M11 Anwendungen und Aufgaben zum Rechnen mit Vektoren
In den folgenden Bildern sind die Vektoren ohne Vektorpfeil angegeben. Leider macht GeoGebra das nicht.
Die Strecke [AB] hat einen Mittelpunkt M, dessen Ortsvektor ist .
Merke:
Der Ortsvektor ![]() |
Wie kommt man vom Ursprung zu M?
Man geht zuerst mit dem Vektor zum Punkt A und dann die Hälfte der Strecke [AB], dies geht mit dem Vekor
. Also insgesamt
.
, also M(3,5;3,5;3,5)
![\vec m = \frac{1}{2} \left [ \left ( \begin{array}{c} -1 \\\ 2 \\\ 3 \end{array}\right) + \left ( \begin{array}{c} 6 \\\ 0 \\\ -4 \end{array}\right) \right ] = \frac{1}{2} \left ( \begin{array}{c} 5 \\\ 2 \\\ -1 \end{array}\right) = \left ( \begin{array}{c} 2,5 \\\ 1 \\\ -0,5 \end{array}\right)](/images/math/f/3/0/f306226783f22a7c9c91ce329df9c42e.png)
Ein ähnliches Ergebnis erhält man für den Schwerpunkt S eines Dreiecks mit den Eckpunkten A, B, C.
Merke:
Der Schwerpunkt S eines Dreiecks mit den Eckpunkten A, B, C und deren Ortsvektoren ![]() |
Wie kommt man vom Urpsung zu S?
Sind Ma, Mb und Mc die Mittelpunkte der Dreiecksseiten a, b, c.
Man geht zurest mit dem Vektor zum Punkt A, dann von A nach Mb und von Mb nach S, also
Nun ist und
Damit ist
Hinweis: erhält man aus dem Strahlensatz!
, also S(4;3;2).
Die Seitenlängen des Dreiecks sind:
![\bar {AB} = \sqrt{5^2+3^2+1^2}=\sqrt{35}](/images/math/c/5/c/c5c42369a03fad62ea8f58c40498059e.png)
![\bar {BC}=\sqrt {(-1)^2+(-3)^2+(-5)^2}=\sqrt{35}](/images/math/0/c/8/0c8b596a9d135e02c17eebb54d9bc8d1.png)
![\bar {AC}=\sqrt{4^2+0^2+-4^2}=\sqrt{32}](/images/math/b/6/6/b66cf76cf4859785a25dd5bbafe6a23f.png)