M11 Das Newtonsche Iterationsverfahren

Für lineare und quadratische Funktionen hat man zur Bestimmung der Nullstellen Gleichungen zu lösen. Bei quadratischen Funktionen gibt es hierzu die Lösungsformel. Für Polynome höheren Grades kann man meist nur Nullstellen erraten und dann per Polynomdivision versuchen auf ein Polynom 2. Grades zu kommen.
Bei vielen Funktionen hat man Probleme die Nullstellen zu bestimmen. Oftmals reicht es aus, wenn man einen Näherungswert hat. Ein Verfahren um einen Näherungswert für die Nullstelle einer Funktion zu finden ist das Newtonsche Iterationsverfahren.

  Aufgabe 1

Lesen Sie im Buch auf S.73 den gelb unterlegten Text durch. Schauen Sie sich danach die zwei Beispiele Auf S.73-74 an.

In diesem Video wird das Newton-Verfahren erkärt.

In diesem Applet wird das Verfahren schrittweise dargestellt.

  Aufgabe 2

Machen Sie jeweils den ersten Schritt des Newton-Verfahrens für die Funktionen
Verwenden Sie jeweils als Startwert x₀ = 5. a) $f:x \rightarrow x^3+x^2+1$
b) $f:x \rightarrow x^3+x-5$
c) $f:x \rightarrow x^4-3x-3$

[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

a) x1 = 3,2235
b) x1 = 3,3552

c) x1 = 3,77876

  Aufgabe 3

Ermitteln Sie jeweils alle Nullstellen der Funktion f nach dem Newton-Verfahren auf zwei Nachkommastellen genau.
Hierzu eignet sich eine Tabellenkalkulation!
a) $f:x \rightarrow x^3+x^2+1$
b) $f:x \rightarrow x^3+x-5$
c) $f:x \rightarrow x^4-3x-3$

[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

a) x = - 1,46557
b) x26 = 1,51598

c) x7 = 1,6846