Ph9 Der freie Fall

  Aufgabe 1

1. Was versteht man unter einem freien Fall?
2. Welche Kraft wirkt beim freien Fall?
3. Wie groß ist die Beschleunigung beim freien Fall?
4. Wie lauten die Bewegungsgleichungen für den freien Fall?
5. Wie berechnet man die verbleibende Höhe h bei einem Fall aus der Höhe h_o?
6. Welche physikalische Größe spielt beim freien Fall keine Rolle?
7. Unter welchen Bedingungen fallen tatsächlich alle Körper gleich schnell?

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1. Der freie Fall ist eine Bewegung mit konstanter Beschleunigung ohne Berücksichtigung der Luftreibung.
2. Beim freien Fall wirkt die Erdanziehungskraft.
3. Die Beschleunigung beim freien Fall ist die Erdbeschleunigung $g = 9,8\frac{m}{s^2}$.
4. $v = gt$ und $s=\frac{1}{2}gt^2$.
5. $h=h_o-\frac{1}{2}gt^2$.
6. Die Masse m des fallenden Körpers spielt keine Rolle. Galileo Galilei zeigte, dass alle Körper gleich schnell fallen.
7. Im Vakuum fallen alle Körper gleich schnell, da dort keine Luftwiderstandskraft wirkt.

Der Luftwiderstand kann auch vernachlässigt werden, wenn die Fallhöhe sehr klein ist.

Merke Der freie Fall ist eine Bewegung mit konstanter Beschleunigung (ohne Berücksichtigung des Luftwiderstandes). Die Beschleunigung ist die Erdbeschleunigung (Ortsfaktor) und beträgt auf der Erdoberfläche $g = 9,8\frac{m}{s^2}$. Die Bewegungsgleichungen sind für einen freien Fall aus der Höhe ho $v(t) = gt$ und $h(t) = h_0 - \frac{1}{2}gt^2$

  Aufgabe 2

Zwischen einem Ball und der Erde wirken Gravitationskräfte. Der Ball wird von der Erde angezogen, die Erde wird aber auch vom Ball angezogen.
a) Was weiß man über die beiden Kräfte F₁ mit der die Erde den Ball anzieht und F₂ mit der der Ball die Erde anzieht?
b) Wie groß ist die Beschleunigung, die auf den Ball auf der Erdoberfläche wirkt?
Was bewirkt dies beim Fallen des Balles?
c) Wie groß ist die Beschleunigung $a$, die auf die Erde wirkt und was bewirkt sie?

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a) Nach dem 3. Newtonschen Gesetz sind F₁ und F₂ Kraft und Gegenkraft. Die beiden Kräfte sind gleich groß, aber entgegengesetzt gerichtet.

b) Die Beschleunigung, die der Ball erfährt ist $g=9,8\frac{m}{s^2}$. Diese Beschleunigung ist überall auf der Erdoberfläche gleich.
Die Erdbeschleunigung bewirkt, dass der Ball beim Fallen schneller wird.
b) Wegen $F = m\cdot a$ ist die Beschleunigung, die auf die Erde wirkt $a = \frac{F}{m}$.

Wegen der riesig großen Masse der Erde ist die Beschleunigung praktisch gleich $a = 0 \frac{m}{s^2}$.

  Aufgabe 3

Ein Stein fällt von der Höhe
a) h_o = 5m
b) h_o = 10m
c) h_o = 20m
Wie lange dauert der Fall und mit welcher Geschwindigkeit kommt der Stein am Boden auf?

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Die Bewegungsgleichung $h(t) = h_0 - \frac{1}{2}gt^2$ mit $h(t) = 0m$ kann man nach t auflösen. Es ist $h_0 = \frac{1}{2}gt^2$ und $t = \sqrt {\frac{2h_0}{g}}$.
a) t = 1,01s
b) t = 1,43s
c) t = 2,02s
Mit diesen Zeiten kann man mit der Formel $v = gt$ die Auftreffgeschwindigkeit berechnen.
a) $v = 9,9\frac{m}{s}$
b) $v = 14,0\frac{m}{s}$

c) $v = 19,8\frac{m}{s}$

  Aufgabe 4

Buch S. 80 / 3

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80/3 a) $v= gt=9,8\frac{m}{s^2}\cdot 2s=19,6 \frac{m}{s}\approx 71\frac{km}{h}$
Die Durchschnittsgeschwindigkeit ist $v_=\frac{v_{Start}+v_{Ende}}{2}=9,8\frac{m}{s}$.
Die Fallhöhe ist wegen $h(2s)=0m$ durch die Gleichung $0m = h_0-\frac{1}{2}gt^2$ gegeben. Man erhält $h_0=\frac{1}{2}gt^2=\frac{1}{2}\cdot 9,81\frac{m}{s^2}\cdot (2s)^2 = 19,6m \approx 20m$
Die Aussage von Hans ist wohl übertrieben. Er spricht vielleicht von "gefühlten" 2s.

b) $v=4,5\frac{m}{s}$ ergibt für $t = \frac{v}{g}=\frac{4,5\frac{m}{s}}{9,8\frac{m}{s^2}}=0,46s$

und für $h_0=\frac{1}{2}gt^2=\frac{1}{2}\cdot 9,8\frac{m}{s^2}\cdot (0,46s)^2= 1m$

  Aufgabe 5

Wie tief ist der Brunnen?

