M8 - Beispiele weiterer gebrochen-rationaler Funktionen: Unterschied zwischen den Versionen

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Du hast schon verschiedene Graphen gebrochen-rationaler Funktionen gesehen. Hier sollen nun weitere Beispiele gezeigt werden um zu sehen, was alles vorkommen kann.
 
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Du hast für die in direkte Proportionalität <math> f: x \rightarrow \frac{1}{x}</math> gesehen, dass bei x = 0 eine Defintionslücke ist und der Graph dort eine senkrechte Asymptote x = 0 hat. <br>
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Bei Annäherung von x an 0 gehen die y-Werte, wenn x negativ ist nach <math>- \infty</math> und wenn x positiv ist nach <math>\infty</math> und nähern sich der Asympote immer mehr an.
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Anders schaut es schon bei dieser Funktion  <math> f: x \rightarrow \frac{1}{x^2}</math> aus. Diese Funktion hat auch bei x = 0 eine Definitionslücke und der Graph eine senkrechte Asymptote x = 0.<br>
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Bei Annäherung von x an 0 , egal ob mit negativen oder positiven x, gehen die y-Werte  an 0 nach <math>\infty</math> und nähern sich der Asymptote immer mehr an.
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Die Funktion Funktion  <math> f: x \rightarrow \frac{1}{x^2-1}</math> hat wegen x<sup>2</sup>-1=(x+1)(x-1) zwei Definitionslücken bei x = -1 und x = 1. Ihr Graph schaut dann so aus.<br>
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Der Graph hat zwei Asymptoten bei den Definitionslücken x = -1 und x = 1 und nähert sich an diese jeweils unterschiedlich an.
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Du hast auch schon gesehen (Aufgabe S. 117/11), dass gebrochen-rationale Funktionen keine senkrechten Asymptoten haben.<br>
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Hier sind die Graphen achsensymmetrisch zur y-Achse.
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Bei n = 3 (man hat hier x<sup>3</sup> als höchste x-Potenz in Zähler und Nenner, also gleiche x-Potenz) ist die waagrechte Asymptote in y-Richtung verschoben und y = 0,5 istfür <math>x \rightarrow \pm \infty</math> waagrechte Asymptote. <br>
 
Bei n = 3 (man hat hier x<sup>3</sup> als höchste x-Potenz in Zähler und Nenner, also gleiche x-Potenz) ist die waagrechte Asymptote in y-Richtung verschoben und y = 0,5 istfür <math>x \rightarrow \pm \infty</math> waagrechte Asymptote. <br>
 
Bei n = 4 wird die Asymptote für für <math>x \rightarrow \pm \infty</math>  sogar schräg und die Gerade hat die Gleichung y = 0,5x + 1,5.}}
 
Bei n = 4 wird die Asymptote für für <math>x \rightarrow \pm \infty</math>  sogar schräg und die Gerade hat die Gleichung y = 0,5x + 1,5.}}
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{{Merke|1=Für für <math>x \rightarrow \pm \infty</math> haben gebrochen-rationale Funktionen Asymptoten, die waagrecht und auch schräg sein können. }}

Version vom 24. März 2020, 08:26 Uhr

Du hast schon verschiedene Graphen gebrochen-rationaler Funktionen gesehen. Hier sollen nun weitere Beispiele gezeigt werden um zu sehen, was alles vorkommen kann.

Du hast für die in direkte Proportionalität f: x \rightarrow \frac{1}{x} gesehen, dass bei x = 0 eine Defintionslücke ist und der Graph dort eine senkrechte Asymptote x = 0 hat.
1-x-.jpg
Bei Annäherung von x an 0 gehen die y-Werte, wenn x negativ ist nach - \infty und wenn x positiv ist nach \infty und nähern sich der Asympote immer mehr an.


Anders schaut es schon bei dieser Funktion f: x \rightarrow \frac{1}{x^2} aus. Diese Funktion hat auch bei x = 0 eine Definitionslücke und der Graph eine senkrechte Asymptote x = 0.
1 durch x^2.jpg
Bei Annäherung von x an 0 , egal ob mit negativen oder positiven x, gehen die y-Werte an 0 nach \infty und nähern sich der Asymptote immer mehr an.


Die Funktion Funktion f: x \rightarrow \frac{1}{x^2-1} hat wegen x2-1=(x+1)(x-1) zwei Definitionslücken bei x = -1 und x = 1. Ihr Graph schaut dann so aus.
1dxq.jpg
Der Graph hat zwei Asymptoten bei den Definitionslücken x = -1 und x = 1 und nähert sich an diese jeweils unterschiedlich an.

Du hast auch schon gesehen (Aufgabe S. 117/11), dass gebrochen-rationale Funktionen keine senkrechten Asymptoten haben.
117-11 2.jpg
Hier sind die Graphen achsensymmetrisch zur y-Achse.






Im folgenden Beispiel stehen in Zähler und Nenner Terme mit x, der Zählerterm ist eine x-Potenz. Man kann den Exponenten der Zählerpotenz ändern und man sieht die Auswirkungen auf den Graphen und die Asymptoten.


Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe

Im folgenden Applet betrachten wir die Funktion f:x\rightarrow 0,5\frac{x^n}{(x-1)^3} für n = 1, 2, 3, 4. In dem Applet kann man mit dem Schieberegler den Exponenten von x im Zählerpolynom ändern.

Was kannst du über die Asymptoten mit Änderung des Zählerexponenten aussagen?

Die senkrechte Asymptote ist für alle Fälle bei x = 1 und ändert sich nicht.
Ist n = 1 oder n = 2 (die x-Potenz im Zähler ist x oder x2 ist kleiner als die Zählerpotenz x3 im Nenner), dann die x-Achse y = 0 für x \rightarrow \pm \infty waagrechte Asymptote.
Bei n = 3 (man hat hier x3 als höchste x-Potenz in Zähler und Nenner, also gleiche x-Potenz) ist die waagrechte Asymptote in y-Richtung verschoben und y = 0,5 istfür x \rightarrow \pm \infty waagrechte Asymptote.

Bei n = 4 wird die Asymptote für für x \rightarrow \pm \infty sogar schräg und die Gerade hat die Gleichung y = 0,5x + 1,5.


Nuvola apps kig.png   Merke

Für für x \rightarrow \pm \infty haben gebrochen-rationale Funktionen Asymptoten, die waagrecht und auch schräg sein können.

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