Ph10 Impuls und Impulserhaltung

Versuch Was passiert mit dem Impuls bei einem Kraftstoß? Dies soll mit dem folgenden Applet untersucht werden. Öffne das Applet auf der Seite von Walter Fendet. a) Schaue dir zuerst die Seite an, was kannst du einstellen? b) Was ist der Unterschied zwischen elastischen und unelastischen Stoß? [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] a) Man kann einstellen: elastischer oder unelastischer Stoß Für Wagen 1 und Wagen 2 jeweils Masse und Geschwindigkeit Für die Ausgabe: Geschwindigkeit, Impuls, Energie b) Bei einem elastischen Stoß stoßen zwei Körper aufeinander, dabei wird keine Energie in innere Energie umgewandelt. Die Summe der kinetischen Energien (Bewegungsenergien) der beteiligten Körper konstant ist. Es gilt der Energieerhaltungssatz (EES) Bei einem unelastischen Stoß geht beim Stoßen Energie verloren, sie wird in innere Energie (Wärme, Verformung) umgewandelt. Nach dem Stoß sind die beiden Körper zusammen, sie haben die gleiche Geschwindigkeit. Die Summe ihrer Bewegungsenergien ist gegenüber vor dem Stoß rduziert, da sich ein Teil in Wärme und Verformungsenergie umgewandelt hat. Schaue dir dazu im Applet an wie die zwei Stöße realisiert werden. Beim elastischen Stoß trifft ein Wagen auf einen anderen Wagen, zwischen den Wägen ist eine Feder, die sich verformen kann. Beim Stoß verformt sich die Feder, geht aber wieder in ihre ursprüngliche Lage zurück, nach dem Stoß sind die zwei Wägen wieder auseinander. Beim unelastischen Stoß haben die Wägen eine Kupplung, die beim Stoß einrastet und die zwei Wägen bleiben nach dem Stoß zusammen. Wir wollen zuerst den elastischen Stoß untersuchen. Stelle dazu elastischer Stoß ein. Für die zwei Wägen kannst du deren Masse und Anfangsgeschwindigkeit (m1 und v1 für Wagen 1 und m2 und v2 für Wagen2) einstellen. Stelle als Ausgabe Geschwindigkeit ein. Den Versuch startest du durch Betätigen des Start-Buttons. Mache die Einstellungen, notiere was die Einstellungen bedeuten und führe den Versuch aus. Notiere jeweils deine Beobachtungen. Notiere auch die angezeigten Geschwindigkeiten vor und nach dem Stoß. Die Geschwindigkeiten nach dem Stoß sind für Wagen 1 v1' und für Wagen 2 v2'. 1. m1 = m2 = 0,5 kg und v1 = 0,2m/s, v2 = 0m/s. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] Die Einstellungen bedeuten, dass ein Wagen 1 mit der Geschwindigkeit v1 auf einen ruhenden, gleich schweren Wagen 2 trifft. Der Wagen 1 trifft auf Wagen 2. Beim Stoß bleibt Wagen 1 stehen und Wagen 2 bewegt sich mit der Geschwindigkeit von Wagen 1 weiter. v1'=0m/s, v2'=0,2m/s 2. m1 = 1kg, m2 = 0,5kg, v1 = 0,2m/s, v2 = 0m/s [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] Der Wagen 1 trifft mit der Geschwindigkeit v1 auf einen ruhenden, halb so schweren Wagen 2. Der Wagen 1 trifft auf Wagen 2 und stößt diesem an. Wagen 2 bewegt sich mit schnellerer Geschwindigkeit als 0,2m/s nach rechts, Wagen 1 rollt mit langsamerer Geschwindigkeit als 0,2m/s auch nach rechts. v1'=0,0667m/s, v2'=0,267m/s 3. m1 = 0,5kg, m2 = 1,0kg, v1 = 0,2m/s, v2 = 0m/s [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] Der Wagen 1 trifft mit der Geschwindigkeit v1 auf einen ruhenden, doppelt so schweren Wagen 2. Der Wagen 1 trifft auf den Wagen 2 und stößt diesen an. Wagen 2 bewegt sich mit langsamerer Geschwindigkeit als 0,2m/s nach rechts, Wagen 1 rollt mit langsamerer Geschwindigkeit als 0,2m/2 zurück nach links. 4. Mache nun selbst Änderungen für v1 und schau was sich beim Versuch mit sonst gleichen Einstellungen wie 1. - 3. ändert. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] Es ergeben sich analoge Ergebnisse. 5. m1 = m2 = 0,5 kg und v1 = 0,2m/s, v2 = -0,2m/s. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] Die gleich schweren Wägen 1 und 2 fahren in entgegengesetzte Richtung. Wagen 1 fährt nach rechts, Wagen 2 nach links. Die Wägen fahren aufeinander zu und stoßen zusammen. Wagen 1 fährt danach mit der Geschwindigkeit -0,2m/s nach links und Wagen 2 fährt mit der Geschwindigkeit 0,2m/s nach rechts. Der Betrag ihrer Geschwindigkeiten ändert sich nicht, die Wägen ändern jeweils ihre Bewegungsrichtung. 6. m1 = 1kg, m2 = 0,5kg, v1 = 0,2m/s, v2 = -0,2m/s [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] Der doppelt so schwere Wagen 1 fährt gegen den entgegen kommenden Wagen 2. Nach dem Stoß fahren beide Wägen wieder auseinander. Wagen 1 fährt langsamer als 0,2m/s nach links, Wagen 2 fährt schneller als 0,2m/s nach rechts. 7. m1 = 0,5kg, m2 = 1kg, v1 = 0,2m/s, v2 = -0,2m/s [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] Der halb so schwere Wagen 1 fährt gegen den entgegen kommenden Wagen 2. Nach dem Stoß fahren beide Wägen wieder auseinander. Wagen 1 fährt schneller als 0,2m/s nach links, Wagen 2 fährt langsamer als 0,2m/s nach rechts. (Wie 6. nur mit gewechselten Rollen von Wagen 1 und 2.) 8. Mache bei nun gleichen Einstellungen für v1, m1, m2 neue Einstellungen für v2 und schaue was sich bei dem Versuch ändert. 9. Mache nun beliebige Einstellungen für m1, v1, m2, v2.

