M10 Exponentielles Wachstum und Logarithmen

Im März 2020 wurde der erste Lockdown zur Corona-Pandemie mit der exponentiellen Zunahme der Infizierten und Kranken begründet. Was heißt aber nun exponentielle Zunahme?

Was ist nun anders?
In der 8. Klasse hat man das lineare Wachstum kennengelernt. Ein Anfangsbestand t erfährt pro Zeiteinheit eine Zunahme um m. y kennzeichnet den Gesamtbestand nach x Zeiteinheiten.

x	0	1	2	3	4	5
y	t	t+m	t+2m	t+3m	t+4m	t+5m

Es ergibt sich die Formel y = mx + t , der Graph ist eine Gerade mit y-Abschnitt t und Steigung m.

Beim exponentiellen Wachstum ist es ähnlich, nur dass nun nach jeder Zeiteinheit der Bestand mit dem Wachstumsfaktor a multipliziert wird. Während jeder Zeiteinheit ändert sich der Bestand um den gleichen Faktor a. Man hat dann diese Tabelle.

x	0	1	2	3	4	5
y	b	b·a	b·a2	b·a3	b·a4	b·a5

Es ergibt sich die Formel y = b·ax mit b ist der Anfangsbestand und a ist der Wachstumsfaktor.

Ist a > 1, dann liegt eine exponentielle Zunahme vor, ist a < 1 dann eine exponentielle Abnahme.

In diesem Video wird das exponentielle Wachstum zuerst wieder am Schachproblem mit den Reiskörner begonnen und dann bei Corona betrachtet. Viele Aussagen und Bilder zu Corona werden euch sicher aus diversen Informationssendungen bekannt vorkommen.

  Aufgabe 1

Nenne Beispiele für exponentielles Wachstums.

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Algen- und Bakterienwachstum, Zinseszins, Koffeinabbau im Blut

  Aufgabe 2

Buch S. 86 / 2

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a) lineares Wachstum
b) lineares Wachstum (Winkelsumme im n-Eck = (n-2)180°)
c) exponentielles Wachstum
d) lineares Wachstum
e) exponentielles Wachstum

f) lineares Wachsstum

  Aufgabe 3

Buch S. 87 / 3, 4

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87/3
a) Der Wachstumsfaktor ist $a = \frac{2,070}{2,000}=1,035$
Die Anzahl nimmt pro Minute um 3,5% zu.
b) Du erhältst den ersten Wert von N für t = 1, indem du den Wert N(0) mit 1,035 multiplizierst.
Du erhältst den Wert N(2) von N für t = 2, indem du den Wert N(1)=2,070 mit 1,035 mulitplizierst.
du erhälst den WErt N(3) von N für t = 3, indem du den Wert N(2)=2,1425 mit 1,035 multiplizierst.
....
Interessant wird es für t = 20, t = 30, t = 40.
Hier erhältst du den Wert N(20) von N für t = 20, indem du den Wert N(0) mit 1,035²⁰ multiplizierst.
Den Wert N(30) erhältst du, indem du den Wert N(0) mit 1,035³⁰ multiplizierst.

Die Gleichung für N(t) ist N(t)=N(0)·1,035t 

Aus dem Diagramm liest man ab, wenn man bei 4 auf der N-Achse waagrecht nach rechts geht und bei dem eingezeichneten Punkt, den man dann trifft nach unten, dass sich der Anfangsbestand nach 20 Minuten etwa verdoppelt hat. Nach 40 Minuten hat er sich vervierfacht.

87/4
a)
b) $N(t)=4\cdot 10^6 \cdot 1,5^t$
c) $N(0,5)=4\cdot 10^6 \cdot 1,5^{0,5}=4,90\cdot 10^6$
$N(1,5)=4\cdot 10^6 \cdot 1,5^{1,5}=7,35\cdot 10^6$
$N(2,5)=4\cdot 10^6 \cdot 1,5^{2,5}=11.02\cdot 10^6$
d) In einer ersten halben Stunden hat die Bakterienkultur um 0,9 Millionen zugenommen, das sind $\frac{0,9\cdot 10^6}{4\cdot 10^6}=0,225 = 22,5%$.
In der zweiten halben Stunde hat die Bakterienkultur um 1,1 Millionen zugenommen, das sind $\frac{1,1\cdot 10^6}{4,9\cdot 10^6}=0,225 = 22,5%$.
In der dritten halben Stunde hat die Bakterienkultur um 1,35 Millionen zugenommen, das sind $\frac{1,35\cdot 10^6}{6\cdot 10^6}=0,225 = 22,5%$.
In der vierten halben Stunde hat die Bakterienkultur um 1,65 Millionen zugenommen, das sind $\frac{1,65\cdot 10^6}{7,35\cdot 10^6}=0,225 = 22,5%$.
In der fünften halben Stunde hat die Bakterienkultur um 2,02 Millionen zugenommen, das sind $\frac{2,02\cdot 10^6}{9\cdot 10^6}=0,224 = 22,4%$.
In der sechsten halben Stunde hat die Bakterienkultur um 2,48 Millionen zugenommen, das sind $\frac{2,48\cdot 10^6}{11,02\cdot 10^6}=0,225 = 22,5%$.
e)
Zum Ablesen der Verdoppelungszeit nimmt man einen Wert her z.B. für t=0h und N(0)=4·10⁶ und sucht im Diagramm den Zeitpunkt t₁, wenn N(t₁=8·10⁶ ist. (schwarz im Diagramm) Man liest etwa für die Verdoppelungszeit T=1,8h ab.

Der braune Weg ist für die Verdoppelung von 5 Millionen auf 10 Millionen und man liest ab T = 2,25h - 0,5h = 1,75h.
Der grüne Weg ist für die Verdoppelung von 10 Millionen auf 20 Millionen und man liest ab T = 4h - 2,25h=1,75h.
f) Hier hat man zwei Möglichkeiten. Entweder man erweitert das Diagramm nach links und liest aus dem Diagramm den Wert für t = - 0,5h ab.
N(-0,5h)=3,3·10⁶

Oder man rechnet mit der obigen Formel $N(-0,5)=4\cdot 10^6\cdot 1,5^{-0,5}=3,266\cdot 10^6$

Merke Der Zeitraum in dem sich ein Bestand verdoppelt heißt Verdoppelungszeit. Beim exponentiellen Wachstum ist die Verdoppelungszeit stets gleich.