M11 Das Newtonsche Iterationsverfahren

Für lineare und quadratische Funktionen hat man zur Bestimmung der Nullstellen Gleichungen zu lösen. Bei quadratischen Funktionen gibt es hierzu die Lösungsformel. Für Polynome höheren Grades kann man meist nur Nullstellen erraten und dann per Polynomdivision versuchen auf ein Polynom 2. Grades zu kommen.
Bei vielen Funktionen hat man Probleme die Nullstellen zu bestimmen. Oftmals reicht es aus, wenn man einen Näherungswert hat. Ein Verfahren um einen Näherungswert für die Nullstelle einer Funktion zu finden ist das Newtonsche Iterationsverfahren.

  Aufgabe 1

Lesen Sie im Buch auf S.73 den gelb unterlegten Text durch. Schauen Sie sich danach die zwei Beispiele Auf S.73-74 an.

In diesem Video wird das Newton-Verfahren erkärt.

In diesem Applet wird das Verfahren schrittweise dargestellt.

Merke Newtonsche Iterationsformel $x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$ Diese Formel steht auch in der Merkhilfe

  Aufgabe 2

Machen Sie jeweils den ersten Schritt des Newton-Verfahrens für die Funktionen
Verwenden Sie jeweils als Startwert x₀ = 5.
a) $f:x \rightarrow x^3+x^2+1$
b) $f:x \rightarrow x^3+x-5$
c) $f:x \rightarrow x^4-3x-3$

[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

a) x₁ = 3,2235
Diese Lösung soll nochmals ausführlich dargestellt werden. Man erhält x₁ indem man im Punkt P(x₀),f(x₀) auf dem Graphen von f die Tangente macht.
Es ist f(5) = 5³+5²+1=151.
Die Steigung der Tangente erhält man durch f'(5).
Die Ableitungsfunktion f' ist durch f(x) = 3x²+2x gegeben. Es ist f'(5) = 85.
Den Schnittpunkt der Tangente mit der x-Achse ist nun x₁ und x₁ erhält man nun durch die Formel $x_1=x_0-\frac{f(x_0}{f'(x_0)}$ .
Es ist also $x_1=x_0-\frac{f(x_0)}{f'(x_0)}=5-\frac{151}{85}=3,2235...$
b) x₁ = 3,3552

c) x₁ = 3,77876

  Aufgabe 3

Ermitteln Sie jeweils alle Nullstellen der Funktion f nach dem Newton-Verfahren auf zwei Nachkommastellen genau.
Verwenden Sie wieder als Startwert x₀=5.
Hierzu empiehlt sich eine Tabellenkalkulation! Beim Aufgabe a) brauchen Sie 26 Schritte.
a) $f:x \rightarrow x^3+x^2+1$
b) $f:x \rightarrow x^3+x-5$
c) $f:x \rightarrow x^4-3x-3$

In der Tabellenkalukaltion können Sie leicht den Startwert x₀ ändern. Variieren Sie x₀ und schauen Sie nach wie vielen Schritten Sie die Nullstelle erhalten.

[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

a) x₂₆ = - 1,46557
b) x₆ = 1,51598

c) x₇ = 1,6846

  Aufgabe 4

Bearbeiten Sie im Buch S. 84/10 und 84/11