M10 Grenzwert und Polynomfunktionen: Unterschied zwischen den Versionen

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{{Aufgaben-blau|1|2=Betätige im folgenden Applet mit dem Schieberegler für n und ändere damit den Exponenten der Potenzfuntkion f mit f(x) = x<sup>n</sup>. Betrachte bei den zugehörigen Graphen G<sub>f</sub> das Verhalten für <math>x \rightarrow \pm \infty</math>.}}
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{{Aufgaben-blau|1|2=Betätige im folgenden Applet den Schieberegler für n und ändere damit den Exponenten der Potenzfuntkion f mit f(x) = x<sup>n</sup>. Betrachte bei den zugehörigen Graphen G<sub>f</sub> das Verhalten für <math>x \rightarrow \pm \infty</math>.}}
  
 
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Aktuelle Version vom 23. Juli 2021, 12:48 Uhr

Wir betrachten zuerste das Verhalten von Potenzfunktionen f mit f(x) = xn, wobei n eine natürliche Zahl ist.


Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe 1

Betätige im folgenden Applet den Schieberegler für n und ändere damit den Exponenten der Potenzfuntkion f mit f(x) = xn. Betrachte bei den zugehörigen Graphen Gf das Verhalten für x \rightarrow \pm \infty.

Nuvola apps kig.png   Merke

Der Grenzwert von allen Potenzfunktionen f mit f(x) = xn ist für x \rightarrow \infty: \lim_{x\to \infty} x^n = \infty

Der Grenzwert für x \rightarrow -\infty ist, wenn

  • n gerade ist: \lim_{x\to -\infty} = \infty
  • n ungerade ist: \lim_{x\to -\infty} = -\infty


Maehnrot.jpg
Merke:

Ein Term anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0 mit reellen Zahlen an, an-1, ... , a1, a0 und an \neq 0 ist ein Polynom vom Grad n.
an, an-1, ... , a1, a0 sind die Koeffizienten.
n, n-1, ..., 2 sind die Exponenten. Der größte Exponent n ist der Grad des Polynoms.


Ordnet man jeder reellen Zahl x den Polynomwert anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0 zu, so erhält man eine Polynomfunktion oder ganzrationale Funktion.


Beispiel: f(x) = -2x^4 + \frac{1}{3}x^3 + x - 52

Der Grad von f(x) ist 4, da die höchste x-Potenz x4 ist.
Die Koeffizienten sind a4 = -2, a3 = \frac{1}{3}, a1 = 1, a0 = -52.
Da im Polynom kein Summand mit x2 vorkommt ist a2 = 0, was man nicht extra notiert.

Maehnrot.jpg
Merke:

Der Grenzwert von Polynomfunktionen f vom Grad n wird durch die höchste x-Potenz xn bestimmt.

Bei den Polynomfunktionen geraden Grade ist das Vorzeichen der beiden Grenzwerte für x \rightarrow -\infty und x \rightarrow \infty gleich, bei ungeradem Grad verschieden.

Ihr Koeffizient an bestimmt dann das Vorzeichen der Grenzwerte.

Im folgenden Applet ist der Graph einer Polynomfunktion 3. Grades f mit f(x) = ax3 - 2x2 + x + 1 dargestellt. Mit dem Schieberegler kann man den Wert von a von +1 auf -1 ändern.

Zur Begründung, dass der Koeffizient an der größten x-Potenz xn den Grenzwert festlegt:

Es ist f(x) = ax^3 - 2x^2 +x+1=x^3(a-2\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2} + \frac{1}{x^3}). Die Brüche in der Klammer gehen alle für x \rightarrow \pm \infty gegen 0. Es ist also \lim_{x \to \pm \infty} f(x) = \lim_{x \to \pm \infty } x^3(a -2\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2} + \frac{1}{x^3}) = \lim_{x \to \pm \infty} ax^3 = a \cdot \lim_{x \to \pm \infty} x^3.
Hier sieht man, dass das Vorzeichen von a den Verlauf von Gf für x \to \pm \infty festlegt.


Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe 2

Bestimme die Grenzwerte von f mit

a) f(x) = 2x2 - 3x + 4
b) f(x) = -3x7 + 3x5 - x
c) f(x) = 3x
d) f(x) = 2x - 17 + 3x4

a) Der Grad der Polynomfunktion ist 2,also gerade. Deshalb ist der Grenzwert für x \to \pm \infty in beiden Fällen gleich. Das Vorzeichen des Koeffizienten 2 von x2 ist positiv, also ist \lim_{x \to \pm \infty} x^2 = \infty

b) Der Grad der Polynomfunktion ist 7, also ungerade. Deshalb ist der Grenzwert für x \to \infty und x \to -\infty jeweils verschieden. Das Vorzeichen des Koeffizienten -3 von x7 ist negativ, also ist \lim_{x \to \infty} f(x) = -\lim_{x \to \infty} x^7 = -\infty und \lim_{x \to -\infty} f(x) = -\lim_{x \to -\infty}x^7 =\infty

c) Der Grad der Polynomfunktion ist 1, also ungerade. Deshalb ist der Grenzwert für x \to \infty und x \to -\infty jeweils verschieden. Das Vorzeichen des Koeffizienten 1 von x ist positiv, also ist \lim_{x \to \infty} f(x) = \lim_{x \to \infty} x = \infty und \lim_{x \to -\infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty}x =-\infty

d) Es ist f(x) = 2x - 17 + 3x4 = 3x4 + 2x -17, damit ist der Grad der Polynomfunktion 4,also gerade. Deshalb ist der Grenzwert für x \to \pm \infty in beiden Fällen gleich. Das Vorzeichen des Koeffizienten 2 von x2 ist positiv, also ist \lim_{x \to \pm \infty} x^2 = \infty


Mehr über Polynomfunktionen findest du hier.

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