Gebrochen-rationale Funktionen 8
Eine Funktion f ist eine gebrochen-rationale Funktion, wenn ihr Funktionsterm einen Bruch enthält, in dessen Nenner die Variable x vorkommt. |
Die Funktion der indirekten Proportionalität für ist die einfachste gebrochen-rationale Funktion.
Ihr Graph ist eine Hyperbel und besteht aus zwei Hyperbelästen.
Die x-Achse ist eine waagrechte Asymptote, die y-Achse eine senkrechte Asymptote.
Eine Gerade heißt Asymptote zum Funktionsgraf Gf, wenn sich der Funktionsgraph beliebig nahe an die Gerade annähert ohne sie zu berühren. |
Im folgenden Applet ist zuerst die Funktion dargestellt. Es gibt zwei Schieberegler. Damit kannst du den Wert der Parameter und verändern. ist ein Parameter, der im Nenner der Funktion als hinzugefügt wird, wird beim Funktionsterm addiert, so dass du die Funktion betrachten kannst.
1. Ändere den Wert von b, indem du am Schieberegler für b ziehst. |
1. Die Gerade x = b ist an der Stelle der Defintionslücke x = b. Bei Veränderung von b, ändert sich die Definitionslücke, die Gerade wandert mit.
Die Gerade x = b ist eine senkrechte Asymptote.
2. Die x-Achse wird um c in y-Richtung verschoben. Die Gerade y = c ist, da sich die Hyperbeläste für große x an sie annähern, Asymptote für .
Eine Gerade heißt Asymptote zur Funktion f, wenn der Graph der Funktion f der Geraden beliebig nahe kommt ohne sie zu schneiden. |
Ausblick
Im folgenden Applet betrachten wir die Funktion für n = 1, 2, 3, 4. In dem Applet kann man mit dem Schieberegler den Exponenten von x im Zählerpolynom ändern. Was kannst du über die Asymptoten mit Änderung des Zählerexponenten aussagen? |
Bezeichnet z den Grad den Zählerpolynoms und n den Grad des Nennerpolynoms, dann gilt:
- Ist z < n, dann ist für die x-Achse Asymptote.
- Ist z = n und ist der Koeffizient von im Zählerpolynom und der Koeffizient von im Nennerpolynom, dann ist für die Gerade Asymptote.
- Ist z = n+1,dann gibt es eine schräge Asymptote.