M11 Verkettung von Funktionen

Die Funktion $f:x \rightarrow \sqrt {x^2+1}$ ist eine in ganz R definierte Funktion.

Am Graph sieht man, dass im Punkt (0;1) eine waagrechte Tangente y = 1 vorhanden ist. Bei x = -20 oder x = -10 ist die Steigung -1 und bei x = 10 und x = 20 ist die Steigung 1.

Doch wie soll man $\sqrt {x^2+1}$ ableiten?

Dazu müssen wir die Verknüpfung zweier Funktionen um die Verkettung erweitern. Bisher kennen wir als Verknüpfung zweier Funktiongen f und g

• die Summe f + g
  
• die Differenz f - g
  
• die Multiplikation f · g und
  
• die Division $\frac{f}{g}$

Nun kommt noch die Verkettung $f \circ g$ dazu.

Merke: Bei der Verkettung (Hintereinanderausführung) $u \circ v$ der Funktionen $u$ und $v$ wird zuerst die Funktion $v$ ausgeführt und danach die Funktion $u$. Es ist $u \circ v: x \rightarrow u(v(x))$.

Für unser Beispiel $f:x \rightarrow \sqrt {x^2+1}$ betrachten wir die Funktionen $u:x\rightarrow \sqrt x$ und $v:x\rightarrow x^2+1$. Es ist $u(x) = \sqrt x, v(x) = x^2+1$.
Setzt man nun $v(x)$ an die Stelle von $x$ in der Funktion $u$, dann hat man $u \circ v (x) = u(v(x))=\sqrt {x^2+1}$ und $f$ ist die Verkettung $u \circ v$ der Funktionen $u$ und $v$, also $f = u\circ v$.

Merke: Bei der Verkettung $u \circ v$ der Funktionen $u$ und $v$, die durch $u \circ v(x) = u(v(x))$ gegeben ist, heißt $u$ die äußere Funktion und $v$ die innere Funktion. Die innere Funktion ist das Argument der äußeren Funktion.

Als neue Verknüpfung für die Funktionen $f$ und $g$ wurde die Verkettung $f \circ g$ eingeführt. Dies geht natürlich genauso, dann übernimmt $g$ die Rolle der inneren Funktion und $f$ die Rolle der äußeren Funktion.
Im folgenden Video wird auch die Schreibweise $f \circ g$ dargestellt.

Beispiele: 1. Für die Funktionen $u$ mit $u(x)=x^2 + 5$ und $v$ mit $v(x)=3x -2$ ist

• $u \circ v$ durch $u(v(x))=(3x-2)^2 +5$ gegeben. (In der Funktion u ersetzt man x durch den Term von v(x).)
  
• $v \circ u$ durch $v(u(x))=3(x^2+5) -2$. (In der Funktion v ersetzt man x durch den Term von u(x).)
  

Natürlich vereinfacht man noch die Terme. Es ist dann $u(v(x))=(3x-2)^2 +5=9x^2-12x + 9$ und $v(u(x))=3(x^2+5) -2=3x^2+13$.

Insbesondere sieht man, dass die Verkettung nicht kommutativ ist. $u \circ v(x) \ne v \circ u(x)$.

2. Für die Funktionen $u$ mit $u(x)=2 + 3x$ und $v$ mit $v(x)=\frac{1}{x^2+1}$ ist

• $u \circ v$ durch $u(v(x))=2 + \frac{3}{x^2+1}$ gegeben. (In der Funktion u ersetzt man x durch den Term von v(x).)
  
• $v \circ u$ durch $v(u(x))=\frac{1}{(2+3x)^2 +1}$. (In der Funktion v ersetzt man x durch den Term von u(x).)
  

3. Für die Funktionen $u$ mit $u(x)=\sqrt x$ und $v$ mit $v(x)=\frac{3}{x-2}$ ist

• $u \circ v$ durch $u(v(x))=\sqrt {\frac{3}{x-2}}$ gegeben.
  
• $v \circ u$ durch $v(u(x))=\frac{3}{\sqrt x -2}$.

