M9 Quadratische Gleichungen

Bei den linearen Funktionen war es nützlich die Schnittpunkte des Graphen mit den Koordinatenachsen zu bestimmen. Der Schnittpunkt mit der y-Achse war der y-Abschnitt t und mit Hilfe der Nullstelle (Schnittpunkt mit der x-Achse) konnte man leicht die Steigung mbestimmen.

Bei den quadratischen Funktionen geht dies ähnlich. Der Schnittpunkt mit der y-Achse ist durch f(0) gegeben. Die Nullstelle/Nullstellen erhält man durch Lösen der Gleichung f(x) = 0.
Bei den Übungen zu den quadratischen Funktionen hast du bei Aufgabe 1 und Aufgabe 2 gesehen, dass eine Parabel zwei Nullstellen oder keine Nullstelle haben kann. Von der Normalparabel kennst du, dass sie eine Nullstelle hat.

Um die Nullstellen zu bestimmen muss man die Lösungen der Gleichung f(x) = 0 finden.
Für eine quadratische Funktion $f: x \rightarrow ax^2 + bx + c$ führt dies zur Gleichung $a x^2 + b x + c = 0$.

Merke: Eine Gleichung der Form $a x^2 + b x + c = 0$ mit a $\in$ R\{0}, b, c $\in$ R heißt quadratische Gleichung:

graphische Lösung

Manchmal kann man aus dem Graph die Nullstellen direkt ablesen. Man spricht dann vom graphischen Lösen der quadratischen Gleichung. Bei der quadratischen Funktion $f : x \rightarrow x^2 - 1$ hast du folgenden Graph

Du liest hier problemlos $x_1 = -1$ und $x_2 = 1$ als Nullstellen der Funktion ab.

  Aufgabe 1

Lies aus dem Graphen die Nullstelle(n) ab.
a) b) c)
Gib auch jeweils die Funktionsgleichung an.

[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

a) x₁ = 0 und x₂ = 2, y = (x-1)²-1
b) x₁ = -2 und x₂ = 0, y = -(x+1)²+1

c) x₁ = 0,1 und x₂ = 2,9, y = (x-1,5)²-2

Bei dem Graphen von Aufgabe 1c kann man die Nullstellen nur näherungsweise ablesen. Man sieht jedenfalls, dass x₁ = 0 und x₂ = 3 nicht die Nullstellen sind, sondern, dass sie etwas daneben liegen. Aus dem Graphen kann man sie dann nur ungefähr ablesen.

  Aufgabe 2

1. Löse graphisch
1 a) x² + 4x + 4 = 0, b) 3x² - 3x - 18 = 0, c) x² + x - 2 = 0
2 Ermittle graphisch die Nullstellen
a) f(x) = 4 - x², b) f(x) = 0,5( x-1)² - 0,5, c) f(x) = x² - 2

[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

1a) x = -2 , b) x₁ = -2 und x₂ = 3 , c) x₁ = -2 und x₂ = 1

2a) x₁ = -2 und x₂ = 2 , b) x₁ = 0 und x₂ = 2 , c) x₁ = -1,4 und x₂ = 1,4

Von der letzten Aufgabe weißt man, dass die Gleichung $x^2 -2 = 0$ die zwei Lösungen $x_1 = -\sqrt 2$ und $x_2=\sqrt 2$ hat. Auch hier kann man graphisch nur Näherungslösungen bestimmen.
Dies ist natürlich unbefriedigend. Man möchte ja gerne die exakten Lösungen. Also muss man eine rechnerische Lösung finden.

rechnerische Lösung

Zerlegung in Linearfaktoren

Bei der Gleichung x² + 5x = 0 kann man x ausklammern. Es ist x² + 5x = x(x+5), also muss man die Gleichung x(x+5)=0 lösen. Man weiß

Ein Produkt hat den  Wert Null, wenn ei Faktor den Wert Null hat.

