenzwerte.


https://de.serlo.org/mathe/51369/ganzrationale-funktionen-polynomfunktionen

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