Für die Wechselwirkung der beiden Wägen trifft das 3. Newtonsche Gesetz zu:

$F_{12} = - F_{21}$

, dabei ist $F_{12}$ die Kraft die Wagen 2 auf Wagen 1 und $F_{21}$ die Kraft die Wagen 1 auf Wagen 2 ausübt. Die beiden Kräfte sind gleich groß, aber entgegengesetzt gerichtet. Die Richtung wird durch - ausgedrückt.

Die Kräfte bewirken jeweils eine Beschleunigung der Wägen:

$F_{12} = - F_{21}$ $m_1 \cdot a_1 = - m_2 \cdot a_2$

Die Beschleunigung $a$ bewirkt jeweils eine Geschwindigkeitsänderung $\Delta v$. Es ist $a = \frac{\Delta v}{\Delta t}$ und damit

$m_1 \cdot \frac{\Delta v_1}{\Delta t} = - m_2 \cdot \frac{\Delta v_2}{\Delta t}$

Bezeichnen $v_1$ und $v_2$ die Geschwindigkeiten von Wagen 1 und Wagen 2 vor dem Stoß und $v^'_1$ und $v^'_2$ die Geschwindigkeiten von Wagen 1 und Wagen 2 nach dem Stoß, so ist $\Delta v_1 = v^'_1 - v_1$ und $\Delta v_2=v^'_2 - v_2$. Damit

$m_1 \cdot \frac{v^'_1 - v_1}{\Delta t} = - m_2 \cdot \frac{ v^'_2 - v_2}{\Delta t}$

Multipliziert man die Gleichung mit $\Delta t$, so erhält man

$m_1 \cdot (v^'_1 - v_1) = - m_2 \cdot (v^'_2 - v_2)$

oder

$m_1 v^'_1 - m_1 v_1 = - m_2 v^'_2 + m_2 v_2$

Bringt man die v-Terme auf die linke Seite und die u-Terme auf die rechte Seite, so ergibt sich:

$- m_1 v_1 - m_2 v_2 = -m_1 v^'_1 - m_2 v^'_2$

Nun multipliziert man die Gleichung mit -1

$m_1 v_1 + m_2 v_2 = m_1 v^'_1 + m_2 v^'_2$

Verwendet man nun für das Produkt $m v$ den Impuls $p$, erhält man

$p_1 + p_2 = p^'_1 + p^'_2$

Merke Beim elastischen Stoß zweier Körper 1 und 2 gilt für ihre Impulse $p_1$ und $p_2$ vor dem Stoß und $p^'_1$ und $p^'_2$ nach dem Stoß. $p_1 + p_2 = p^'_1 + p^'_2$

  Aufgabe 1

1. Formuliere die Aussage des Merksatzes in einem Satz.

2. Veifiziere die Aussage des Merksatzes, indem du jeweils die Ergebnisse des Versuchs verwendest und damit $p_1 + p_2 = p^'_1 + p^'_2$ für jeden Fall überprüfst.