Dann sind die zwei Lösungen der Gleichung x(x+5)=0 die zwei Zahlen x₁=-5 und x₂=0. Damit hat die Gleichung x² + 5x = 0 auch diese zwei Lösungen x₁=-5 und x₂=0.

In diesem Video

wird Ausklammern und die Verwendung der binomischen Formeln aufgezeigt.

Ausklammern funktioniert bei der Gleichung x² +5x + 6 = 0 nicht!
Bei den ersten beiden Summanden könnte man x ausklammern, aber der dritte Summand 6 bleibt dann stehen. x² +5x + 6 =x(x+5)+6 und wie soll man x(x+5)+6 = 0 lösen?
Wenn man bei der ganzen rechten Seite x ausklammert, dann erhält man $x^2 + 5x + 6 = x(x+5+\frac{6}{x})$ und für die Gleichung $x+5+\frac{6}{x} = 0$ hat man keinen Plan wie man sie lösen soll.

Schön wäre es, wenn man den Term x² +5x + 6 so umformen könnte, dass x² +5x + 6 = (x+3)(x+2) da steht. Dann hätte man wieder, dass ein Produkt 0 ist, wenn ein Faktor 0 ist. Also wären die Lösungen x₁=-3 und x₂=-2.

  Aufgabe 3

1. Zeige, dass die Gleichung x² +5x + 6 = (x+3)(x+2) allgemeingültig ist.
2. Überprüfe durch Einsetzen in die Gleichung x² +5x + 6 = 0, dass x₁=-3 und x₂=-2 Lösungen sind.

[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

1. Man multipliziert die rechte Seite aus (x+3)(x+2)=x²+3x+2x+6=x²+5x+6 und erhält die linke Seite.

2. x = -3 eingesetzt ergibt 9 - 15 + 6 0 = und x = -2 eingesetzt ergibt 4 - 10 + 6 = 0.

Doch wie kommt man auf so eine Zerlegung?
Zuerst schaut man sich den Summanden ohne x, also hier 6 an. Beim Ausmultiplizieren entsteht die 6 als Produkt der zwei Zahlen 2 und 3. Also schaut man welche natürliche Zahlen als Produkt 6 ergeben. Hier kommen 6·1 = 6 und 2·3=6 also die zwei Zahlenpaar 6 und 1 sowie 3 und 2 in Frage. Beim Ausmultiplizieren der Klammern sieht man auch, dass der Term mit x als Koeffizient die Summe der beide Zahlen hat, also 6+1 = 7 bzw. 3+2=5. Damit hat man (x+3)(x+2)=x² + 5x + 6.

Merke Um die Zerlegung von x2 + bx + c in Linearfaktoren zu finden, schaue nach natürlichen Zahlen x1 und x2, 1. deren Produkt c ist, also x1·x2 = c und 2. deren Summe b ist, also x1+x2=b. 3. Es ist dann x2 + bx + c = (x + x1)(x + x2). Die quadratische Gleichung x2 + bx + c = 0 hat dann die zwei Lösungen -x1 und -x2.

Beispiele:

x2 + 7x + 6	1. 6 ist das Produkt aus 6 und 1 sowie 3 und 2 2. Summe: 6+1 = 7, 3+2 = 5 3. x2 + 7x + 6 =(x+1)(x+6)
x2 - 8x + 12	1. 12 ist das Produkt aus 12 und 1, sowie 6 und 2, sowie 4 und 3. 2. Summe: 12+1 = 13, 6 + 2 = 8, 4+3=7 3. 2 und 6 sind die Kandidaten. Da vor 8 ein Minuszeichen steht muss man -2 und -6 nehmen. x2 - 8x + 12 =(x-2)(x-6)
x2 -5x + 6	1. 6 ist das Produkt aus 6 und 1 sowie 3 und 2 2. Summe: 6+1 = 7, 3+2 = 5 3. 2 und 3 sind die Kandidaten. Da vor x aber -5 steht, muss man -3 und -2 nehmen, also x2 - 5x + 6 =(x-3)(x-2)
x2 + x - 6	1. 6 ist das Produkt aus 6 und 1 sowie 2 und 3. Da nun aber hier -6 steht muss man jeweils eine Zahl mit - versehen, also (6 und -1) oder (-6 und 1) oder (-2 und 3) oder (-3 und 2). 2. Summe 6-1=5, -6+1=-5, -2+3=1, -3+2=-1, also sind -2 und 3 die passenden Zahlen. 3. x2 + x - 6 = (x-2)(x+3)

