M11 Rechnen mit Vektoren

Man kann mit Vektoren auch rechnen. Es gibt zwei Rechenarten für Vektoren, die Addition und die S-Mulitplikation.

Merke Addition von Vektoren Vektoren kann man addieren. Dazu setzt man an die Spitze des einen Vektors (natürlich an einen Repräsentanten von ihm!) den Anfangspunkt des anderen Vektors. Der Pfeil vom Anfangspunkt des ersten Vektors zum Endpunkt des zweiten Vektors ist der Summenvektor.

Rechnerisch heißt das, dass man die Koordinaten der Vektoren addiert, man spricht von koordinatenweiser Addition.
Für die Vektoren $\vec u = \left ( \begin{array}{c} u_1 \\\ u_2 \\\ u_3 \end{array}\right)$ und $\vec v = \left ( \begin{array}{c} v_1 \\\ v_2 \\\ v_3 \end{array}\right)$ gilt dann für den Summenvektor $\vec w = \vec u + \vec v = \left ( \begin{array}{c} u_1 \\\ u_2 \\\ u_3 \end{array}\right) + \left ( \begin{array}{c} v_1 \\\ v_2 \\\ v_3 \end{array}\right)= \left ( \begin{array}{c} u_1+v_1 \\\ u_2+v_2 \\\ u_3+v_3 \end{array}\right)$ .
Die Koordinaten des Summenvektors sind die Summen der Koordinaten der Summanden.

Beispiele: $\left ( \begin{array}{c} 1 \\\ 2 \\\ 3 \end{array}\right) + \left ( \begin{array}{c} 3 \\\ 2 \\\ 1 \end{array}\right)= \left ( \begin{array}{c} 1+3 \\\ 2+2 \\\ 3+1 \end{array}\right)= \left ( \begin{array}{c} 4 \\\ 4 \\\ 4 \end{array}\right)$
$\left ( \begin{array}{c} -1 \\\ 0 \\\ 2 \end{array}\right) + \left ( \begin{array}{c} 3 \\\ -2 \\\ 1 \end{array}\right)= \left ( \begin{array}{c} -1+3 \\\ 0-2 \\\ 2+1 \end{array}\right)= \left ( \begin{array}{c} 2 \\\ -2 \\\ 3 \end{array}\right)$

Für die Vektoraddition gelten auch Rechengesetze. Aus der Algebra kennt man für das Rechnen mit Buchstaben das Kommutativgesetz und das Assoziativgesetz. Diese Gesetze gelten auch für Vektoren. Das Kommutativgesetz sieht man sehr einfach bei der Konstruktion des Summenvektors:
Vektor $\vec a + \vec b$ führt zum selben Ergebnis wie $\vec b + \vec a$.

Das Assoziativgesetz für Vektoren kann man in diesem Applet nachvollziehen.

Verändert man die Vektoren $\vec u , \vec v$ oder $\vec w$ so ergibt sich stets der gleiche schwarze Pfeil als $(\vec u + \vec v ) + \vec w$ oder $\vec u + (\vec v + \vec w )$.

Vektoren eignen sich prina für Wege von A nach B. Macht man einen Umweg über C, dann gehe entlang der Vektoren $\vec {AC}$ und $\vec {CB}$, also gehe mit dem Summenvektor $\vec {AC} + \vec {CB}$.

Um von A über C nach B zu kommen kann man aber auch statt $\vec {AC} + \vec {CB}$ eine Abkürzung nehmen, nämlich $\vec {AB}$.

  Aufgabe 1

1. Wie ist der Weg von B nach A
a) direkt?
b) über C?
2. Wie ist der Weg von C nach B
a) direkt?
b) über A?

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1a) $\vec {BA} = -\vec {AB}$
b) $\vec {BC} + \vec {CA}$
2a) $\vec {CB}$

b) $\vec {CA} + \vec {CB}$

Merke S-Multiplikation Vektoren können mit reellen Zahlen (Skalare genannt) multipliziert werden. Die Länge des resultierenden Vektors u ist daher c*u. Man denke an eine zentrische Streckung. Wenn der Skalar c positiv ist, zeigt der resultierende Vektor in dieselbe Richtung, ist c negativ, in die Gegenrichtung. Durch Ziehen am Schieberegler verändert man den Wert von c. Der rote Vektor $\vec v$ ist der Vektor, der sich durch die Multiplikation des Vektors $\vec u$ mit der reellen Zahl c ergibt. $\vec v = c\cdot \vec u$. Jede Koordinate des Vektors $\vec u$ wird mit c multipliziert. Man spricht von koordinatenweiser Multiplikation. $\vec v = c \cdot \vec u = c \cdot \left ( \begin{array}{c} u_1 \\\ u_2 \\\ u_3 \end{array}\right) = \left ( \begin{array}{c} c \cdot u_1 \\\ c \cdot u_2 \\\ c \cdot u_3 \end{array}\right)$