[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

Die Summe der Impulse $p_1$ und $p_2$ vor dem Stoß ist gleich der Summe der Impulse $p^'_1$ und $p^'_2$ nach dem Stoß. Der Gesamtimpuls vor dem Stoß $p_1+p_2$ ist also gleich dem Gesamtimpuls nach dem Stoß $p^'_1 + p^'_2$.

Merke: Für einen zentralen elastischen Stoß gilt der Impulserhaltungssatz (IES): Die Summe der Impule vor dem Stoß ist gleich der Summe der Impule nach dem Stoß. $p_1 + p_2 = p'_1 + p'_2$

  Aufgabe 2

Schaue dir diesen Video an und fasse die Aussagen zusammen.

[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

Beim elastischen Stoß gelten der Energieerhaltungssatz (EES) und Impulserhaltungssatz (IES).
EES: $\frac{1}{2} m_1 v_1 ^2-\frac{1}{2} m_2 v_2 ^2= \frac{1}{2} m_1 v_1' ^2+\frac{1}{2} m_2 v_2' ^2$
IES: $m_1 v_1 + m_2 v_2 = m_1 v'_1 + m_2 v'_2$

Die Geschwindigkeiten $v'_1$ und $v'_2$ der Körper nach dem Stoß erhält man durch die Formeln

$v'_1=2\frac{m_1 v_1 + m_2 v_2}{m_+m_2}-v_1$ und $v'_2=2\frac{m_1 v_1 + m_2 v_2}{m_+m_2}-v_2$

Als nächstes machen wir das gleiche für den inelastischen Stoß

Versuch Stelle im Applet auf der Seite von Walter Fendet nun unelastischer Stoß ein. Für die zwei Wägen kannst du deren Masse und Anfangsgeschwindigkeit (m1 und v1 für Wagen 1 und m2 und v2 für Wagen2) einstellen. Stelle als Ausgabe Geschwindigkeit ein. Den Versuch startest du durch Betätigen des Start-Buttons. Mache die Einstellungen, notiere was die Einstellungen bedeuten und führe den Versuch aus. Notiere jeweils deine Beobachtungen. Notiere auch die angezeigten Geschwindigkeiten vor und nach dem Stoß. Die Geschwindigkeit der beiden Körper nach dem Stoß ist v'. 1. m1 = m2 = 0,5 kg und v1 = 0,2m/s, v2 = 0m/s. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] Die Einstellungen bedeuten, dass ein Wagen 1 mit der Geschwindigkeit v1 auf einen ruhenden, gleich schweren Wagen 2 trifft. Nach dem Stoß fahren beide Wägen mit v'=0,1m/s gemeinsam nach rechts weiter. 2. m1 = 1kg, m2 = 0,5kg, v1 = 0,2m/s, v2 = 0m/s [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] Der Wagen 1 trifft mit der Geschwindigkeit v1 auf einen ruhenden, halb so schweren Wagen 2. Nach dem Stoß fahren beide Wägen mit v'=0,133m/s gemeinsam nach rechts weiter. 3. m1 = 0,5kg, m2 = 1,0kg, v1 = 0,2m/s, v2 = 0m/s [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] Der Wagen 1 trifft mit der Geschwindigkeit v1 auf einen ruhenden, doppelt so schweren Wagen 2. Nach dem Stoß fahren beide Wägen mit v'=0,0667m/s gemeinsam nach rechts weiter. 4. Mache nun selbst Änderungen für v1 und schau was sich beim Versuch mit sonst gleichen Einstellungen wie 1. - 3. ändert. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] Es ergeben sich analoge Ergebnisse. 5. m1 = m2 = 0,5 kg und v1 = 0,2m/s, v2 = -0,2m/s. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] Die gleich schweren Wägen 1 und 2 fahren in entgegengesetzte Richtung. Wagen 1 fährt nach rechts, Wagen 2 nach links. Die Wägen fahren aufeinander zu und stoßen zusammen. Die beiden Wägen bleiben stehen, v'=0m/s. 6. m1 = 1kg, m2 = 0,5kg, v1 = 0,2m/s, v2 = -0,2m/s [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] Der doppelt so schwere Wagen 1 fährt gegen den entgegen kommenden Wagen 2. Nach dem Stoß fahren beide Wägen mit v'=0,0667m/s nach rechts. 7. m1 = 0,5kg, m2 = 1kg, v1 = 0,2m/s, v2 = -0,2m/s [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] Der halb so schwere Wagen 1 fährt gegen den entgegen kommenden Wagen 2. Nach dem Stoß fahren beide Wägen mit v'=-0,0667m/s nach links. 8. Mache bei nun gleichen Einstellungen für v1, m1, m2 neue Einstellungen für v2 und schaue was sich bei dem Versuch ändert. 9. Mache nun beliebige Einstellungen für m1, v1, m2, v2.

