Lagebeziehungen von Ebenen: Unterschied zwischen den Versionen

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{{Lösung versteckt|1=Die Lösung hierzu finden Sie im Buch auf S. 142. Es ist das mittlere Beispiel. Man setzt die Koordinaten der Parametergleichung in die Normalenform und löst die Gleichung nach einem Parameter k oder m auf. <br>
 
{{Lösung versteckt|1=Die Lösung hierzu finden Sie im Buch auf S. 142. Es ist das mittlere Beispiel. Man setzt die Koordinaten der Parametergleichung in die Normalenform und löst die Gleichung nach einem Parameter k oder m auf. <br>
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Es  ergibt sich z.B. m = 1 - k. Nun setzt man m in die Gleichung von E<sub>2</sub> ein und fasst die Vektoren mit k zusammen und erhält damit die Gleichung der Schnittgeraden g.  
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Es  ergibt sich z.B. m = 1 - k. Nun setzt man für m in die Gleichung der Ebene E<sub>2</sub> (Parameterform) 1-k und fasst die Vektoren mit k zusammen und erhält damit die Gleichung der Schnittgeraden g. (Dies ist in der Lösung im Buch ausführlich dargestellt.)
  
 
Das Bild bei 3. stellt diese Ebenen dar.}}
 
Das Bild bei 3. stellt diese Ebenen dar.}}

Aktuelle Version vom 18. März 2020, 10:34 Uhr

Zwei Ebenen können drei Lagebeziehungen haben: 1. Die beiden Ebenen E1 und E2 sind (echt) parallel.
Lagebeziehung von Ebenen
Die beiden Normalenvektoren \vec{n}_1 der Ebene E1 und \vec{n}_2 der Ebene E2 sind kollinear. Es gilt \vec{n}_1 = k\cdot \vec{n}_2. Da k eine reelle Zahl ist, also auch negativ sein kann, können die Richtungen der beiden Normalenvektoren gleich oder entgegengesetzt sein.
Die beiden Ebenen E1 und E2 haben keinen Punkt gemeinsam E_1\cap E_2 ={ }.

2. Die beiden Ebenen Ebenen E1 und E2 fallen zusammen.
Lagebeziehung von Ebenen
Auch hier sind die beiden Normalenvektoren \vec{n}_1 der Ebene E1 und \vec{n}_2 der Ebene E2 kollinear. Es gilt \vec{n}_1 = k\cdot \vec{n}_2. Da k eine reelle Zahl ist, also auch negativ sein kann, können die Richtungen der beiden Normalenvektoren gleich oder entgegengesetzt sein.
Die beiden Ebenen E1 und E2 haben unendlich viele Punkt gemeinsam E1=E2.

3. Die beiden Ebenen E1 und E2 schneiden sich.
Lagebeziehung von Ebenen
Die beiden Normalenvektoren \vec{n}_1 der Ebene E1 und \vec{n}_2 der Ebene E2 sind nicht kollinear. Es gilt \vec{n}_1 \neq k\cdot \vec{n}_2.
Die beiden Ebenen E1 und E2 haben eine Gerade g gemeinsam E_1\cap E_2 = g, die Schnittgerade.


Die drei Fälle sind auch im Buch auf S. 141 mit guten Biildern beschrieben!

Ebenen sind durch Angabe ihrer Ebenengleichung gegeben. Man kann diese drei Fälle relativ leicht lösen, wenn eine Ebene in Normalenform und die andere Ebene in Parameterform sind. Man setzt dann die Koordinaten der Parameterform in die Normalengleichung ein und erhält eine Gleichung mit zwei Parametern k und m. Dies wollen wir in den drei folgenden Beispielen sehen (ist auch im Buch S. 141 unten beschrieben!).


Beispiele:
zu 1. Die beiden Ebenen E1: 2x1 - x2 - 2x3 - 3 = 0 und die Ebene E2: \vec{x}= \left( \begin{array}{c} 1 \\\ 1 \\\ 0 \end{array}\right) + k \left( \begin{array}{c} 5 \\\ 4 \\\ 3 \end{array}\right) + m \left( \begin{array}{c} 2 \\\ 2 \\\ 1 \end{array}\right) sind echt parallel.

