M10 Exponentielles Wachstum und Logarithmen

Im März 2020 wurde der erste Lockdown zur Corona-Pandemie mit der exponentiellen Zunahme der Infizierten und Kranken begründet. Was heißt aber nun exponentielle Zunahme?

Was ist nun anders?
In der 8. Klasse hat man das lineare Wachstum kennengelernt. Ein Anfangsbestand t erfährt pro Zeiteinheit eine Zunahme um m. y kennzeichnet den Gesamtbestand nach x Zeiteinheiten.

x	0	1	2	3	4	5
y	t	t+m	t+2m	t+3m	t+4m	t+5m

Es ergibt sich die Formel y = mx + t , der Graph ist eine Gerade mit y-Abschnitt t und Steigung m.

Beim exponentiellen Wachstum ist es ähnlich, nur dass nun nach jeder Zeiteinheit der Bestand mit dem Wachstumsfaktor a multipliziert wird. Während jeder Zeiteinheit ändert sich der Bestand um den gleichen Faktor a. Man hat dann diese Tabelle.

x	0	1	2	3	4	5
y	b	b·a	b·a2	b·a3	b·a4	b·a5

Es ergibt sich die Formel y = b·ax mit b ist der Anfangsbestand und a ist der Wachstumsfaktor.

Ist a > 1, dann liegt eine exponentielle Zunahme vor, ist a < 1 dann eine exponentielle Abnahme.

In diesem Video wird das exponentielle Wachstum zuerst wieder am Schachproblem mit den Reiskörner begonnen und dann bei Corona betrachtet. Viele Aussagen und Bilder zu Corona werden euch sicher aus diversen Informationssendungen bekannt vorkommen.

  Aufgabe 1

Nenne Beispiele für exponentielles Wachstums.

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Algen- und Bakterienwachstum, Zinseszins, Koffeinabbau im Blut

  Aufgabe 2

Buch S. 86 / 2

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a) lineares Wachstum
b) lineares Wachstum (Winkelsumme im n-Eck = (n-2)180°)
c) exponentielles Wachstum
d) lineares Wachstum
e) exponentielles Wachstum

f) lineares Wachsstum

Merke: Vervielfacht sich ein Bestand pro Einheit jeweils um den gleichen Faktor a, dann spricht man von einem exponentiellen Wachsstum. Die Formel für exponentielles Wachstum ist $y = b\cdot a^x$, dabei ist b der Anfangsbestand (für x=0) und a der Wachstumsfaktor.

Wenn man den Anfangsbestand b hat und er nimmt jeweils pro Einheit von x um 50% zu, dann ist der Wachstumsfaktor 1,5.
Nach einer Einheit ist y = b·1,5, hat also um 50% zugenommen. Dies ist nun der Ausgangswert für die nächste Einheit. Nach dieser Einheit ist der Bestand y = (b·1,5)·1,5=b·1,5². Dies ist nun der Ausgangswert für die nächste Einheit. Nach der dritten Einheit ist der Bestand y = (b·1,5²)·1,5 = b·1,5³. usw.
Wenn die Zunahme um 50% (= 0,5) ist, dann ist der Wachstumsfaktor 1 + 0,5 = 1,5.

Ist die Zunahme pro Einheit 30%, dann ist der Wachstumsfaktor a = 1,3. Bei Zunahme ist a > 1.

Bei einer Abnahme um 20%, verringert sich der Anfangsbestand. Nach der ersten Einheit sind nur noch 80% vorhanden. Der Anfangsbestand b ist dann y = b·0,8. Dies ist wieder der Ausgangswert für die nächste Einheit. Nach der zweiten Einheit ist deren Anfangsbestand b·0,8 dann nur noch y = (b·0,8)·0,8 = b·0,8<sup<2</sup>. Dies ist dann der Ausgangswert für die nächste Einheit. Nach der dritten Einheit ist der Bestand y = (b·0,8²)·0,8 = b·0,85³. usw.
Wenn die Abnahme pro Einheit 20% (=0,2) ist, dann ist der Wachstumsfaktor 1 - 0,2 = 0,8.