Beispiele: $3\cdot \left ( \begin{array}{c} 1 \\\ 2 \\\ 3 \end{array}\right) = \left ( \begin{array}{c} 3 \\\ 6 \\\ 9 \end{array}\right)$
$-1\cdot \left ( \begin{array}{c} 1 \\\ 2 \\\ 3 \end{array}\right) = \left ( \begin{array}{c} -1 \\\ -2 \\\ -3 \end{array}\right)$ Beachte: $\vec v$ ist der Gegenvektor zu $\vec u$.
$5\cdot \left ( \begin{array}{c} 3 \\\ 0 \\\ -2 \end{array}\right) = \left ( \begin{array}{c} 15 \\\ 0 \\\ -10 \end{array}\right)$

Merke Man sieht, dass das Rechnen mit Vektoren genauso geht wie das Rechnen in der Algebra mit Buchstaben und Zahlen, nur dass nun über den Buchstaben noch ein Vektorpfeil istl. Es gibt die Vektoraddition mit der man Vektoren addieren kann und die S-Multiplikation, bei der Vektoren mit reellen Zahlen multipliziert werden. Das geht genauso wie man es bisher beim Rechnen mit Zahlen und Buchstaben kennengelernt hat. Eines aber darf man nicht. Man darf nicht durch Vektoren dividieren. Dazu bräuchte man eine Multiplikation zwischen Vektoren, welche bisher (noch) nicht vorkommt.

  Aufgabe 2

Buch S. 97 / 1

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Die Vektoren sind $\vec a = \left ( \begin{array}{c} 1 \\\ 3 \end{array}\right), \vec b = \left ( \begin{array}{c} 2 \\\ 2 \end{array}\right), \vec c = \left ( \begin{array}{c} 3 \\\ 0 \end{array}\right), \vec d = \left ( \begin{array}{c} 0 \\\ -3 \end{array}\right), \vec e = \left ( \begin{array}{c} -3 \\\ -2 \end{array}\right)$
a) $\vec a - \vec b = \left ( \begin{array}{c} 1 \\\ 3 \end{array}\right) - \left ( \begin{array}{c} 2 \\\ 2 \end{array}\right)= \left ( \begin{array}{c} -1 \\\ 1 \end{array}\right)$
b) $\vec c - \vec d = \left ( \begin{array}{c} 3 \\\ 0 \end{array}\right) + \left ( \begin{array}{c} 0 \\\ -3 \end{array}\right)= \left ( \begin{array}{c} 3 \\\ -3 \end{array}\right)$
c) $2\vec a + \vec e = 2\left ( \begin{array}{c} 1 \\\ 3 \end{array}\right) + \left ( \begin{array}{c} -3 \\\ -2 \end{array}\right)= \left ( \begin{array}{c} -1 \\\ 4 \end{array}\right)$
d) $-\vec a - \vec b +\vec c -\vec e= -\left ( \begin{array}{c} 1 \\\ 3 \end{array}\right) - \left ( \begin{array}{c} 2 \\\ 2 \end{array}\right) + \left ( \begin{array}{c} 3 \\\ 0 \end{array}\right) - \left ( \begin{array}{c} -3 \\\ -2 \end{array}\right)= = \left ( \begin{array}{c} 3 \\\ -3 \end{array}\right)$
e) $2\vec c + \vec d - \vec a = 2\left ( \begin{array}{c} 3 \\\ 0 \end{array}\right) + \left ( \begin{array}{c} 0 \\\ -3 \end{array}\right) - \left ( \begin{array}{c} 1 \\\ 3 \end{array}\right) = \left ( \begin{array}{c} 5 \\\ -6 \end{array}\right)$

Man kann die Vektoren der Aufgaben a) - e) in der Zeichenebene auch gut zeichnen und die Ergebnisse verifizieren.

