M8 Bruchgleichungen

  Aufgabe 1

Bevor du Bruchgleichungen kennenlernst, wiederhole das Lösen von Gleichungen mit Äquivalenzumformungen aus der 7. Klasse.
Bearbeite dazu in Mathegym den Arbeitsauftrag Wiederholung 7. Klasse: Lösen von Gleichungen

Zu Beginn der Bruchterme haben wir gebrochen-rationale Funktionen betrachtet. Im folgenden Bild sind die zwei Graphen der Funktionen $f:x\rightarrow \frac{1}{x}$ und $g: x \rightarrow - \frac{2}{2+x}$ gezeichnet.

Die zwei Graphen schneidet sich in einem Punkt. Die Koordinaten des Schnittpunkts S kann man ablesen. Das Ablesen der x-Koordinate ist vage, die y-Koordinate ist besser zu erkennen. Es ist S(-0,7;-1,5). Aber ist man sich sicher?

Bei der Behandlung linearer Funktionen hatten wir auch schon den Schnittpunkt zweier Geraden. Wir haben die Geraden gezeichnet und aus dem Diagramm den Schnittpunkt abgelesen. Wir haben aber auch den Schnittpunkt berechnet, indem wir die zwei Geradengleichungen gleichgesetzt haben. Dieses Rechenverfahren wollen wir nun hier bei unseren zwei Hyperbeln auch anwenden. Im Schnittpunkt haben beide Funktionsgraphen den gleichen x- und den gleichen y-Wert. Wir setzen die beiden Funktionsterme (gleiche y-Werte) gleich $\frac{1}{x} = \frac{2}{2+x}$ . Nun muss man diese Gleichung lösen und erhält die x-Koordinate des Schnittpunktes.

Merke: Eine Bruchgleichung ist eine Gleichung mit mindestens einem Bruch, der die Unbekannte im Nenner enthält.

Wie löst man nun die Bruchgleichung $\frac{1}{x} = -\frac{2}{2+x}$? Wie löst man überhaupt eine Bruchgleichung?

1, Immer wenn man Bruchterme hat muss man sich zuerst überlegen, welche Zahlen man für x einsetzen darf. Das liefert die Definitionsmenge der Bruchgleichung. Hier stehen die Terme x und 2+x in den Nennern. Nenner dürfen nicht Null werden, also darf man x = 0 und x = -2 nicht einsetzen. Die Definitionsmenge hier ist also D = Q\{-2;0}.

2. Nun mulitpliziert man die Gleichung mit dem Term $x \cdot (2+x)$, dann erhält man
$\frac{1}{x} = -\frac{2}{2+x} \quad \mid \cdot x(2+x)$
$\frac{x(2+x)}{x} =- \frac{2x(2+x)}{2+x}$
Beim Bruch auf der linken Seite der Gleichung haben Zähler und Nenner den gleichen Faktor x, beim Bruch auf der rechten Seite der Gleichung haben Zähler und Nenner den gleichen Faktor 2+x. Gleiche Faktoren kann man bei Brüchen kürzen.
$2+x=-2x$
Diese Gleichung löst man und erhält als Lösung $x=-\frac{2}{3}$.

3. Nun gibt man noch die Lösungsmenge an. $x=-\frac{2}{3}$ ist ein Element der Definitionsmenge (in D sind nur 0 und -2 herausgenommen). L=Q\$\left \{ \frac{2}{3} \right \}$}

  Aufgabe 2

1. Schau dir dieses Video an, in dem der Lösungsweg zum Lösen einer Bruchgleichung ausführlich dargestellt wird.

2. Schaue dir im Buch auf S. 124 das Beispiel im gelb umrandeten Kasten an.
3. Schaue dir die rechnerischen Lösungen der drei Aufgaben im Buch auf S. 125 obere Hälfte an.

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Beachte:
S. 125 b) Hier musst du erst eine Gleichung herstellen, die zwei Brüche auf den beiden Seiten des = - Zeichens hat.

S. 125 c) Die Lösung x = 1 ist kein Element der Definitionsmenge ist, daher hat man keine Lösung der Bruchgleichung und die Lösungsmenge ist leer.

