Gebrochen-rationale Funktionen 8

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Eine Funktion f ist eine gebrochen-rationale Funktion, wenn ihr Funktionsterm einen Bruch enthält, in dessen Nenner die Variable x vorkommt.
Der Wert für x für den der Nenner Null wird heißt Definitionslücke.

Beispiele für Funktionsterme gebrochen-rationaler Funktionen sind  \frac{1}{x}, \frac{1}{x-1}, \frac{x}{x+1}, \frac{2x}{4-x}, \frac{1}{x^2}, \frac{x}{x+x^2}, \frac{2x-1}{x}, \frac{2}{x^2 +1} ....

Im Nenner eines Bruches darf nie 0 stehen. Deshalb muss man diese Wert aus der Grundmenge Q (Menge der rationalen Zahlen) herausnehmen. Alle Zahlen, die man in den Term einsetzen darf stehen auch bei gebrochen-rationalen Funktionen in der Definitionsmenge D.


Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe

Gib für obigen Beispielsterme jeweils die Definitionsmenge an.

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Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe

1. Buch S. 115/1
2. Buch S. 116/3

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Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe

1. Buch S. 116/4
2. Buch S. 116/5

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Die Funktion der indirekten Proportionalität f: x \rightarrow \frac{1}{x} für  x \not= 0 ist die einfachste gebrochen-rationale Funktion.
Ihr Graph ist eine Hyperbel und besteht aus zwei Hyperbelästen.

Graph der indirekten Proportionaliltät


An der Stelle x = 0 ist die Funktion nicht definiert. Ihr Graph nähert sich der y-Achse (x = 0) beliebig nahe an. Die y-Achse ist eine senkrechte Asymptote. Betrachtet man die Funktion für sehr große x, d.h. x \rightarrow \infty oder sehr kleine x, d.h. x \rightarrow -\infty dann nähert sich der Graph beliebig nahe an die x-Achsse an. Die x-Achse ist eine waagrechte Asymptote.

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Eine Gerade heißt Asymptote zum Funktionsgraf Gf, wenn sich der Funktionsgraph beliebig nahe an die Gerade annähert ohne sie zu berühren.


Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe

a) Bearbeite die Aufgabe S. 113/3.
Benenne für den Graph 2 die Asymptoten.

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Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe

a) Gib für diedie Funktion f: x \rightarrow \frac{2}{x} die Definitionsmenge an und zeichne mit Hilfe einer Wertetabelle den Graphen.
b) Gib jeweils die Gleichung der waagrechten und senkrechten Asymptote an und trage sie farbig in dein Diagramm ein.
c) Für welche positiven Werte von x ist der Funktionswert f(x) kleiner als 0,5?
d) Die Punkte P(-4,yP) und P*(4;yP*) liegen auf dem Graph von f. Bestimme die y-Werte und zeige, dass P und P* auf einer Geraden durch den Ursprung O liegen. Gib die Geradengleichung an.

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Im folgenden Graph ist für b = 0 die Funktion f: x\rightarrow \frac{2}{x}, x\neq 0 dargestellt. Diese Funktion ist dir aus der letzten Aufgabe bekannt. Ihre senkrechte Asymptote (x=0) ist rot eingezeichnet.
Eigentlich siehst du den Graph der Funktion f: x\rightarrow \frac{2}{x-b}, x\neq b . Für b ist nur der Wert 0 eingestellt. Mit dem Schieberegler (b = 0) kannst du den Wert von b verändern.


Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe

Verändere im obigen Applet den Wert von b indem du den Schieberegler betätigst.
a) Wo hat die Funktion f: x\rightarrow \frac{2}{x-b} eine Definitionslücke? Gib die Definitionsmenge an. b) Was passierte mit dem gezeichneten Graphen für b = 0 als du den Schieberegler bewegt hast?
c) Welchen besonderen Namen hat auch dieser Graph?
d) Lies aus dem Applet die Geradengleichung der senkrechten roten Geraden ab.
e) Was passiert mit der eingezeichneten senkrechten Asymptote.
f) Gib die waagrechte Asymptote an.
g) Fasse deine Überlegungen zusammen.

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Ausgangspunkt im folgenden Applet ist wieder wie gerade eben der Graph der Funktion f: x\rightarrow \frac{2}{x}, x\neq 0. Desweiteren ist die waagrechte Asymptote y = 0 lila eingezeichnet. Diesmal ist ein Schieberegler für c gegeben. Wir wollen als nächstes Funktionen betrachten, bei denen zum Funktionsterm \frac{2}{x} der Wert von c addiert wird. Wir haben dann also eine Funktion f: x\rightarrow \frac{2}{x} + c, x\neq 0 . Eingestellt ist der Wert c = 0. Bewegst du den Schieberegler, ändert sich der Wert von c.


Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe

Veränderte in obigen Applet den Wert von c indem du den Schieberegler betätigst.
a) Wo hat die Funktion f: x\rightarrow \frac{2}{x} + c eine Definitionslücke? Gib die Definitionsmenge an. b) Was passierte mit dem gezeichneten Graphen für c = 0 als du den Schieberegler bewegt hast?
c) Welchen besonderen Namen hat auch dieser Graph?
d) Lies aus dem Applet die Geradengleichung der waagrechten lila Geraden ab.
e) Was passiert mit der eingezeichneten waagrechten Asymptote.
f) Gib die senkrechte Asymptote an.
g) Fasse deine Überlegungen zusammen.

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Maehnrot.jpg
Merke:

1. Die Funktion f: x\rightarrow \frac{2}{x-b}, x\neq b ist nicht definiert für x = b, dort hat sie eine Defintionslücke, ihre Definitionsmenge ist D = Q\{b}. Ihr Graph ist eine Hyperbel. Man erhält diese Hyperbel, indem man die Hyperbel der Funktion f: x\rightarrow \frac{2}{x}, x\neq 0 um b in Richtung der x-Achse verschiebt. Die Hyperbel hat zwei Asymptoten, eine senkrechte Asymptote x = a (an der Stelle der Definitionslücke) und eine waagrechte Asymptote y = 0 (unabhängig von a).

2. Die Funktion f: x\rightarrow \frac{2}{x} + c, x\neq 0 ist nicht definiert für x = 0, dort hat sie eine Defintionslücke, ihre Definitionsmenge ist D = Q\{0}. Ihr Graph ist eine Hyperbel. Man erhält diese Hyperbel, indem man die Hyperbel der Funktion f: x\rightarrow \frac{2}{x}, x\neq 0 um c in Richtung der y-Achse verschiebt.Die Hyperbel hat zwei Asymptoten, eine senkrechte Asymptote x = 0 (unabhängig von c und an der Stelle der Definitionslücke) und eine waagrechte Asymptote y = c.

Fasst man beide Aussagen zusammen, dann erhält man:

3, Die Funktion f: x\rightarrow \frac{2}{x-b} + c, x\neq b ist nicht definiert für x = b, dort hat sie eine Defintionslücke, ihre Definitionsmenge ist D = Q\{b}. Ihr Graph ist eine Hyperbel. Man erhält diese Hyperbel, indem man die Hyperbel der Funktion f: x\rightarrow \frac{2}{x}, x\neq 0 um b in Richtung der x-Achse und um c in Richtung der y-Achse verschiebt.Die Hyperbel hat zwei Asymptoten, eine senkrechte Asymptote x = b (an der Stelle der Definitionslücke)und eine waagrechte Asymptote y = c.


Die Veränderung von b und c kannst du im folgenden Applet ausprobieren.
Zuerst ist die Funktion  f: x\rightarrow \frac{1}{x} dargestellt. Es gibt zwei Schieberegler. Damit kannst du den Wert der Parameter b und c verändern. b ist ein Parameter, der im Nenner der Funktion als  x-b hinzugefügt wird, c wird beim Funktionsterm addiert, so dass du die Funktion  f: x\rightarrow \frac{1}{x-b}+c betrachten kannst.


Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe

1. Ändere den Wert von b, indem du am Schieberegler für b ziehst.
Die Gerade x = b ist eingezeichnet.
Was kannst du über die Lage dieser Geraden aussagen?
Welche Bezeichnung hat diese Gerade noch?
2. Ändere den Wert von c, indem du am Schieberegler für c ziehst.
Die Gerade y = c ist eingezeichnet.
Was kannst du über die Lage dieser Geraden aussagen? Wie heißt diese Gerade noch?

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Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe

Du hast jetzt viel über gebrochen-rationale Funktionen, Definitionslücken, Hyperbeln kennengelernt.
Bearbeite mit deinen Kenntnissen diesen Lernpfad.jpg zu Hyperbeln


Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe

1. Buch S. 117/9
2. S. 117/10
3. S. 117/11
4. S. 117/12

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M8 - Beispiele weiterer gebrochen-rationaler Funktionen