Diskussion:M11 Skalarprodukt

Buch S. 112 / 10
Die Vektoren $\vec a$ und $\vec b$ stehen senkrecht aufeinander, d.h. $\vec a \circ \vec b = 0$.
a) $(\vec a + \vec b)^2 =\vec a^2 + 2\vec a \circ \vec b + \vec b^2=|\vec a|^2 + |\vec b|^2=25+144=169$
b) $(\vec a + \vec b) \circ (2\vec a - \vec b)=2\vec a^2-\vec a \circ \vec b+\vec b \circ 2\vec a - \vec b^2= 2 \cdot 25 - 144 =-94$
c) Eine Hommage an die binomischen Formeln!
$(\vec a + \vec b)^2+(\vec a - \vec b)^2+(\vec a + \vec b)(\vec a -a\vec b) = \vec a^2 + 2 \vec a \circ \vec b + \vec b^2 + \vec a^2 - 2 \vec a \circ \vec b + \vec b^2 + \vec a^2 - \vec b^2= 25 + 144 +25 +144 + 25 -144 = 219$

Buch S. 112 / 14
Man weiß aus der Mittelstufe, dass der Flächeninhalt eines Parallelogramms A = gh ist. D.h. fälllt man von der Spitze von $\vec b$ das Lot auf $\vec a$ erhält man die Höhe h.
a steht für $a=|\vec a|$ und b für $b=|\vec b|$. Es ist dann $A = ah$ und h ist $h=b sin\alpha$, also $A=absin\alpha =ab\sqrt {1-cos\alpha^2} =\sqrt {a^2b^2-a^2b^2cos\alpha^2}=\sqrt{|\vec a|^2|\vec b|^2- (\vec a \circ \vec b)^2}$ q.e.d.
b) $A=\sqrt{72\cdot 18 -0}=36$ (Beachten Sie, dass $\vec a$ und $\vec b$ senkrecht zueinander sind.
c) $\alpha=74,5^o, \beta=60,98^o, \gamma=44,52^o$, $h_c=\sqrt {13}, A=\frac{3}{2}\sqrt {13}, V=6\sqrt {13}$

112/15 In dieser Aufgabe wird ein bekannter Satz der Mittelstufe mit Vektoren bewiesen. Man soll zeigen, dass der Winkel ACB gleich 90^o ist. Dies macht man mit dem Skalarprodukt. Wenn das Skalarprodukt der Vektoren $\vec {CA}$ und $\vec {CB}$ gleich 0 ist, dann ist bei C ein rechter Winkel.
Man drückt $\vec {CA}$ und $\vec {CB}$ durch $\vec a, \vec b$ aus. Es ist $\vec {CA}=-\vec b - \vec a$ und $\vec {CB} = -\vec b + \vec a$.
Man sieht aus der Zeichnung, dass $|\vec a|=|\vec b|=r$ ist.
Das Skalarprodukt ist dann $\vec {CA} \circ \vec {CB}=(-\vec b - \vec a)(-\vec b + \vec a)=-(\vec a + \vec b)(\vec a + \vec b) = -(\vec a^2 - \vec b^2)=-(r^2-r^2)=0$

Buch S. 113 / 16
A(2;0,0), B(0;2;0), C(0;0;2) und S(0;0;0)
a) siehe Definition des Skalarprodukts
b) $V_{Kugel}=\frac{32}{3}\pi , V_{Pyramide}=\frac{4}{3}$. Es ist $\frac{V_{Pyramide}}{V_{Kugel}}\approx 0,04=4%$

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Der Winkel ALF bezeichne ich mit $\alpha$. Es ist $cos \alpha = \frac{\vec {LA}\circ \vec {LF}}{|\vec{LA}||\vec {LF}}=\frac{\left ( \begin{array}{c} 0 \\\ -3 \\\ 4 \end{array}\right) \circ \left ( \begin{array}{c} 4 \\\ -3 \\\ 0 \end{array}\right)}{5\cdot 5}=\frac{9}{25}$ und $\alpha = 68,9^o$
Das Volumen der Pyramide ist $V=\frac{1}{3}\cdot 3 \cdot 4 \cdot 4=16$

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