Bemerkung
In den Beispielen konntest du die Bruchgleichung meist mit dem Produkt der Nenner multiplizieren. Durch Kürzen fielen die Nenner weg und du konntest eine "normale" Gleichung lösen.
Wir betrachten die Bruchgleichung: $\frac{6}{x^2-x}=\frac{5}{x^2-1}$ und bestimmen als Definitionsmenge D = Q\{-1;0;1}
Wenn du die Bruchgleilchung $\frac{6}{x^2-x}=\frac{5}{x^2-1}$ mit dem Produkt der Nenner (x²-x)(x²-1) multiplizierst, dann erhältst du:
$\frac{6(x^2-x)(x^2-1)}{x^2-x}=\frac{5(x^2-x)(x^2-1)}{x^2-1}$ und gekürzt:
$6(x^2-1)=5(x^2-x)$ Man kann nun Vereinfachen: $6x^2-6 = 5x^2 -5x$ und $x^2 - 6 = -5x$ oder $x^2+5x-6=0$ .
Dies ist eine quadratische Gleichung, die du nicht lösen kannst! Das lernst du erst in der 9. Klasse.

Man kann hier den Hauptnenner zum Multiplizieren der Gleichung finden, indem man sein kgV (kleinstes gemeinsame Vielfache) bestimmt.
Den Hauptnenner findest du immer als kgV (kleinstes gemeinsame Vielfache) der einzelnen Nenner.
Die Terme $\frac{6}{x^2-x}$ und $\frac{5}{x^2-1}$ haben die Nenner x²-x und x²-1. Beide Nenner kann man in ein Produkt umwandeln:
$x^2-x = x(x-1)$ und $x^2-1=(x-1)(x+1)$
Die zweite Differenz x²-1 kann man tatsächlich so zerlegen. Überprüfe es, indem du das Produkt (x-1)(x+1) ausmultiplizierst.

Nun nimmt man alle Faktoren des nenners des Bruches auf der linken Seite, also x(x-1). Bei den Faktoren des Nenners des Bruches der rechten Seite kommt (x-1) bereits vor. Deshalb nimmt man nun nur noch (x+1) als Faktor hinzu, so dass man die Bruchgleichung mit dem Produkt x(x-1)(x+1) multipliziert.
$\frac{6}{x^2-x}=\frac{5}{x^2-1} \quad \mid \cdot x(x-1)(x+1)$
Man erhält nun diese Gleichung, dabei werden die Nenner als Produkte (, die wir uns gerade überlegt hatten) geschrieben.
$\frac{6x(x-1)(x+1)}{x(x-1)}=\frac{5x(x-1)(x+1)}{(x-1)(x+1)}$
Nun kann man beim linken Bruch die gemeinsamen Faktoren x(x-1) und beim rechten Bruch die gemeinsamen Faktoren (x-1)(x+1) kürzen.
$6(x+1)=5x$ Diese Gleichung lässt sich lösen: $6x + 6 = 5x$ und es ist $x = -6$ .
Damit erhält man tatsächlich eine Lösung, die in D enthalten ist. L = {-6}.

Du kannst gerne die Probe machen, indem du für x die gefundene Zahl -6 einsetzt:
linke Seite: $\frac{6}{36-(-6)}=\frac{1}{7}$ und rechte Seite: $\frac{5}{36-1}=\frac{1}{7}$

Dadurch dass wir die einzelnen Bruchnenner faktorisiert haben und die Faktoren nur so oft verwendet haben wie sie in den einzelnen Nennern vorkamen, konnten wir die Aufgabe lösen.

Du kennst diese Verfahren bereits vom Rechnen mit Brüchen. Um die Brüche $\frac{5}{24}, \frac{7}{36}$ und $\frac{1}{18}$ zu addieren bestimmt du auch das kgV(24,36,18) = 72 als Hauptnenner und erweiterst die Brüche nicht auf den Nenner 24·36·18=15552. Es ist dann$\frac{5}{24}+\frac{7}{36}+\frac{1}{18}=\frac{15}{72}+\frac{14}{72}+\frac{4}{72}=\frac{15+14+4}{72}=\frac{33}{72}=\frac{11}{24}$ . Mit Hauptnenner 15552 muss natürlich das gleiche Ergebnis am Ende herauskommen!

