M9 Die allgemeine Wurzel

Zu Beginn des Schuljahres haben wir $\sqrt a$ als die positive Zahl definiert, die quadriert a ergibt. Diese Definition wird nun erweitert.

Merke: Die n-te Wurzel $\sqrt [n] {a}$ aus a mit n$\in$N\{1} und a$\in$R+0 ist diejenige nicht negative reelle Zahl, deren n-te Potenz a ist. $(\sqrt [n] {a})^n = a$ Die Zahl a unter dem Wurzelzeichen heißt Radikand, n ist der Wurzelexponent. Es ist 1. $\sqrt [n] {a} \ge 0$ 2. $(\sqrt [n] {a})^n = a$ 3. $\sqrt [n] {a^n} = a$ falls a ≥ 0

Wenn a < 0 ist, dann hat die quadratische Gleichung x² = a keine Lösung. Wenn nun n eine ungerade Zahl ist, dann gibt es Lösungen. Die Gleichung x³ = -8 hat die Lösung x = -2, da (-2)³ = -8 ist. Also kann man unterscheiden:

30px   Merke Die Gleichung xn = a kann zwei Lösungen, eine Lösung oder keine Lösung haben, je nachdem ob: n gerade ist und a > 0, dann ist L={$-\sqrt [n] {a}, \sqrt [n] {a}$} a = 0, dann ist L = {0} a < 0, dann ist L = {} n ungerade ist und a > 0, dann ist L={$\sqrt [n] {a}$} a = 0, dann ist L = {0} a < 0, dann ist L = {$-\sqrt [n]{a}$}

Beispiele: $\sqrt [5] {1024} = 4$

$\sqrt [3] {216} = 6$ $\sqrt {5} {243} = 3$

Mit der n-ten Wurzel hat man die Möglichkeit weitere Gleichungen zu lösen:
x³ = 216 hat die Lösung x = 6
x³ = -216 hat die Lösung x = -6
x⁵ = 1024 hat die Lösung x = 4
x⁴ = 256 hat die Lösungen x = -4 und x = 4
x⁴ = 2401 hat die Lösungen x = -7 und x = 7
x⁵ = -243 hat die Lösung x = -3
x⁴ = -256 hat die keine Lösung

30px   Aufgabe 1

Buch S. 111 / 1, 2, 3, 4