François Viète hat dies etwas anders herausgefunden.
Sind x₁ und x₂ die zwei Lösungen der Gleichung x² + bx + c = 0, dann lässt sich der quadratische Term x² + bx + c in Faktoren x - x₁ und x - x₂ zerlegen. Es ist x² + bx + c = (x - x₁)(x - x₂).
Hier steht nun in der Klammer jeweils ein - Zeichen, da ja die Zahlen eingesetzt 0 ergeben!
Multipliziert man die rechte Seite aus (x - x₁)(x - x₂) = x² - x·x₂ - x₁·x + x₁·x₂=x²-(x₁+x₂)·x+x₁·x₂
Der Vergleich von x²-(x₁+x₂)·x+x₁·x₂ mit x² + bx + c liefert
b = -(x₁+x₂) und c = x₁·x₂

Merke Satz von Vieta Sind p und q die Koeffizienten der quadratischen Gleichung x2 + px + q = 0 und x1 und x2 deren Lösung, so ist x1 + x2 = -p und x1·x2 = q.

In dem Satz von Vieta wurden p und q verwendet. Dies ist allgemein so üblich, wenn in der quadratischen Gleichung der Koeffizient von x² die Zahl 1 ist. Die quadratische Gleichung hat dann die Form x² + px + q = 0.

  Aufgabe 4

1. Bestimme die Lösungen:
a) (x+11)(x-2)=0
b) (x-3)(x-10)=0
c) (x-4)(x+2)=0
d) (x+3)(x+78)=0

2. Löse
a) x² - 4x -21 = 0
b) x² + 3x -10 = 0
c) x² + x - 2 = 0
d) x² - 5x + 6 = 0
e) x² + 5x - 6 = 0

3. Bearbeite die Aufgabe 1, Aufgabe 2

[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

1a) x₁=-11, x₂=2
b) x₁=3, x₂=10
c) x₁=4, x₂=-2
d) x₁=-3, x₂=-78

2a) x₁=-3, x₂=7
b) x₁=-5, x₂=2
c) x₁=-2, x₂=1
d) x₁=2, x₂=3

e) x₁=-6, x₂=1

Lösungsformel

Das Zerlegen in Linearfaktoren oder der Satz des Vieta funktionieren oft wunderbar. Allerdings muss der Koeffizient von x² stets 1 sein. Was macht man, wenn das nicht der Fall ist?
Was ist aber, wenn man eine Gleichung x² - 5x + 5 = 0 hat? Da kommt man mit unserem obigen Verfahren nicht weiter. Die Zahl 5 ist das Produkt der Zahlen 5 und 1. Die Summe 5+1=6. Das ist nicht -5! Was macht man nun?

Wir betrachten den Fall $a x^2 + bx + c=0$ wobei $a\neq 0$ ist. Wenn a = 0 wäre, hätten wir keine quadratische Gleichung, sondern eine lineare Gleichung.
Im folgenden verzichten wir nun darauf $a \neq 1$ zu fordern. Das Beispiel x² - 5x + 5 = 0 zeigt, dass wir auch das nicht lösen können.

Eine quadratische Funktion wird normalerweise in der Form $f:x \rightarrow ax^2 +bx +c$ angegeben.
Mit Hilfe der quadratischen Ergänzung bringt man den Funktionsterm $ax^2 + bx + c$ in die Scheitelform $a [(x + (\frac{b}{2a}))^2 - (\frac{b}{2a})^2 + \frac{c}{a}] = a [x + (\frac{b}{2a})]^2 - \frac{b^2}{4a} + c$

Die beiden Funktionsterme sind gleichwertig, es ist $ax^2 +bx +c = a [x + (\frac{b}{2a})]^2 - \frac{b^2}{4a} + c$ .