  Aufgabe 1

Buch S. 130 / 1

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a) $f(x) = u(v(x))=\frac{1}{2x+4}$ und $g(x)=v(u(x))=\frac{2}{x} +4$

b) $f(x) = u(v(x))=cos[(x+1)^2]$ und $g(x)=v(u(x))=(cos x +1)^2$

c) $f(x) = u(v(x))=sin(2x^2)$ und $g(x)=v(u(x))=[sin(2x)]^2$

d) $f(x) = u(v(x))=2^(x-1)$ und $g(x)=v(u(x))=2^x -1$

e) $f(x) = u(v(x))=\frac{1}{(\sqrt{2x^2})^2}=\frac{1}{2x^2}$ und $g(x)=v(u(x))=\sqrt {2 \left ( \frac{1}{x^2} \right )^2}=\frac{\sqrt 2}{x^2}$

f) $f(x) = u(v(x))=cos(\pi (x+2))$ und $g(x)=v(u(x))=cos(\pi x) +2$

g) $f(x) = u(v(x))=2(2x^2)^2 =8 x^4= v(u(x))=g(x)$

h) $f(x) = u(v(x))=\sqrt {\sqrt{x^2+1}^2+1}= \sqrt{x^2+2}=g(x)$

Oftmals kann man auch eine Funktion $f$ als Verkettung zweier Funktionen $u$ und $v$ schreiben.
1. Die Funktion $f$ mit $f(x)=\sqrt {x^2+1}$ ist die Verkettung $u \circ v$ mit den Funktionen $u$ mit $u(x) = \sqrt x$ und $v$ mit $v(x) = x^2+1$.

2. $f(x)=(1+x)^4$ ist $f(x)= u \circ v(x)$ mit $u(x) = x^4$ und $v(x) = 1+x$.

3. $f(x)=\sqrt {2(x^2+7)}$ ist $f(x)= u \circ v(x)$ mit

• $u(x) = \sqrt x$ und $v(x) = 2(x^2+7)$ oder
  
• $u(x) = \sqrt {2x}$ und $v(x) = x^2+7$.

  Aufgabe 2

Buch S. 130 / 2

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Es ist $f = u \circ v$ mit
a) $u$ mit $u(x) = x^4$ und $v$ mit $v(x) = 1-x$
b) $u$ mit $u(x) = log(x)$ und $v$ mit $v(x) = x^2+1$
c) $u$ mit $u(x) = x^2$ und $v$ mit $v(x) = \frac{x+1}{x-2}$

d) $u$ mit $u(x) = \sqrt x$ und $v$ mit $v(x) = x-1$

  Aufgabe 3

Man muss eventuell auf die Definitionsmenge der Verkettungsfunktion achten und diese neu bestimmen.
Buch S. 131 / 3

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Man hat die Funktionen $u$ mit $u(x) = \sqrt{x+1}$ und $v$ mit $v(x) = x^2-4$. Die Definitionsmenge für $u$ ist D_u = [-1;$\infty$[, die Definitionsmenge für $v$ ist D_v = R.
Die Funktion $f$ mit $f(x)=u(v(x))=\sqrt {x^2-4 +1}=\sqrt {x^2-3}$ hat als Definitionsmenge D_f = $]-\infty;.\sqrt 3]\cup [\sqrt 3;\infty[$.
Die Funktion $g$ mit $g(x)=v(u(x)=(\sqrt {x+1})^2+4=x+1+4=x+2$ hat als Definitionsmenge D_g=[-1;$\infty$[. Hierzu muss man beachten, dass man ja x zuerst in u einsetzt. Da darf man nur Zahlen, die größer oder gleich -1 sind einsetzen. Man erhält für u(x) eine Zahl, die größer oder gleich 0 ist. Diese Zahl u(x) wird dann in v eingesetzt.
Von den Zahlen -2, $-\sqrt 3$, -1, 0, 1, 2, 3 gehören zur

• Definitionsmenge von f die Zahlen -2, $-\sqrt 3$, 2, 3.
  
• Definitionsmenge von G die Zahlen -1, 0, 1, 2, 3.