Ist die Abnahme pro einheit 30%, dann ist der Wachstumsfaktor a = 0,7. Bei Abnahme ist a < 1.

Merke Der Wachstumsfaktor a ist stets eine positive reelle Zahlenm, also a > 0. Hat man eine Zunahme, dann ist a > 1, hat man eine Abnahme, dann ist a < 1.

Beispiel: Du bekommt von Onkel Franz ein Sparbuch mit 1000€. Pro Jahr wird dir dein Kapital mit 5% verzinst.
Nach dem ersten Jahr hast du dann 1000€ + 1000€·5%=1000€ + 1000€*0,05 = 1000€ + 50€.
Dies ist jetzt das Kaptial für das zweite Jahr. Nach dem zweiten Jahr hast du dann 1050€ + 1050€·0,05 = 1050€·1,05 = 1102,50€
Nach dem dritten Jahr erhältst du wieder Zinsen und dein Kapital ist dann 1102,50€ + 1102,50€·0,5 = 1102,50€·1,5 = 1157,625€. (Der halbe Cent wird aufgerundet!). usw.
Für die ersten 5 Jahre schaut das so aus:

Das ist jetzt nicht aufregend. Bei linearem Wachstum hättest du nur 1000€ + 5·50€ = 1250€. Da ist dieses exponentielle Wachstum schon etwas besser. Man sieht den Effekt des exponentiellen Wachstums besser, wenn man weiter fortschreitet.

Hier sieht man im Diagramm deutlich wie das Kapital doch deutlich größer wird. Nach 30 Jahren hättest du mit linearem Wachstum 2500€. Bei exponentiellem Wachstum ist es doch deutlich mehr.

  Aufgabe 3

Buch S. 87 / 3, 4

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Das sind zwei Beispiele für exponentielle Zunahme.
87/3
a) Der Wachstumsfaktor ist $a = \frac{2,070}{2,000}=1,035$
Die Anzahl nimmt pro Minute um 3,5% zu.
b) Du erhältst den ersten Wert von N für t = 1, indem du den Wert N(0) mit 1,035 multiplizierst.
Du erhältst den Wert N(2) von N für t = 2, indem du den Wert N(1)=2,070 mit 1,035 mulitplizierst.
du erhälst den WErt N(3) von N für t = 3, indem du den Wert N(2)=2,1425 mit 1,035 multiplizierst.
....
Interessant wird es für t = 20, t = 30, t = 40.
Hier erhältst du den Wert N(20) von N für t = 20, indem du den Wert N(0) mit 1,035²⁰ multiplizierst.
Den Wert N(30) erhältst du, indem du den Wert N(0) mit 1,035³⁰ multiplizierst.

Die Gleichung für N(t) ist N(t)=N(0)·1,035t 

Aus dem Diagramm liest man ab, wenn man bei 4 auf der N-Achse waagrecht nach rechts geht und bei dem eingezeichneten Punkt, den man dann trifft nach unten, dass sich der Anfangsbestand nach 20 Minuten etwa verdoppelt hat. Nach 40 Minuten hat er sich vervierfacht.