Für die quadratische Gleichung $ax^2 +bx +c = 0$ bedeutet dies, dass sie gleichwertig ist zur Gleichung $a [x + (\frac{b}{2a})]^2 - \frac{b^2}{4a} + c = 0$

Division durch a (das ist erlaubt, da $a\neq 0$ ist) ergibt die Gleichung $[x + (\frac{b}{2a})]^2 - \frac{b^2}{4a^2} + \frac{c}{a} = 0$
Nun löst man die Gleichung nach x auf. Man erhält dann $[x + (\frac{b}{2a})]^2 = \frac{b^2}{4a^2} - \frac{c}{a}$ .
Auf der linken Seite steht ein Quadrat, auf der rechten Seite ein Term. Zieht man nun auf beiden Seiten die Wurzel so erhält
$x + (\frac{b}{2a}) = \pm \sqrt {\frac{b^2}{4a^2} - \frac{c}{a}}$
$\pm$ vor der Wurzel bedeutet, dass sowohl die negatitve wie die positive Wurzel quadriert den Term auf der linken Seite ergibt.
Isoliert man x auf der linken Seite so erhält man $x_{1,2} = - (\frac{b}{2a})\pm \sqrt {\frac{b^2}{4a^2} - \frac{c}{a}}$
Der Indix 1,2 von x bedeutet, dass es für x zwei Werte gibt je nachdem ob vor der Wurzel ein - oder ein + steht.
Es geht jetzt nur noch darum diese Formel in eine einprägsame Form zu bringen. Dazu bringt man den Term unter der Wurzel auf den gemeinsamen Nenner 4a² bringt, also $x_{1,2} = - (\frac{b}{2a})\pm \sqrt {\frac{b^2}{4a^2} - \frac{c}{a}}= - (\frac{b}{2a})\pm \sqrt {\frac{b^2}{4a^2} - \frac{4ac}{4a^2}}=- (\frac{b}{2a})\pm \sqrt {\frac{b^2-4ac}{4a^2}}$
4a² ist ein Quadrat, welches man aus der Wurzel herausziehen kann. Es ist also $- (\frac{b}{2a})\pm \sqrt {\frac{b^2-4ac}{4a^2}}=- (\frac{b}{2a})\pm \frac{1}{2a} \sqrt{b^2-4ac}$
Dies ergibt weiter $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 -4ac}}{2a}$

Merke: Die Lösungen der quadratischen Gleichung ax2 + bx +c = 0 sind $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 -4ac}}{2a}$

Beispiele: 1. 2x² - 32 = 0
Hier ist a = 2, b = 0 und c = -32, also $x_{1,2}=\frac{-0\pm \sqrt{0^2-4 \cdot 2 \cdot 2}}{2\cdot (-32)}=\frac{\pm \sqrt {256} }{4}=\frac{\pm 16}{4}$, also x₁ = -4 und x₂ = 4.
Diese Aufgabe hätte man auch ohne Lösungsformel lösen können.
2x² - 32 = 0 | +32 --> 2x² = 32 | :2 --> x² = 16 also x₁ = -4 und x₂ = 4

2. 5x² + 15x = 0
5x ausklammern 5x(x + 3) = 0 liefert x₁ = -3 und x₂ = 0
Die Lösungsformel mit a = 5, b = 15, c = 0 liefert $x_{1,2}=\frac{-15 \pm \sqrt {15^2 - 4 \cdot 5 \cdot 0}}{2 \cdot 5}= \frac{-15 \pm \sqrt {15^2}}{10}= \frac{-15 \pm 15}{10}$ und x₁ = -3 ( für - vor der Wurzel) und x₂ = 0 (für + vor der Wurzel).

