M11 Rechnen mit Vektoren

Man kann mit Vektoren auch rechnen. Es gibt zwei Rechenarten für Vektoren, die Addition und die S-Mulitplikation.

Merke Addition von Vektoren Vektoren kann man addieren. Dazu setzt man an die Spitze des einen Vektors (natürlich an einen Repräsentanten von ihm!) den Anfangspunkt des anderen Vektors. Der Pfeil vom Anfangspunkt des ersten Vektors zum Endpunkt des zweiten Vektors ist der Summenvektor.

Rechnerisch heißt das, dass man die Koordinaten der Vektoren addiert, man spricht von koordinatenweiser Addition.
Für die Vektoren $\vec u = \left ( \begin{array}{c} u_1 \\\ u_2 \\\ u_3 \end{array}\right)$ und $\vec v = \left ( \begin{array}{c} v_1 \\\ v_2 \\\ v_3 \end{array}\right)$ gilt dann für den Summenvektor $\vec w = \vec u + \vec v = \left ( \begin{array}{c} u_1 \\\ u_2 \\\ u_3 \end{array}\right) + \left ( \begin{array}{c} v_1 \\\ v_2 \\\ v_3 \end{array}\right)= \left ( \begin{array}{c} u_1+v_1 \\\ u_2+v_2 \\\ u_3+v_3 \end{array}\right)$ .
Die Koordinaten des Summenvektors sind die Summen der Koordinaten der Summanden.

Beispiele: $\left ( \begin{array}{c} 1 \\\ 2 \\\ 3 \end{array}\right) + \left ( \begin{array}{c} 3 \\\ 2 \\\ 1 \end{array}\right)= \left ( \begin{array}{c} 1+3 \\\ 2+2 \\\ 3+1 \end{array}\right)= \left ( \begin{array}{c} 4 \\\ 4 \\\ 4 \end{array}\right)$
$\left ( \begin{array}{c} -1 \\\ 0 \\\ 2 \end{array}\right) + \left ( \begin{array}{c} 3 \\\ -2 \\\ 1 \end{array}\right)= \left ( \begin{array}{c} -1+3 \\\ 0-2 \\\ 2+1 \end{array}\right)= \left ( \begin{array}{c} 2 \\\ -2 \\\ 3 \end{array}\right)$

Für die Vektoraddition gelten auch Rechengesetze. Aus der Algebra kennt man für das Rechnen mit Buchstaben das Kommutativgesetz und das Assoziativgesetz. Diese Gesetze gelten auch für Vektoren. Das Kommutativgesetz sieht man sehr einfach bei der Konstruktion des Summenvektors:
Vektor $\vec a + \vec b$ führt zum selben Ergebnis wie $\vec b + \vec a$.

Das Assoziativgesetz für Vektoren kann man in diesem Applet nachvollziehen.

Verändert man die Vektoren $\vec u , \vec v$ oder $\vec w$ so ergibt sich stets der gleiche schwarze Pfeil als $(\vec u + \vec ) + \vec w$ oder $\vec u + (\vec v + \vec w )$.

Merke S-Multiplikation Vektoren können mit reellen Zahlen (Skalare genannt) multipliziert werden. Die Länge des resultierenden Vektors u ist daher c*u. Man denke an eine zentrische Streckung. Wenn der Skalar c positiv ist, zeigt der resultierende Vektor in dieselbe Richtung, ist c negativ, in die Gegenrichtung. Durch Ziehen am Schieberegler verändert man den Wert von c. Der rote Vektor $\vec v$ ist der Vektor, der sich durch die Multiplikation des Vektors $\vec u$ mit der reellen Zahl c ergibt. $\vec v = c\cdot \vec u$. Jede Koordinate des Vektors $\vec u$ wird mit c multipliziert. Man spricht von koordinatenweiser Multiplikation. $\vec v = c \cdot \vec u = c \cdot \left ( \begin{array}{c} u_1 \\\ u_2 \\\ u_3 \end{array}\right) = \left ( \begin{array}{c} c \cdot u_1 \\\ c \cdot u_2 \\\ c \cdot u_3 \end{array}\right)$

Beispiele: $3\cdot \left ( \begin{array}{c} 1 \\\ 2 \\\ 3 \end{array}\right) = \left ( \begin{array}{c} 3 \\\ 6 \\\ 9 \end{array}\right)$
$-1\cdot \left ( \begin{array}{c} 1 \\\ 2 \\\ 3 \end{array}\right) = \left ( \begin{array}{c} -1 \\\ -2 \\\ -3 \end{array}\right)$ Beachte: $\vec v$ ist der Gegenvektor zu $\vec u$.
$5\cdot \left ( \begin{array}{c} 3 \\\ 0 \\\ -2 \end{array}\right) = \left ( \begin{array}{c} 15 \\\ 0 \\\ -10 \end{array}\right)$