Buch S. 97 / 2

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a) wahr, b) wahr, c) falsch, d) wahr, e) wahr, f) wahr

  Aufgabe 3

Buch S. 97 / 4

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1)a) $2A(\vec a + \vec b ) + \vec a = 3 \vec a + 2 \vec b$
b) $5(\vec a + \vec b ) + 3(\vec a - \vec b )=8 \vec a + 2 \vec b$
c) $-[\vec a - \vec b -(-\vec c )]=-\vec a + \vec b - \vec c$
d) $-3\vec a + [(\vec b - \vec a )-(5\vec a - 3 \vec b )]=-9\vec a + 4 \vec b$
e) $4\vec b - \vec a -(-2\vec b )=- \vec a + 6 \vec b = 6\vec b - \vec a$
f) $2(\vec c - \vec a ) - (\vec c - \vec b)=-2\vec a + \vec b + \vec c$

Natürlich kann man die Ergebnisse auch in einer anderen Reihenfolge unter Berücksichtigung der Vor-/Rechenzeichen schreiben! Bei e) habe ich es gemacht.

Buch S. 98 / 5

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Hier muss man koordinatenweise rechnen.
a) $x \cdot \left ( \begin{array}{c} 2 \\\ 4 \end{array}\right) = \left ( \begin{array}{c} 3 \\\ 6 \end{array}\right)$ liefert zwei Gleichungen x · 2 = 3 und x · 4 = 6. Beide Gleichungen sind für x = 1,5 richtig.
b) Die zwei Koordinatengleichungen lauten x₁ · 5 = 0 und x</sub>2>/sub> · 1 = 0. Die Gleichungen sind für x₁ = 0 und x₂ = 0 richtig.
c) Die drei Koordinatengleichungen lauten x₁ + 1 = 2, x₂ - 2 = -3 und x₃ + 3 = 0. Die Gleichungen sind jeweils richtig für x₁ = 1, x₂ = -1, x₃ = -3.
d) Die drei Koordinatengleichungen lauten 4 = x·(-2), -8 = x·4, 12 = x·(-6). Alle drei Gleichungen sind für x = -2 richtig.
e) Man kann die rechte Seite der Gleichung vereinfachen, indem man x ausklammert. $x\cdot \left ( \begin{array}{c} -1 \\\ 5 \\\ -6 \end{array}\right) + x \cdot \left ( \begin{array}{c} -3 \\\ 7 \\\ -10 \end{array}\right) = x \cdot \left [ \left ( \begin{array}{c} -1 \\\ 5 \\\ -6 \end{array}\right) + \left ( \begin{array}{c} -3 \\\ 7 \\\ -10 \end{array}\right) \right] = x \cdot \left ( \begin{array}{c} -4 \\\ 12 \\\ -16 \end{array}\right)$

Die drei Koordinatengleichungen lauten 2 = x·(-4), -6 = x·12, 8 = x·-16. Alle drei Gleichungen sind für x = -0,5 richtig.

Buch S. 98 / 7 a), b)

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a) $\vec a = \left ( \begin{array}{c} 4 \\\ -3 \end{array}\right), \vec b = \left ( \begin{array}{c} 9 \\\ 3 \end{array}\right), \vec c = \left ( \begin{array}{c} -9 \\\ 3 \end{array}\right), \vec d = \left ( \begin{array}{c} -4 \\\ -3 \end{array}\right)$
$\vec a + \vec b + \vec c + \vec d = \left ( \begin{array}{c} 4 \\\ -3 \end{array}\right) + \left ( \begin{array}{c} 9 \\\ 3 \end{array}\right) + \left ( \begin{array}{c} -9 \\\ 3 \end{array}\right) + \left ( \begin{array}{c} -4 \\\ -3 \end{array}\right) = \left ( \begin{array}{c} 0 \\\ 0 \end{array}\right)$
Wenn man der Reihe nach die Vektoren aneinandersetzt kommt man wieder an den Punkt A, der Summenvektor $\vec a + \vec b + \vec c + \vec d$ ist also der Vektore $\vec {AA} = \vec o$.

b) $\vec {AC} = \left ( \begin{array}{c} 13 \\\ 3 \end{array}\right) - \left ( \begin{array}{c} 0 \\\ 3 \end{array}\right) = \left ( \begin{array}{c} 13 \\\ 0 \end{array}\right)$ (das ist die waagrechte Diagonale von A nach C)

$\vec {BD} = \left ( \begin{array}{c} 4 \\\ 6 \end{array}\right) - \left ( \begin{array}{c} 4 \\\ 0 \end{array}\right) = \left ( \begin{array}{c} 0 \\\ 6 \end{array}\right)$ (das ist die senkrechte Diagonale von B nach D)