Für die Wechselwirkung der beiden Wägen gilt auch hier das 3. Newtonsche Gesetz:

$F_{12} = - F_{21}$

, dabei ist $F_{12}$ die Kraft die Wagen 2 auf Wagen 1 und $F_{21}$ die Kraft die Wagen 1 auf Wagen 2 ausübt. Die beiden Kräfte sind gleich groß, aber entgegengesetzt gerichtet. Die Richtung wird durch - ausgedrückt.

Analog wie beim elastischen Stoß erhält man mit den Bezeichnungen des unelastischen Stoßes

$m_1 v_1 + m_2 v_2 = m_1 v^' + m_2 v^'$

Verwendet man nun für das Produkt $m v$ den Impuls $p$, erhält man

$p_1 + p_2 = p^'$

,wobei $p'=(m_1+m_2)v'$ ist.

Merke Beim inelastischen Stoß zweier Körper 1 und 2 gilt für ihre Impulse $p_1$ und $p_2$ vor dem Stoß und $p^'$ und $p^'$ nach dem Stoß. $p_1 + p_2 = p^'$

  Aufgabe 3

1. Formuliere die Aussage des Merksatzes in einem Satz.

2. Verifiziere die Aussage des IES durch Berechnung von v' bei den Versuchen zum unelastischen Stoß.

[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

Die Summe der Impulse $p_1$ und $p_2$ vor dem Stoß ist gleich der Summe der Impulse $p^'_1$ und $p^'_2$ nach dem Stoß. Der Gesamtimpuls vor dem Stoß $p_1+p_2$ ist also gleich dem Gesamtimpuls nach dem Stoß $p^'_1 + p^'_2$.

Merke: Für einen zentralen elastischen Stoß gilt der Impulserhaltungssatz (IES): Die Summe der Impule vor dem Stoß ist gleich der Summe der Impule nach dem Stoß. $p_1 + p_2 = p'$

  Aufgabe 4

Schaue dir diesen Video an und fasse die Aussagen zusammen.

[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

Beim inelastischen Stoß gilt nicht der Energieerhaltungssatz für die Bewegungsenergie. Bewegungsenergie wird in Verformungsenergie und Wärme umgewandelt. Der Impulserhaltungssatz (IES) gilt.
Man kann den EES aber trotzdem in der Art
EES: $\frac{1}{2} m_1 v_1 ^2-\frac{1}{2} m_2 v_2 ^2= \frac{1}{2} m_1 v_1' ^2+\frac{1}{2} m_2 v_2' ^2 + \Delta W$ , wobei $\Delta W$ die Wärme und Verformungsenergie ist.
Beim inelastischen Stoß bewegen sich die beiden Körper nach dem Stoß zusammen fort, sie haben also eine gemeinsame Geschwindigkeit $v'$.
EES: $\frac{1}{2} m_1 v_1 ^2-\frac{1}{2} m_2 v_2 ^2= \frac{1}{2} (m_1+m_2) v' ^2 + \Delta W$
IES: $m_1 v_1 + m_2 v_2 = (m_1+m_2) v'$

Die Geschwindigkeiten $v'$ der beiden Körper nach dem Stoß erhält man aus dem IES

$v'=\frac{m_1 v_1 + m_2 v_2}{m_1+m_2}$