M11 Skalarprodukt

In Physik hat man gelernt, dass Arbeit W das Produkt aus der Kraft F, die in Wegrichtung entlang des Weges s wirkt. Man schreibt dann W = F·s. Was macht man aber, wenn man einen Leiterwagen zieht?
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Nach unserer Arbeitsdefinition muss man den Wagen so wie er abgebildet ist nach vorne ziehen. Dazu muss man sich bücken und es ist sehr unbequem. Man wird den Handgriff hochnehmen, aber dann wirkt die Kraft nicht mehr in Wegrichtung sondern ist schräg dazu. Wie macht sich das dann in der Arbeit bemerktbar?
Man löst das, indem man die Kraftkomponente F_s in Wegrichtung betrachtet und damit die Arbeit Arbeit W = F_s·s berechnet.

F_s ist die senkrechte Projektion von F auf die Fahrtrichtung.

In der Mathematik führt man hierzu das Skalarprodukt ein, dies wird dann in der Physik auch verwendet und man sagt dann, dass die Arbeit W das Skalarprodukt des Kraftvektors $\vec F$ mit dem Wegvektor $\vec s$ ist, also $W = \vec F \cdot \vec s$ oder ohne Vektoren $W = F\cdot s \cdot cos(\varphi)$.

Merke: Für die Vektoren $\vec a=\left ( \begin{array}{c} a_1 \\\ a_2 \\\ a_3 \end{array}\right)$ imd $\vec b=\left ( \begin{array}{c} b_1 \\\ b_2 \\\ b_3 \end{array}\right)$ definiert man das Skalarprodukt $\vec a \cdot \vec b = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3$. Das Ergebnis des Skalarprodukts $\vec a \cdot \vec b$ ist eine Zahl (ein Skalar). Es ist $\vec a \cdot \vec b = \left ( \begin{array}{c} a_1 \\\ a_2 \\\ a_3 \end{array}\right) \cdot \left ( \begin{array}{c} b_1 \\\ b_2 \\\ b_3 \end{array}\right) = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3$. Es ist weiterhin, wenn $\varphi$ der Winkel zwischen den Vektoren $\vec a$ und $\vec b$ ist $\vec a \cdot \vec b =|\vec a||\vec b|cos(\varphi)$

Eine Herleitung der letzten Formel finden Sie im Buch auf Seite 109 oben.

Beispiele:
1. $\vec a \cdot \vec b = \left ( \begin{array}{c} 2 \\\ 3 \\\ -1 \end{array}\right) \cdot \left ( \begin{array}{c} 3 \\\ 2 \\\ 2 \end{array}\right) = 2\cdot 3 + 3\cdot 2 + (-1)\cdot 2=10$.
2. $\vec a \cdot \vec b = \left ( \begin{array}{c} -1 \\\ 2 \\\ 3 \end{array}\right) \cdot \left ( \begin{array}{c} 3 \\\ 2 \\\ -2 \end{array}\right) = -1\cdot 3 + 2\cdot 2 + 3\cdot (-2)=-5$.

Merke: Dies führt zur Definition des Winkels. Der Winkel $\varphi$ der Winkel zwischen den Vektoren $\vec a$ und $\vec b$ ist gegeben durch $cos \varphi =\frac{\vec a \cdot \vec b}{|\vec a||\vec b|} = \frac{a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3}{|\vec a||\vec b|}$

Beispiele:
1. $\vec a =\left ( \begin{array}{c} -2 \\\ 0 \\\ 3 \end{array}\right)$, $\vec b=\left ( \begin{array}{c} 2 \\\ 2 \\\ 3 \end{array}\right)$. Es ist $|\vec a|=\sqrt {13}, |\vec b|=\sqrt {17}, \vec a \cdot \vec b = \left ( \begin{array}{c} -2 \\\ 0 \\\ 3 \end{array}\right) \cdot \left ( \begin{array}{c} 2 \\\ 2 \\\ 3 \end{array}\right) = -2\cdot 2 + 0\cdot 2 + 3\cdot 3=5$.
Damit ist $cos \varphi = \frac{\vec a \cdot \vec b}{|\vec a| \cdot |\vec b|}=\frac{5}{\sqrt{13}\cdot \sqrt{17}}\approx 0,3363$, also $\varphi = 70,3^o$
2. $\vec a =\left ( \begin{array}{c} -2 \\\ -1 \\\ 2 \end{array}\right)$, $\vec b=\left ( \begin{array}{c} 0 \\\ 2 \\\ 1 \end{array}\right)$. Es ist $|\vec a|=3, |\vec b|=\sqrt 5, \vec a \cdot \vec b = \left ( \begin{array}{c} -2 \\\ -1 \\\ 2 \end{array}\right) \cdot \left ( \begin{array}{c} 0 \\\ 2 \\\ 1 \end{array}\right) = -2\cdot 0 + -1\cdot 2 + 2\cdot 1=0$.
Damit ist $cos \varphi = \frac{\vec a \cdot \vec b}{|\vec a| \cdot |\vec b|}=\frac{0}{3\cdot \sqrt 5}=0$, also $\varphi = 90^o$.