Merke Du findest den Hauptnenner mit dem du die Bruchgleichung multiplizierst, indem du alle Faktoren der einzelnen Bruchnenner so oft für den Hauptnenner verwendest wie sie in den einzelnen Nennern vorkommen. 1. Die Nenner $x^2-x$ und $x^2-1$ werden faktorisiert: $x^2-x = x(x-1)$ und $x^2-1=(x-1)(x+1)$ 2. Die Faktoren x und (x-1) des ersten Nenners verwendet man. Da (x-1) auch im zweiten Nenner vorkommt, aber schon notiert ist, nimmt man nur noch (x+1) als dritten Faktor hinzu. 3. Der Hauptnenner ist dann $x(x-1)(x+1)$ .

  Aufgabe 3

Bestimme den Hauptnenner für drei Brüche mit den Nennern
a) x, x²-1 und x²-x .
b) 2x, x²+x und x²-2x

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a) Der 1. Nenner ist x, der zweite Nenner ist faktorisiert (x-1)(x+1) und der dritte Nenner ist faktorisiert x(x-1).
Für den Hauptnenner verwendet man vom 1. Nenner x, vom zweiten Nenner (x-1) und (x+1) als Faktoren und hat dann x(x-1)(x+1). Nun muss man noch den dritten Nenner ansehen. Dessen zwei Faktoren x und (x+1) sind bereits vorhanden, also müssen sie nicht hinzugenommen werden.
Der Hauptnenner ist x(x-1)(x+1).

b) Man faktorisiert zurerst die Nenner: 1.Nenner 2x = 2·x, 2.Nenner x²+x = x·(x+1) und 3. Nenner x²-2x=x·(x-2)
Für den Hauptnenner verwendet man vom 1. Nenner 2·x, vom zweiten Nenner ist x schon vorhanden und man nimmt nur noch (x+1) hinzu und vom dritten Nenner ist x auch schon vorhanden und es kommt noch (x-2) dazu.

Der Hauptnenner ist 2x(x+1)(x-2).

Auf dieser Seite ist das Lösen von Bruchgleichungen nochmals an Beispielen erklärt.

  Aufgabe 4

Buch S. 126/1
Burch S. 126/2
Buch S. 126/3
Buch S. 126/4

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Beachte, dass man bei Mengen die kleinere Zahl immer zuerst schreibt!<br>
Zum Beispiel {-6; -4; -2,3; -0,7;0;0,3;1,1;1,7;2,3;2,4;9}

S. 126/1
a) D = Q\{-5}; multiplziere die Gleichung mit (x+5). Du erhältst 4 = x+5 und als x = -1; L={-1}
b) D=Q\{3}; x = 6,5; L={6,5}
c) D=Q\/-1,5}; x = -1; L={-1}
d) D=Q\{1,5}; x = 1,45; L={1,45}
e) Hauptnenner ist 2x. Multipliziere die Gleichung mit 2x. Es ist dann $\frac{4}{x} \cdot 2x=\left ( \frac{3}{2x}+1 \right) \cdot 2x$
Vereinfache beide Seiten: $8=3 + 2x$ und $x = 2,5$ . L={2,5}
f) Dies ist keine Bruchgleichung! Also einfaches Lösen ergibt x = 100.
g) D=Q\{0;2}; Hauptnenner ist x(x-2); x = 2; 2 ist kein Element von D, also L={}
h) D=Q\{0}; x = 1; L={1}
i) keine Bruchgleichung; x = 15
j) D=Q\[-5}; x = 3; L={3}
k) D=Q\{-4;3}; 7 = 7 (allgemeingültige Gleichung, also L=Q\{-4;3}
l) D=Q\{-3;0}, x = -2,5; L ={-2,5}
m) D=Q\{-2;-1}; x=0,5; L={0,5}
n) D=Q\{0}; x = ±1; L={-1;1}
o) D=Q\-1;0}; Hauptnenner ist 4x(x+1); x = 1,4; L={1,4}
p) D=Q\{0}; x=0; L={}

