Gebrochen-rationale Funktionen 8
Eine Funktion f ist eine gebrochen-rationale Funktion, wenn ihr Funktionsterm einen Bruch enthält, in dessen Nenner die Variable x vorkommt. |
Beispiele für Funktionsterme gebrochen-rationaler Funktionen sind .
Im Nenner eines Bruches darf nie 0 stehen. Deshalb muss man diese Wert aus der Grundmenge Q (Menge der rationalen Zahlen) herausnehmen. Alle Zahlen, die man in den Term einsetzen darf stehen auch bei gebrochen-rationalen Funktionen in der Definitionsmenge D.
Um die Definitionslücke zu finden musst du den Nenner gleich 0 setzen und diese Gleichung lösen. Die erhaltenen Zahlen sind aus der Grundmenge Q zu entfernen.
hat D = Q\{0},
hat D = Q \{1},
hat D = Q\{-1},
hat D = Q\{4},
hat D = Q\{0},
hat D = Q\{-1;1},
Die Funktion der indirekten Proportionalität für ist die einfachste gebrochen-rationale Funktion.
Ihr Graph ist eine Hyperbel und besteht aus zwei Hyperbelästen.
An der Stelle x = 0 ist die Funktion nicht definiert. Ihr Graph nähert sich der y-Achse (x = 0) beliebig nahe an. Die y-Achse ist eine senkrechte Asymptote. Betrachtet man die Funktion für sehr große x, d.h. oder sehr kleine x, d.h. dann nähert sich der Graph beliebig nahe an die x-Achsse an. Die x-Achse ist eine waagrechte Asymptote.
Eine Gerade heißt Asymptote zum Funktionsgraf Gf, wenn sich der Funktionsgraph beliebig nahe an die Gerade annähert ohne sie zu berühren. |
a) Hier sind viele lineare Funktionen dabei. Die musst du richtig herausfinden. Desweiteren ist Graph 2 eine Hyperbel und Graph 4 eine Parabel.
Den Geraden kannst du leicht die richtigen Funktionsgleichungen zuordnen:
Graph 1 und Gleichung II, Graph 3 und Gleichung V, Graph 5 und Gleichung I, Graph 6 und Term VI.
Die Hyperbel (Graph 2) gehört zu einer Bruchgleichung, also Gleichung IV.
Dann bleibt für die Parabel (Graph 4) nur die Gleichung III.
Im Nenner steht der Term x. Dieser nimmt für x=0 den Wert 0 an, also darf man 0 nicht in den Term einsetzen. x=0 ist Definitionslücke und D = Q\{0}.
Wertetabelle:
Für x = 0 ist der Term nicht definiert, also taucht 0 auch nicht in der Wertetabelle auf. Falls du 0 in der Wertetabelle hast, dann schreibe beim zugehörigen y-Wert n.d. für nicht definiert.
Graph:
b) y = 0 (x-Achse) ist waagrechte Asymptote, x = 0 (y-Achse) ist senkrechte Asymptote. Der Graph nähert sich den Koordinatenachsen beliebig nahe an ohne sie zu erreichen.
c) In der Wertetabelle siehst du f(4) = 0,5. Wird x größer, dann werden die y-Werte kleiner. Das siehst du auch im Graph. Also für x > 4 sind die Funktionswerte f(x) kleiner 0,5.
d) yP = -0,5 und yP* 0 0,5. Die Gerade durch P und P* hat die Gleichung , ist eine Ursprungsgerade und geht also durch den Ursprung.
Im folgenden Applet ist zuerst die Funktion dargestellt. Es gibt zwei Schieberegler. Damit kannst du den Wert der Parameter und verändern. ist ein Parameter, der im Nenner der Funktion als hinzugefügt wird, wird beim Funktionsterm addiert, so dass du die Funktion betrachten kannst.
1. Ändere den Wert von b, indem du am Schieberegler für b ziehst. |
1. Die Gerade x = b ist an der Stelle der Defintionslücke x = b. Bei Veränderung von b, ändert sich die Definitionslücke, die Gerade wandert mit.
Die Gerade x = b ist eine senkrechte Asymptote.
2. Die x-Achse wird um c in y-Richtung verschoben. Die Gerade y = c ist, da sich die Hyperbeläste für große x an sie annähern, Asymptote für .
Ausblick
Im folgenden Applet betrachten wir die Funktion für n = 1, 2, 3, 4. In dem Applet kann man mit dem Schieberegler den Exponenten von x im Zählerpolynom ändern. Was kannst du über die Asymptoten mit Änderung des Zählerexponenten aussagen? |
Bezeichnet z den Grad den Zählerpolynoms und n den Grad des Nennerpolynoms, dann gilt:
- Ist z < n, dann ist für die x-Achse Asymptote.
- Ist z = n und ist der Koeffizient von im Zählerpolynom und der Koeffizient von im Nennerpolynom, dann ist für die Gerade Asymptote.
- Ist z = n+1,dann gibt es eine schräge Asymptote.