M9 Die allgemeine Wurzel

Zu Beginn des Schuljahres haben wir $\sqrt a$ als die positive Zahl definiert, die quadriert a ergibt. Diese Definition wird nun erweitert.

Merke: Die n-te Wurzel $\sqrt [n] {a}$ aus a mit n$\in$N\{1} und a$\in$R+0 ist diejenige nicht negative reelle Zahl, deren n-te Potenz a ist. $(\sqrt [n] {a})^n = a$ Die Zahl a unter dem Wurzelzeichen heißt Radikand, n ist der Wurzelexponent. Es ist 1. $\sqrt [n] {a} \ge 0$ 2. $(\sqrt [n] {a})^n = a$ 3. $\sqrt [n] {a^n} = a$ falls a ≥ 0

Wenn a < 0 ist, dann hat die quadratische Gleichung x² = a keine Lösung. Wenn nun n eine ungerade Zahl ist, dann gibt es Lösungen. Die Gleichung x³ = -8 hat die Lösung x = -2, da (-2)³ = -8 ist. Also kann man unterscheiden:

Merke Die Gleichung xn = a kann zwei Lösungen, eine Lösung oder keine Lösung haben, je nachdem ob: n gerade ist und a > 0, dann ist L={$-\sqrt [n] {a}, \sqrt [n] {a}$} a = 0, dann ist L = {0} a < 0, dann ist L = {} n ungerade ist und a > 0, dann ist L={$\sqrt [n] {a}$} a = 0, dann ist L = {} a < 0, dann ist L = {$-\sqrt [n]{a}$}