Im Buch auf S. 143 ist diese Aufgabe in der unteren Hälfte gelöst. Es werden zwei Lösungswege angeboten:
Die Koordinaten der Parameterform werden in die Normalenform eingesetzt. Terme mit k und m heben sich auf und es führt zu einer falschen Aussage -2 = 0, dies bedeutet, dass die Gleichung keine Lösung hat. Also besitzen die beiden Ebenen E1 und E2 keinen gemeinsamen Punkt uns sind echt parallel.

Das Bild bei 1. stellt diese Ebenen dar.

zu 2. Die beiden Ebenen E1: 2x1 - x2 - 2x3 - 1 = 0 und die Ebene E2: \vec{x}= \left( \begin{array}{c} 1 \\\ 1 \\\ 0 \end{array}\right) + k \left( \begin{array}{c} 5 \\\ 4 \\\ 3 \end{array}\right) + m \left( \begin{array}{c} 2 \\\ 2 \\\ 1 \end{array}\right) sind identisch. Sie fallen zusammen.

Es hat sich für die Ebene E1 die Konstante geändert. Dies bedeutet, dass die Ebene verschoben wuwrde.
Auch hier gibt es zwei Möglichkeiten für die Lösung:
1. Möglichkeit:
Man setzt die Koordinaten der Parametergleichung in die Normalenform ein.
2(1+5k+2m) - (1+4k+2m) - 2(3k+m) - 1 = 0
2 + 10k + 4m -1 -4k -2m -6k - 2m - 1= 0
0 = 0 Dies ist eine allgemeingültige Gleichung, die unendlich viele Lösungen hat, also ist E1 = E2.
2. Möglichkeit:
Der Normalenvektor der Ebene E1 ist \vec{n}_1= \left( \begin{array}{c} 2 \\\ -1 \\\ -2 \end{array}\right). Den Normalenvektor der Ebene E2 erhält man mit dem Kreuzprodukt \vec{n}_2= \left( \begin{array}{c} 5 \\\ 4 \\\ 3 \end{array}\right) \times \left( \begin{array}{c} 2 \\\ 2 \\\ 1 \end{array}\right) = \left( \begin{array}{c} -2 \\\ 1 \\\ 2 \end{array}\right) .
Man sieht, dass \vec{n}_1= \left( \begin{array}{c} 2 \\\ -1 \\\ -2 \end{array}\right) = -\left( \begin{array}{c} -2 \\\ 1 \\\ 2 \end{array}\right) = -\vec{n}_2 ist. Also sind die beiden Normalenvektoren kollinear.
Nun prüft man noch, ob der Stützpunkt A(1;1;0) der Ebene E2 in der Ebene E1 liegt, also 2·1 - 1·1 - 2·0 - 1 = 0. Somit liegt A auch in der Ebene E1 und die beiden Ebenen E1 und E2 sind identisch.

Das Bild bei 2. stellt diese Ebenen dar.

zu 3. 2. Die beiden Ebenen E1: 2x1 - x2 - 2x3 - 1 = 0 und die Ebene E2: \vec{x}= \left( \begin{array}{c} 0 \\\ -5 \\\ -8 \end{array}\right) + k \left( \begin{array}{c} 2 \\\ 4 \\\ 9 \end{array}\right) + m \left( \begin{array}{c} 1 \\\ 2 \\\ 9 \end{array}\right) schneiden sich. Ermitteln Sie die Gleichung der Schnittgerade g.

Die Lösung hierzu finden Sie im Buch auf S. 142. Es ist das mittlere Beispiel. Man setzt die Koordinaten der Parametergleichung in die Normalenform und löst die Gleichung nach einem Parameter k oder m auf.
Es ergibt sich z.B. m = 1 - k. Nun setzt man für m in die Gleichung der Ebene E2 (Parameterform) 1-k und fasst die Vektoren mit k zusammen und erhält damit die Gleichung der Schnittgeraden g. (Dies ist in der Lösung im Buch ausführlich dargestellt.)

Das Bild bei 3. stellt diese Ebenen dar.
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