Beim Wandertag geht es nach Nürnberg und bei einer Führung in der Nürnberger Burg kommt man auch zum Brunnenhaus und kann sich den "tiefen Brunnen" ansehen. Ein Theo lässt einen Stein in den Brunnen fallen und stoppt 3,44s für die Zeit, bis er das Auftreffen des Steins hört.
a) Theo berechnet die Tiefe des Brunnens mit der Formel $h(t) = \frac{1}{2}gt^2$. Welchen Wert für die Tiefe des Brunnens erhält er?
b) Martha wendet zu Theos Rechnung aber ein: "Der Wert kann nicht stimmen, denn er berücksichtigt nicht die Zeit, die der Schall für die Strecke vom Boden des Brunnens bis zu Theos Standort benötigt. Die Gesamtzeit setzt sich aus der Fallzeit des Steins und der Zeit, die der Schall nach oben braucht zusammen."
Wie tief ist der Brunnen, wenn man die Zeit des Schalls mit berücksichtigt?
Die Geschwindigkeit des Schalls in Luft ist $v_{Schall}\approx 340\frac{m}{s}$.

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a) Für den freien Fall eines Körpers kennt man aus der Physik die Formel $h = \frac{1}{2}gt^2$. Dabei ist g die Erdbeschleunigung $g = 9,81\frac{m}{s^2}$.
Setzt man die gemessene Zeit t = 3,44s in die Gleichung für h, dann erhält man $h=\frac{1}{2}\cdot 9,81\cdot {m}{s^2}\cdot (3,44s)^2=58m$.

b) Sophie hat mit ihrem Einwand natürlich Recht. Die gemessene Zeit setzt sich zusammen aus der

• Fallzeit $t_{Stein}$des Steins und
  
• der Zeit $t_{Schall}$, die der Schall vom Boden bis zum Standort
  

braucht. Es ist $3,44s = t_{Stein} + t_{Schall}$.
Der Stein und der Schall legen beide jeweils den Weg $h$ zurück. Dabei macht der Stein eine Bewegung mit konstanter Beschleunigung und der Schall eine Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit.
Der Stein wird mit konstanter Beschleunigung beschleunigt, dabei ist der zurückgelegte Weg $h = \frac{1}{2}gt_{Stein}^2$.
Der Schall macht eine Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit, dabei ist der zurückgelegte Weg $h=c_{Schall}t$, wobei $c_{Schall} \approx 340\frac{m}{s}$ ist.
Da in beiden Fällen der gleiche Weg $h$ zurückgelegt wird, kann man die beiden Gleichungen gleich setzen.
$\frac{1}{2}gt_{Stein}^2=c_{Schall}t$
Dies ist eine Gleichung mit zwei Unbekannten $t_{Stein}$ und $t_{Schall}$.
Von Sophia wissen wir, dass $3,44s = t_{Stein} + t_{Schall}$ ist. Das ist die zweite Gleichung.
Man hat ein Gleichungssystem mit zwei Unbekannten:
(1) $\frac{1}{2}gt_{Stein}^2=c_{Schall}t$
(2) $3,44s = t_{Stein} + t_{Schall}$
Löst man (2) nach $t_{Schall}$ auf und setzt den erhaltenenen Term in (1) ein, dann hat man
$\frac{1}{2}gt_{Stein}^2=c_{Schall}(3,44s - t_{Stein})$
Man erhält eine quadratische Gleichung für $t_{Stein}$: $\frac{1}{2}gt_{Stein}^2+c_{Schall}t_{Stein}-c_{Schall }\cdot 3,44s=0$
Mit der Lösungsformel erhält man $t_{Stein 1,2}=\frac{-c_{Schall} \pm \sqrt {(c_{Schall})^2+4\cdot \frac{1}{2}g\cdot c_{Schall}\cdot 3,44s}}{2\cdot \frac{1}{2}g}= \frac{-340\frac{m}{s} \pm \sqrt {(340\frac{m}{s})^2+4\cdot \frac{1}{2}\cdot 9,81 \frac{m}{s^2} \cdot 340\frac{m}{s}\cdot 3,44s}} {2\cdot \frac{1}{2}9,81\frac{m}{s^2}}$
Das -Zeichen vor der Wurzel kann man weglassen, da sonst im Zähler etwas Negatives stehen würde und damit die Zeit negativ wäre. Dies kann nicht sein. Also kann man gleich nur mit dem + rechnen. Setzt man die Werte ein, dann erhält man <matsh>t_{Stein}=3,284s
und für den Schall $t_{Schall}=0,156s$.
Damit erhält man für die Tiefe des Brunnens

• bei der Bewegung mit konstanter Beschleunigung des Steins $h=\frac{1}{2}\cdot 9,81\frac{m}{s^2}\cdot (3,284s)^2=52,9m$
  
• bei der Bewegung des Schalls mit konstanter Geschwindigkeit $h=340\ frac{m}{s}\cdot 0,156s=53,0m$.