M11 Aufgabe zu dreimensionalem Koordinatensystem

Buch S. 88 / 1

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F liegt in der x₁x₂-Ebene (x₃-Koordinate ist 0) und hat die Entfernung 5 zum Ursprung.
E liegt auf der x_x-Achse und hat die Entfernung 4 zum Ursprung.
R liegt auf der x₃-Achse und hat die Entfernung 8 zum Ursprung.
M liegt in der x₂x₃-Ebene und hat die Entfernung $\sqrt {13}$ zum Ursprung.
A liegt in der x₁x₃-Ebene und hat die Entfernung $\sqrt {10}$ zum Ursprung.
T liegt auf der x₁-Achse und hat die Entfernung 5 zum Ursprung.

A ist dem Ursprung am nächsten und R am weitesten entfernt.

Buch S. 88 / 4

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a) Die Punkte P liegen wegen x₃=0 in der x₁x₂-Ebene. Die x₁-Koordinate ist a, die x₂Koordinate ist 2a. Eretzt man nun in der x₂-Koordinate a durch x₁, so ist x₂ = 2x₁. Mit den Bezeichnungen der Mittelstufe ist dies y = 2x, also in der x₁x₂-Ebene die Gerade mit der Gleichung x₂ = 2x₁.

b) Die Punkte P liegen, da x₁=0 ist, in der x₂x₃-Ebene. Ersetzt man hier bei x₃=x² a durch x₂, so ist x₃=x₂². Dies ist in der x₂x₃-Ebene eine Normalparabel.

c) Die Punkte P liegen wegen x₁=0 in der x₂x₃-Ebene. Ersetzt man in x₃= 1/a a durch x₂ so erhält man $x_3=\frac{1}{x_2}$. Dies ist in der x₂x₃-Ebene eine Hyperbel.

d) Die Punkte P liegen wegen x₂=0 in der x₁x₃-Ebene. Ersetzt man in x₃=2a-1 a durch x₁ so erhält man x₃=2₁-1. Dies ist in der x₁x₃-Ebene eine Gerade.

Buch S.89 / 5

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R(2;-2;0), H(2;2;0), A(-2;2;0), E(-2;-2;0) T((2;-2;4), H(2;2;4), A(-2;2;4), E(-2;-2;4), S(0;0;7)
V = V_Würfel + V_Pyramide = 4³ + 1/2· 4² ·3=80 (VE)

b) S(4;-4;0), T(4;4,0), E(0;4;0), V(0;-4;0), I(0;-4,3), N(0;4;3)
S^*(-4;4;0), T^*(-4;4;0)
O = 8·8 + 2·(8·5) + 2·(0,5·(8·3))=168 (FE)

V = 0,5·8·3·8 96

Buch S. 89 / 7

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Jede Kante hat die Länge 6.

$V=\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}\cdot 6 \cdot 3 \sqrt 3 \cdot 2 \sqrt 6 = 18 \sqrt 2 \approx 25,46$
Die Höhe des Tetraeder hat die Länge $2 \sqrt 6$, da die Punkte R I und S in der x₁x₂-Ebene liegen und der Abstand von S von der x₁x₂-Ebene ist seine x₃-Koordinate.

$O \approx 62,85$

Buch S. 89 / 9

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a) A(0;-4;0), R(-4;0,0), L(0;24;0), T(-4;20;0), I(0;20;10)

b) $\alpha = 68^o$, $V = ( \frac{160\pi}{3}+800) \cdot (5m)^3 \approx (167,6 +800) \cdot (5m)^3 = 120944 m^3$