M10 Grenzwert und Polynomfunktionen

Wir betrachten zuerste das Verhalten von Potenzfunktionen f mit f(x) = xⁿ, wobei n eine natürliche Zahl ist.

  Aufgabe 1

Betätige im folgenden Applet mit dem Schieberegler für n und ändere damit den Exponenten der Potenzfuntkion f mit f(x) = xⁿ. Betrachte bei den zugehörigen Graphen G_f das Verhalten für $x \rightarrow \pm \infty$.

Merke Der Grenzwert von allen Potenzfunktionen f mit f(x) = xn ist für $x \rightarrow \infty$: $\lim_{x\to \infty} x^n = \infty$ Der Grenzwert für $x \rightarrow -\infty$ ist, wenn n gerade ist: $\lim_{x\to -\infty} = \infty$ n ungerade ist: $\lim_{x\to -\infty} = -\infty$

Merke: Ein Term anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0 mit reellen Zahlen an, an-1, ... , a1, a0 und an $\neq$ 0 ist ein Polynom vom Grad n. an, an-1, ... , a1, a0 sind die Koeffizienten. n, n-1, ..., 2 sind die Exponenten. Der größte Exponent n ist der Grad des Polynoms. Ordnet man jeder reellen Zahl x den Polynomwert anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0 zu, so erhält man eine Polynomfunktion oder ganzrationale Funktion.

Beispiel: $f(x) = -2x^4 + \frac{1}{3}x^3 + x - 52$

Der Grad von f(x) ist 4, da die höchste x-Potenz x⁴ ist.
Die Koeffizienten sind a₄ = -2, a₃ = $\frac{1}{3}$, a₁ = 1, a₀ = -52.
Da im Polynom kein Summand mit x² vorkommt ist a₂ = 0, was man nicht extra notiert.

Merke: Der Grenzwert von Polynomfunktionen f vom Grad n wird durch die höchste x-Potenz xn bestimmt. Bei den Polynomfunktionen geraden Grade ist das Vorzeichen der beiden Grenzwerte für $x \rightarrow -\infty$ und $x \rightarrow \infty$ gleich, bei ungeradem Grad verschieden. Ihr Koeffizient an bestimmt dann das Vorzeichen der Grenzwerte.

Im folgenden Applet ist der Graph einer Polynomfunktion 3. Grades f mit f(x) = ax³ - 2x² + x + 1 dargestellt. Mit dem Schieberegler kann man den Wert von a von +1 auf -1 ändern.

Zur Begründung, dass der Koeffizient a_n der größten x-Potenz xⁿ den Grenzwert festlegt:

Es ist $f(x) = ax^3 - 2x^2 +x+1=x^3(a-2\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2} + \frac{1}{x^3})$. Die Brüche in der Klammer gehen alle für $x \rightarrow \pm \infty$ gegen 0. Es ist also $\lim_{x \to \pm \infty} f(x) = \lim_{x \to \pm \infty } x^3(a -2\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2} + \frac{1}{x^3}) = \lim_{x \to \pm \infty} ax^3 = a \cdot \lim_{x \to \pm \infty} x^3$.
Hier sieht man, dass das Vorzeichen von a den Verlauf von G_f für $x \to \pm \infty$ festlegt.

  Aufgabe 2

Bestimme die Grenzwerte von f mit

a) f(x) = 2x² - 3x + 4
b) f(x) = -3x⁷ + 3x⁵ - x
c) f(x) = 3x
d) f(x) = 2x - 17 + 3x⁴

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a) Der Grad der Polynomfunktion ist 2,also gerade. Deshalb ist der Grenzwert für $x \to \pm \infty$ in beiden Fällen gleich. Das Vorzeichen des Koeffizienten 2 von x² ist positiv, also ist $\lim_{x \to \pm \infty} x^2 = \infty$

b) Der Grad der Polynomfunktion ist 7, also ungerade. Deshalb ist der Grenzwert für $x \to \infty$ und $x \to -\infty$ jeweils verschieden. Das Vorzeichen des Koeffizienten -3 von x⁷ ist negativ, also ist $\lim_{x \to \infty} f(x) = -\lim_{x \to \infty} x^7 = -\infty$ und $\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\lim_{x \to -\infty}x^7 =\infty$

c) Der Grad der Polynomfunktion ist 1, also ungerade. Deshalb ist der Grenzwert für $x \to \infty$ und $x \to -\infty$ jeweils verschieden. Das Vorzeichen des Koeffizienten 1 von x ist positiv, also ist $\lim_{x \to \infty} f(x) = \lim_{x \to \infty} x = \infty$ und $\lim_{x \to -\infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty}x =-\infty$

d) Es ist f(x) = 2x - 17 + 3x⁴ = 3x⁴ + 2x -17, damit ist der Grad der Polynomfunktion 4,also gerade. Deshalb ist der Grenzwert für $x \to \pm \infty$ in beiden Fällen gleich. Das Vorzeichen des Koeffizienten 2 von x² ist positiv, also ist $\lim_{x \to \pm \infty} x^2 = \infty$

Mehr über Polynomfunktionen findest du hier.