S. 126/2
Hier sind Zahlen gemeint, die man erst gar nicht einsetzen darf, bei denen der Nenner den Wert 0 annehmen würde.
a) 0 ist keine Lösung der Gleichung. Ist $x \neq 0$, dann kann man die Gleichung nach x auflösen und erhält $x = \frac{3}{a}$. Dies ist, da $a\neq 0$ ist stets eine Lösung.
b) 1 ist keine Lösung der Gleichung. Ist $x \neq 1$, dann kann man die Gleichung nach x auflösen und erhält $x = 1+\frac{3}{a}$. Dies ist, da $a\neq 0$ ist stets eine Lösung.
c) 5 ist keine Lösung der Gleichung. Ist $x \neq 5$, dann kann man die Gleichung nach x auflösen und erhält $x = 5-\frac{3}{a}$. Dies ist, da $a\neq 0$ ist stets eine Lösung.
d) 0 und 1 sind keine Lösungen der Gleichung. Ist $x \neq 0$ und $x\neq 1$, dann kann man die Gleichung nach x auflösen und erhält $x = 1-a$. Dies ist stets eine Lösung.
e) -2 ist keine Lösung der Gleichung. Ist $x \neq -2$, dann kann man die Gleichung nach x auflösen und erhält $x = \frac{2,4}{a}-0,5$. Dies ist, da $a\neq 0$ ist stets eine Lösung.

S. 126/3
Für alle Aufgaben ist D=Q\{-1}.
a) x = 0, L={0}
b) falsche Aussage 0=1, also L={}
c) x = -0,5; L={-0,5}
d) x=0, also L={0}

S. 126/4
a) D=Q\{-6;-4}; Multiplikation mit dem Hauptnenner (6+x)(x+4) liefert (4+x)²=(6+x)² und ausmultipliziert
16 + 8x + x^{^2} = 36 + 12x + x^{^2} .
Vereinfacht erhält man -4x = 20 und x = -5, also L={-5}
b) D=Q; x = 144; L={144}
c) D=Q\{0}; x = 90000, L={90000}

d) D=Q\{-60;0} (wenn x = -60 ist, dann hat man den Bruch $\frac{2}{0}$, was nicht erlaubt ist. x = 7,5; L={7,5}

  Aufgabe 5

Buch S. 126/5
S. 126/6

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S. 126/5
a) Damit der Bruch den Wert 1 hat, muss der Nenner des Bruches 6 sein, also x = 5.
b) Damit der Bruch den Wert 2 hat, muss der Nenner des Bruches 3 sein, also x = 3.
c) Damit der Bruch den Wert 3 hat, muss der Nenner des Bruches 2 sein, also x = 1.
d) Damit der Bruch den Wert 4 hat, muss der Nenner des Bruches 1,5 sein, also x = 0,5.
e) Damit der Bruch den Wert 6 hat, muss der Nenner des Bruches 1 sein, also x = 0.
f) Damit der Bruch den Wert 12 hat, muss der Nenner des Bruches 0,5 sein, also x = -0,5.
g) Damit der Bruch den Wert 60 hat, muss der Nenner des Bruches $\frac{1}{10}$ sein, also $x = -\frac{9}{10}$.
h) Ein Bruch hat den Wert 0, wenn der Zähler des Bruches den Wert 0 hat.
Der Zähler hat den Wert 60, also kann der Bruch nie den Wert 0 haben.

S. 126/6

Ein Produkt hat den Wert 0, wenn ein Faktor den Wert 0 hat!

a) Der 1. Faktor hat für x = 3 den Wert 0, der zweite Faktor hat für x = 2 den Wert 0, also hat das Produkt für x = 3 oder x = 2 den Wert 0. L={2;3}
b) Der 1. Faktor hat für x = 2 den Wert 0, der zweite Faktor hat für x = 8 den Wert 0, also hat das Produkt für x = 2 oder x = 8 den Wert 0. L={2;8}
c) Der 1. Faktor hat für x = -4 den Wert 0, der zweite Faktor hat für x = 4 den Wert 0, also hat das Produkt für x = -4 oder x = 4 den Wert 0. L={-4;4}

Ein Bruch hat den Wert 0, wenn der Zähler den Wert 0 hat.

d) D=Q\{-2}. Der Zähler hat für x = 0 den Wert 0. L={0}
e) D=Q\{0}. Der Zähler hat für x = ±6 den Wert 0. L={-6;6}
f) D=Q\{-3;3}. Der Zähler hat nie 0 den Wert 0 (Es ist x²+1 ≥ 1.). L={}

g) D=Q\{0}. Der 1. Faktor hat für x = 0 den Wert 0, der zweite Faktor hat für x = 4 den Wert 0, also hat das Produkt für x = 0 oder x = 4 den Wert 0. Aber 0 ist nicht in D. L={4}