3. x² + 10x + 25 = 0
Die 2. binomische Formel ergibt x² + 10x + 25 = (x + 5)², also (x + 5)² = 0 und x = -5
Die Lösungsformel mit a = 1, b = 10, c = 25 ergibt sich $x_{1,2}=\frac{-10 \pm \sqrt {10^2-4 \cdot 1 \cdot 25}}{2}=\frac{-10 \pm \sqrt{0}}{2}=\frac{-10}{2}=-5$

4. x² - 11x + 30 = 0
Lösungsformel mit a = 1, b = -11, c = 30 liefert $x_{1,2} = \frac{11 \pm \sqrt{(-11)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 30}}{2}=\frac{11 \pm \sqrt {121 - 120}}{2} = \frac {11 \pm 1}{2}$ und für das - Zeichen x₁ = 5 und für das + Zeichen x₂ = 6
Dies hätte man auch mit der Zerlegung in Linearfaktoren erhalten. Es ist 30 = 5·6. Wegen -11 ist auch 30 = (-6)·(-5) und (-6) + (-5) = -11 hat man die Zerlegung x² - 11x + 30 = (x - 5)(x - 6) und dieses Produkt hat den Wert 0, wenn x₁ = 5 und x₂ = 5 ist.

5. x² + 9 = 0
Fortman die Gleichung um, so erhält man x² = -9. In den reellen Zahlen gibt es keine Zahl, die quadriert -9 ist, also hat die Gleichung keine Lösung.
Lösungs

Diese fünf Beispiele zeigen, dass die Lösungsformel immer geht, die Gleichungen aber auch einfacher lösbar sind.
Bei den nächsten zwei Beispielen kommt man nur mit der Lösungsformel zum Ziel.

6. x² - 11x - 30 = 0
Lösungsformel mit a = 1, b = -11, c = -30 liefert $x_{1,2}=\frac{11 \pm \sqrt {(-11)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-30)}}{2} = \frac{11 \pm \sqrt {121+120}}{2} = \frac {11 \pm \sqrt {241}}{2}$ und $x_1 = \frac{11 - \sqrt {241}}{2}$ und $x_2 = \frac{11 + \sqrt {241}}{2}$ .

7. 6x² - 11x -10 = 0
Lösungsformel mit a = 6, b = -11, c = -10 liefert $x_{1,2}=\frac{11 \pm \sqrt {(-11)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-10)}}{2 \cdot 6} = \frac{11 \pm \sqrt {121+240}}{12} = \frac {11 \pm \sqrt {361}}{12} = \frac{11 \pm 19}{12}$ und $x_1 = \frac{-8}{12} = -\frac{2}{3}$ und $x_2 = \frac{30}{12}=2,5$ .

8. x² + 33 - 14x = 0
Hier bringen wir diese quadratische Gleichung erst auf die übliche Form x² - 14x + 33 = 0. Dann ist a = 1, b = -14, c = 33 und D = (-14)² - 4·1·33 = 64 und $x_{1,2}=\frac {-b \pm \sqrt D}{2a} =\frac{14 \pm \sqrt {64}}{2}=\frac{14 \pm 8}{2}$. Also x₂ = 3 und x₂ = 11.

  Aufgabe 5

1. Bestimme die Lösungen
a) x² - 16 = 0
b) x² + 14x - 207 = 0
c) x² - 12 x = 64
d) x² - 10x - 56 = 0
e) y² + 11y - 50,75= 0
f) -y² - 13y = 0
g) 120x - 5x² = 640

2. Bearbeite die Aufgaben

[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

1a) x₁ = -4, x₂ = 4
b) x₁ = -23, x₂ = 9
c) übliche Form: x² - 12x - 64 = 0, x₁ = -4, x₂ = 16
d) x₁ = -4, x₂ = 14
e) y₁ = -3,5, y₂ = 14,5
f) y₁ = -13, x₂ = 0
g) übliche Form -5x² + 120x - 640 = 0 oder wen das - vor dem quadratischen Term stört 5x² - 120x + 640 = 0, x₁= 8, x₂ = 16

2. Bei diesen Aufgaben wird die "pq-Formel" verwendet. p und q nimmt man, wenn a = 1 ist, dann ist b = p und c = q. Die Lösungsformel ist dann $x_{1,2} = \frac{-p \pm \sqrt{p^2-4q}}{2}$.