87/4
a)
b) $N(t)=4\cdot 10^6 \cdot 1,5^t$
c) $N(0,5)=4\cdot 10^6 \cdot 1,5^{0,5}=4,90\cdot 10^6$
$N(1,5)=4\cdot 10^6 \cdot 1,5^{1,5}=7,35\cdot 10^6$
$N(2,5)=4\cdot 10^6 \cdot 1,5^{2,5}=11.02\cdot 10^6$
d) In einer ersten halben Stunden hat die Bakterienkultur um 0,9 Millionen zugenommen, das sind $\frac{0,9\cdot 10^6}{4\cdot 10^6}=0,225 = 22,5%$.
In der zweiten halben Stunde hat die Bakterienkultur um 1,1 Millionen zugenommen, das sind $\frac{1,1\cdot 10^6}{4,9\cdot 10^6}=0,225 = 22,5%$.
In der dritten halben Stunde hat die Bakterienkultur um 1,35 Millionen zugenommen, das sind $\frac{1,35\cdot 10^6}{6\cdot 10^6}=0,225 = 22,5%$.
In der vierten halben Stunde hat die Bakterienkultur um 1,65 Millionen zugenommen, das sind $\frac{1,65\cdot 10^6}{7,35\cdot 10^6}=0,225 = 22,5%$.
In der fünften halben Stunde hat die Bakterienkultur um 2,02 Millionen zugenommen, das sind $\frac{2,02\cdot 10^6}{9\cdot 10^6}=0,224 = 22,4%$.
In der sechsten halben Stunde hat die Bakterienkultur um 2,48 Millionen zugenommen, das sind $\frac{2,48\cdot 10^6}{11,02\cdot 10^6}=0,225 = 22,5%$.
e)
Zum Ablesen der Verdoppelungszeit nimmt man einen Wert her z.B. für t=0h und N(0)=4·10⁶ und sucht im Diagramm den Zeitpunkt t₁, wenn N(t₁=8·10⁶ ist. (schwarz im Diagramm) Man liest etwa für die Verdoppelungszeit T=1,8h ab.

Der braune Weg ist für die Verdoppelung von 5 Millionen auf 10 Millionen und man liest ab T = 2,25h - 0,5h = 1,75h.
Der grüne Weg ist für die Verdoppelung von 10 Millionen auf 20 Millionen und man liest ab T = 4h - 2,25h=1,75h.
f) Hier hat man zwei Möglichkeiten. Entweder man erweitert das Diagramm nach links und liest aus dem Diagramm den Wert für t = - 0,5h ab.
N(-0,5h)=3,3·10⁶

Oder man rechnet mit der obigen Formel $N(-0,5)=4\cdot 10^6\cdot 1,5^{-0,5}=3,266\cdot 10^6$

Merke Der Zeitraum in dem sich ein Bestand verdoppelt heißt Verdoppelungszeit. Beim exponentiellen Wachstum ist die Verdoppelungszeit stets gleich.

  Aufgabe 4

Buch S. 87 / 5

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Dies ist jetzt ein Beispiel für exponentielle Abnahme.
Hinweis: 1dm = 10cm
a) Pro 1dm nimmt die Beleuchtungsstärke um 20% ab, d.h. in 10cm Tiefe ist nur noch 80% des Lichtes an der Oberfläche vorhanden, also 1·0,8=0,8. Nach dem nächsten 1dm ist man in 2cm Tiefe und dort ist dann nur noch 80% des Lichts von 10cm Tiefe, also 0,8·0,8 = 0,64 = 64% vorhanden, usw.
x gibt die Eintauchtiefe in dm an, y die Beleuchtungsstärke in der Tiefe x bezogen auf die Beleuchtungsstärke an der Oberfläche, also eine relative Beleuchtungsstärke in der Tiefe x.
Das Diagramm dazu schaut so aus.

b)$y = 1 \cdot 0,8^x$

c) Aus dem Diagramm
Datei:87-5 2b.png
kann man ablesen, dass in 3dm Tiefe die Beleuchtungsstärke auf die Hälfte (schwarz),in 6dm Tiefe auf ein Viertel (rot) und in 9,7dm auf ein Achtel (grün) abgenommen hat.
Aus der Tabelle kann man für die Abnahme auf die Hälfte nach etwas mehr als 3dm erfolgt, die Abnahme auf ein Viertel nach etwas mehr als 6dm und auf ein Achtel mehr als 9dm.

Wenn man es ausrechnet, erhält man, dass in 3,11dm Tiefe die Beleuchtungsstärke auf die Hälfte, in 6,21dm Tiefe auf ein Viertel und in 9,32dm Tiefe auf ein Achtel abgenommen hat. (Rechnerisch könnt ihr das noch nicht lösen!)