  Aufgabe 6

Mache die Aufgaben auf den Seiten von realmath.de: Seite 1, Seite 2, Seite 3 und Seite 4

Zum Schluss noch ein schwieriges Beispiel:

Die zwei Graphen schneidet sich in zwei Punkten. Die Koordinaten des rechten Schnittpunkts S kann man ablesen. Es ist S(2;1). Die Koordinaten des zweiten Schnittpunkte T kann man nicht so leicht ablesen. Es könnte T(0,5;-2) sein. Aber ist man sich sicher?
Eine Überprüfung wäre hier durch Einsetzen von x im Funktionsterm möglich. Wenn der richtige y-Wert herauskommt, dann hat man die richtigen Koordinaten des Schnittpunkts. Es ist f(2)= 1 = g(2) und f(0,5) = -1 = g(0,5). Also richtig abgelesen!

Bei der Behandlung linearer Funktionen hatten wir auch schon den Schnittpunkt zweier Geraden. Wir haben die Geraden gezeichnet und aus dem Diagramm den Schnittpunkt abgelesen. Wir haben aber auch den Schnittpunkt berechnet, indem wir die zwei Geradengleichungen gleichgesetzt haben. Dieses Rechenverfahren wollen wir nun hier bei unseren zwei Hyperbeln auch anwenden. Im Schnittpunkt haben beide Funktionsgraphen den gleichen x- und den gleichen y-Wert. Wir setzen die beiden Funktionsterme (gleiche y-Werte) gleich $\frac{1}{x-1} = 2 - \frac{2}{x}$ . Nun muss man diese Gleichung lösen und erhält die x-Koordinate des Schnittpunktes.

Man muss die Glelichung $\frac{1}{x-1} = \frac{2x-2}{x}$ lösen.
1. Man bestimmt die Definitionsmenge. In den Nennern stehen die Terme x-1 und x. Nenner dürfen nicht Null werden, also darf man x = 1 und x = 0 nicht einsetzen. Die Definitionsmenge hier ist also D = Q\{0;1}.

Nun kann man daran gehen die Gleichung $\frac{1}{x-1} = \frac{2x-2}{x}$ zu lösen. Was bei Bruchgleichungen immer stört sind die Brüche. Mulitpliziert man die Gleichung mit dem Term (x-1)x, dann erhält man
$\frac{1}{x-1} = \frac{2x-2}{x} \quad \mid \cdot (x-1)x$
$\frac{(x-1)x}{x-1} = \frac{(2x-2)(x-1)x}{x}$
Im Zähler und Nenner des Bruchs auf der linken Seite der Gleichung steht der gleiche Faktor x-1 und auf der rechten Seite der
Gleichung der gleiche Faktor x. Gleiche Faktoren kann man kürzen!
$x = (2x-2)(x-1)$
Dies ist eine Gleichung, die man nun lösen muss.
$x = 2x^2 - 2x - 2x +2$
$x = 2x^2 - 4x + 2 \quad \mid -x$ $0 = 2x^2 - 5x + 2 \quad \mid :2$ $0 = x^2 - 2,5x + 1 \quad \mid :2$

Diese Art von Gleichung lernst du in der 9. Klasse zu lösen. Aber wir haben ja schon zwei Lösungen x = 2 und x = 0,5.
Setzt man für x diese Werte ein, dann ist die Gleichung richtig.
Man kann den Term $x^2 - 2,5x + 1$ auch als Produkt schreiben: $x^2 - 2,5x + 1=(x-2)(x-0,5)$.
(Multipliziere das Produkt $(x-2)(x-0,5)$aus, dann erhältst du den Term auf der linken Seite $x^2 - 2,5x + 1$
Ein Produkt hat den Wert 0, wenn ein Faktor den Wert 0 annimmt. Der erste Faktor x-2 hat für x = 2 den Wert 0,
der zweite Faktor x-0,5 hat für x = 0,5 den Wert 0. Das sind unsere beiden Lösungen vom Ablesen am Graphen.

Zuletzt gibt man noch die Lösungsmenge an: L = {0,5; 2}