30px   Merke Haben die zwei Vektoren $\vec a$ und $\vec b$ gleiche Richtung, dann ist $\varphi = 0^o$ und $cos \varphi = 1$. Dann ist $\vec a \cdot \vec b = |\vec a||\vec b|$. Ist insbesondere $\vec b = \vec a$, dann ist $\vec a \cdot \vec a = |\vec a||\vec a|=|\vec a|^2$. Hier ist das Skalarprodukt $\vec a \cdot \vec a$ gleich dem Quadrat des Betrags des Vektors $\vec a$ . Haben die zwei Vektoren $\vec a$ und $\vec b$ entgegengesetzte Richtung, dann ist $\varphi = 180^o$ und $cos \varphi = -1$. Dann ist $\vec a \cdot \vec b = -|\vec a||\vec b|$. Schließen die beiden Vektoren $\vec a$ und $\vec b$ einen Winkel $\varphi = 90^o$, dann stehen die beiden Vektoren senkrecht zueinander. Es ist $cos \varphi = 0$. Damit ist $\vec a \cdot \vec b = |\vec a||\vec b|cos(90^o)=|\vec a||\vec b|\cdot 0=0$. Dies giilt auch umgekehrt. Ist das Skalarprodukt $\vec a \cdot \vec b = 0$, dann stehen die Vektoren $\vec a$ und $\vec b$ senkrecht zueinander.

30px   Aufgabe 1

1. Finden Sie einen Wert für k, so dass die Vektoren $\vec a = \left ( \begin{array}{c} 1 \\\ 0 \\\ 2 \end{array}\right)$ und $\vec b = \left ( \begin{array}{c} k \\\ 5 \\\ 5 \end{array}\right)$ senkrecht zueiander sind.

2. Weise nach, dass die Einheitsvektoren unseres dreidimensionalen Koordinatensystems senkrecht zueinander stehen.

3. Finden Sie einen Vektor $\vec n =\left ( \begin{array}{c} n_1 \\\ n_2 \\\ n_3 \end{array}\right)$, der senkrecht auf den zwei Vektoren $\vec a =\left ( \begin{array}{c} 1 \\\ 0 \\\ 2 \end{array}\right)$ und $\vec b =\left ( \begin{array}{c} 3 \\\ 4 \\\ -2 \end{array}\right)$ steht.

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$\vec a \cdot \vec b = \left ( \begin{array}{c} 1 \\\ 0 \\\ 2 \end{array}\right) \cdot \vec b = \left ( \begin{array}{c} k \\\ 5 \\\ 5 \end{array}\right)=k+0+10 = k+10$. Es ist k+10 = 0 für k = -10.

2. Die drei Einheitsvektoren sind $\vec e_1 =\left ( \begin{array}{c} 1 \\\ 0 \\\ 0 \end{array}\right), \vec e_2=\left ( \begin{array}{c} 0 \\\ 1 \\\ 0 \end{array}\right), \vec e_3 = \left ( \begin{array}{c} 0 \\\ 0 \\\ 1 \end{array}\right)$ .
Es ist $\vec e_1 \cdot \vec e_2 = \left ( \begin{array}{c} 1 \\\ 0 \\\ 0 \end{array}\right) \cdot \left ( \begin{array}{c} 0 \\\ 1 \\\ 0 \end{array}\right) = 0+0+0=0$,
$\vec e_1 \cdot \vec e_3 = \left ( \begin{array}{c} 1 \\\ 0 \\\ 0 \end{array}\right) \cdot \left ( \begin{array}{c} 0 \\\ 0 \\\ 1 \end{array}\right) = 0+0+0=0$,
$\vec e_2 \cdot \vec e_3 = \left ( \begin{array}{c} 0 \\\ 1 \\\ 0 \end{array}\right) \cdot \left ( \begin{array}{c} 0 \\\ 0 \\\ 1 \end{array}\right) = 0+0+0=0$
Also sind $\vec e_1, \vec e_2, \vec e_3$ paarweise senkrecht zueinander.

3. Es muss sein: $\left ( \begin{array}{c} n_1 \\\ n_2 \\\ n_3 \end{array}\right)\cdot \left ( \begin{array}{c} 1 \\\ 0 \\\ 2 \end{array}\right) = n_1 + 2n_3 = 0$ und $\left ( \begin{array}{c} n_1 \\\ n_2 \\\ n_3 \end{array}\right) \cdot \left ( \begin{array}{c} 3 \\\ 4 \\\ -2 \end{array}\right )= 3n_1 + 4 n_2 - 2n_3 = 0$
Man hat also zwei Gleichungen $n_1 + 2n_3 = 0$ und $3n_1 + 4 n_2 - 2n_3 = 0$.
Löst man die erste Gleichung nach $n_1$ auf, so ist $n_1 = -2n_3$. Dies setzt man in die zweite Gleichung ein und erhält $3(-2n_3) + 4 n_2 - 2n_3 = 0$.
Dies führt zu der Gleichung $4n_2 = 8n_3$.
Wählt man $n_3 =1$, dann ist $n_2 = 2, n_1=-2$ und man hat den Vektor $\vec n=\left ( \begin{array}{c} -2 \\\ 2 \\\ 1 \end{array}\right)$.
$\vec n$ steht senkrecht zu den Vektoren $\vec a, \vec b$.

Probe: $\left ( \begin{array}{c} -2 \\\ 2 \\\ 1 \end{array}\right) \cdot \left ( \begin{array}{c} 1 \\\ 0 \\\ 2 \end{array}\right) = -2+2=0$ und $\left ( \begin{array}{c} -2 \\\ 2 \\\ 1 \end{array}\right) \cdot \left ( \begin{array}{c} 3 \\\ 4 \\\ -2 \end{array}\right )=-6+8-2=0$

30px   Merke Rechengesetze für das Skalarprodukt Für Vektoren $\vec a. \vec b, \vec c$ und reelle Zahlen r,s gilt: Kommutativgesetz $\vec a \cdot \vec b = \vec b \cdot \vec a$ $(r \cdot \vec a)\cdot (s \cdot \vec b)=(rs)\cdot (\vec a \cdot \vec b)$ Distributivgesetz $\vec a \cdot (\vec b + \vec c)=\vec a \cdot \vec b + \vec a \cdot \vec c$ Auch hier kann man also wie gewohnt rechnen!