  Aufgabe 6

Bestimme die Nullstellen der Funktion f mit
a) f(x) = x² + 3x - 22,75
b) f(x) = 1,5x² + 2x - 7,5
c) $f(x)=-\frac{1}{6}x^2 + \frac{1}{3}x+1$

[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

a) x₁ = -6,5, x₂ = 3,5
b) x₁ = -3, x₂ = 5/3
c) x₁ = $1-\sqrt 7$, x₂ = $1 + \sqrt 7$

Du kannst die Gleichung $-\frac{1}{6}x^2 + \frac{1}{3}x+1=0$ mit -6 durchmultiplizieren, dann hast du keine Brüche dabei und musst diese Gleichung x² - 2x -6 = 0 lösen.

Der Term b² - 4ac unter der Wurzel heißt Diskriminante und gibt an wie viele Lösungen die Gleichung hat. Es gibt nur eine Lösung, wenn b² - 4ac ≥ 0 ist. Falls b² - 4ac < 0 ist, dann hat die quadratische Gleichung keine Lösung, da in den reellen Zahlen unter einer Wurzel keine negative Zahl stehen darf.

Merke b2 - 4ac ist die Diskriminante D der quadratischen Gleichung ax2 + bx + c = 0. D = b2 - 4ac Ist D < 0, so hat die quadratische Gleichung keine Lösung. Ist D = 0, so hat die quadratische Gleichung eine Lösung $x_0 = -\frac{b}{2a}$. Ist D ≥ 0, so hat die quadratische Gleichung zwei Lösungen $x_1 = \frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ und $x_2 = \frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$.

  Aufgabe 7

Bestimme mit Hilfe der Diskriminante D = b² - 4ac die Anzahl der Lösungen der quadratischen Gleichungen:
a) 2x² - 32 = 0
b) 5x² + 15x = 0
c) x² + 10x + 25 = 0
d) x² - 11x + 30 = 0
e) x² + 9 = 0
f) x² - 11x - 30 = 0
g) 6x² - 11x -10 = 0

[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

a) a = 2, b = 0, c = -32, D = 0² - 4·2·(-32) = 256 > 0, also zwei Lösungen
b) a = 5, b = 15, c = 0, D = 15² - 4·5·0 = 225 > 0, also zwei Lösungen
c) a = 1, b = 10, c = 25, D = 10² - 4·1·25 = 0, also eine Lösung
d) a = 1, b = -11, c = 30, D = (-11)² - 4·1·30 = 1 > 0, also zwei Lösungen
e) a = 1, b = 0, c = 9, D = 0² - 4·1·9 = -36 < 0, also keine Lösung
f) a = 1, b = -11, c = -30, D = (-11)² - 4·1·(-30) = 241 > 0, also zwei Lösungen

e) a = 6, b = -11, c = -10, D = (-11)² - 4·6·(-10) = 361 > 0, also zwei Lösungen

  Aufgabe 8

Ermittle für die quadratische Gleichung 2x² - 4x + k = 0 die Diskriminante D.
Finde heraus für welchen Wert / welche Werte von k die Gleichung eine Lösung / zwei Lösungen oder keine Lösung hat.

[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

D = (-4)² - 4·2·k = 16 - 8k
Es ist D = 0 für k = 2, also hat die Gleichung für k = 2 genau eine Lösung.
Ist k > 2, so ist D < 0 und die Gleichung hat keine Lösung.

Ist k < 2, so ist D > 0 und die Gleichung hat zwei Lösungen.