M11 Aufgaben zu Logarithmus- und Exponentialfunktionen

Buch S. 151 / 4

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151 / 4 Da man nur eine Stammfunktion angeben soll, wird auf + C verzichtet.
a) F(x) = e^x + x
b) F(x) = - e^-x
c) F(x) = 0,5(e^x - e^-x)
d) F(x) = 0,5x² + 2x + e^x+2
e) F(x) = e^1+x
f) F(x) = 2e^0,5x

Sie können dies leicht überprüfen, indem Sie prüfen ob F'(x) = f(x) ist.

Buch S. 152 / 7a

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Es ist P(0;1), Q(2;e²), f'(x) = e^x imd f'(0) = 1 und f'(2) = e².
Gleichung der Tangente t₁ in P: y = x + 1
Gleichung der Tangente t₂ in Q: y = e²·x - e². (t erhält man aus der Gleichung e² = e²·2 - t.)

Den Schnittwinkel der beiden Tangenten erhält man, indem man $\varphi = \varphi_2 - \varphi_1$ bildet, wenn $\varphi_1$ der Schnittwinkel von t₁ mit der Waagrechten im Schnittpunkt und $\varphi_2$ der Schnittwinkel von t₂ mit der Waagrechten im Schnittpunkt ist.
Es ist $tan(\varphi_1) = 1$, also ist $\varphi_1 = 45^o$.
Es ist $tan(\varphi_2) = e^2$, also ist $\varphi_2=82,3^o$
Damit ist $\varphi = \varphi_2 - \varphi_1 = 82,3^o - 45^o = 37,3^o$.

Oder man verwendet die neben der Aufgabe stehende Formel: $tan(\varphi) = \left | \frac{m_2-m_1}{1+m_1m_2} \right| = \left | \frac{e^2 - 1}{1 + 1\cdot e^2} \right |=0,76159...$ ergibt $\varphi = 37,3^o$.

Buch S. 152 / 8

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a) Die Koordinaten des Schnittpunkts S der beiden Graphen erhält man, indem man die Funktionsterme gleich setzt.
$e^{-\frac{x}{2}}=0,5e^{x+1} \qquad |\cdot e^{-(x+1)}$
$e^{-\frac{x}{2}}\cdot e^{-(x+1)}=0,5$
$e^{-\frac{x}{2} - x - 1}=\frac{1}{2}$
$e^{-\frac{3x}{2}}\cdot e^{- 1}=\frac{1}{2} \qquad |\cdot e$
$e^{-\frac{3x}{2}}=\frac{e}{2} \qquad |logarithmieren$
$-\frac{3x}{2} = ln(\frac{e}{2})$
$-\frac{3}{2}x=ln(e) - ln(2)$
$-\frac{3}{2}x=1 - ln(2) \qquad |\cdot (- \frac{2}{3})$
$x = -\frac{2}{3}(1-ln(2))\approx -0,2$

$y = f(-\frac{2}{3}(1-ln(2)) \approx 1,11$, also S(-0,2; 1,11) (näherungsweise, aber genügend genau!)

Den Schnittwinkel zwischen beiden Graphen erhält man, indem man den Schnittwinkel der Tangenten in S an G_f und G_g bestimmt. Dazu muss man nicht die Tangetengleichungen aufstellen. Es reicht, wenn man die Steigungen in S kennt, denn es ist $tan(\varphi) = f'(x_S)$.
Man berechnet $f'(x) = -\frac{1}{2}e^{-\frac{x}{2}}$ und $f'(-\frac{2}{3}(1-ln(2)))\approx -0,55$.
$g'(x)=\frac{1}{2}e^{x+1}$ und $g'(e^((-(2*ln(2)/3-2/3))/2)) \approx 1,11$.
Für $f$ ist $tan(\varphi_1)=-0,55385$ und $\varphi_1 = -28,98^o$ und
für $g$ ist $tan(\varphi_2) = 1,10770$ und $\varphi_2 = 47,93^o$.
Damit ist $\varphi = \varphi_2 - \varphi_1 = 47,93^o - (-28,98^o) = 76,91^o$.

b) Die Tangente in A soll parallel zu einer Geraden h mit Steigung - 0,5 sein. Also ist f'(x_A) = - 0,5.
$- 0,5 = -\frac{1}{2}e^{-\frac{x}{2}} \qquad | \cdot (-2)$
$1 =e^{-\frac{x}{2}} \qquad |logarithmieren$
$ln(1) = -\frac{x}{2}$ ergibt $0 = -\frac{x}{2}$ und $x = 0$.
A(0;1)

Die Tangente in B soll senkrecht zu einer Geraden k mit Steigung -2 sein. Die Tangente in B an G_g hat dann die Steigung 0,5. Also ist g'(x_B) = 0,5.
$0,5=\frac{1}{2}e^{x+1} \qquad |\cdot 2$
$1=e^{x+1} \qquad |logarithmieren$
$0 = x+1$ ergibt $x = -1$

B(-1;0,5)

Buch S. 153 / 14

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Graph 1 gehört zu Funktion f (f ist die einzige Funktion mit D = R⁺. Außerdem kann man den Funktionsterm vereinfachen. Es ist f(x) = 2xe^ln(x)=2x² und der Graph ist eine halbe Parabel.)
Graph 2 gehört zu Funktion d (d hat bei x = 0 eine Polstelle. )
Graph 3 gehört zu Funktion a (e^x wird um den Faktor 2 in y-Richtung gestreckt, ebenso in x-Richtung, also ist der Verlauf fast wie bei der "e-Funktion" durch (0;2).)
Graph 4 gehört zu Funktion b (-e^x ist e^x an der x-Achse gespiegelt und wird um 3 nach oben verschoben.)
Graph 5 gehört zu Funktion c (c ist die einzig verbleibende Funktion mit c(0) = 2.)

Graph 6 gehört zu Funktion e (e hat als einzige Funktion eine Nullstelle bei x = 1.)

Buch S. 152 / 9

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Zuerst zeichnet man den Sachverhalt.

Es ist f'(0) = 1, also ist die Steigung m = 1 der Tangente in (P0;1). Die Tangente hat dann die Gleichung y = x + 1. Sie schneidet die x-Achse in A(-1;0).
Die Normale zur Tangente in P hat dann die Steigung m = -1 und sie hat die Gleichung y = -x +1. Sie schneidet die x-Achse in B(1;0).

Das Dreieck ABP ist ein gleichschenkliges, rechtwinkliges Dreieck. Der Winkel bei P ist 90^o, die Basiswinkel sind jeweils 45^o.