M8 Potenzen mit ganzzahligen Exponenten

In Physik oder Chemie gibt es eine wissenschaftliche Schreibweise für Größen. Man gibt die Größe als Zahl mit Einheit und oftmals ist die Zahl mit Zehnerpotenzen geschrieben. Dies macht man gerne, da man sonst den Zahlenwert nur sehr schwer lesen kann. Zum Beispiel ist die Masse der Erde m = 6000000000000000000000000 kg. Man kann die Zahl durch Dreierbündel der Nullen etwas übersichtlicher gestalten m = 6 000 000 000 000 000 000 000 000 kg. Aber sehr viel einfacher wird es dadurch auch nicht. Daher schreibt man gerne m = 6·10²⁴ kg. Diese Schreibweise schaut doch wenn man ihre Bedeutung kennt sehr viel einfacher aus.
Was heißt 10²⁴?
10²⁴ ist eine Potenz 10 ist die Basis 24 der Exponent. Eine Potenz ist eine Abkürzung für ein Produkt mit lauter gleichen Faktoren.
Hier ist 10²⁴=10·10·10·10·10·10·10·10·10·10·10·10·10·10·10·10·10·10·10·10·10·10·10·10. Der Faktor 10 kommt 24 mal vor.

Merke an ist eine Potenz, a ist die Basis, n der Exponent.

Potenzen kennst du schon. Meist ist die Basis eine natürliche Zahl, ebenso der Exponent.

Was macht man aber, wenn man eine sehr kleine Zahl hat? Der Atomdurchmesser ist circa 0,0000000001m. Dies ist auch sehr unübersichtlich zu lesen. Kann man diese Zahl auch mit einer Zehnerpotenz schreiben?

105  :10 104  :10 103  :10 102  :10 101  :10  ???  :10  ???  :10

In dieser Tabelle hat man mit der Zehnerpotenz 105 angefangen. 105 wird durch 10 dividiert und man erhält in der nächsten Zeile 104. 104 wird durch 10 dividiert und man erhält in der nächsten Zeile 103. 103 wird durch 10 dividiert und man erhält in der nächsten Zeile 102. 102 wird durch 10 dividiert und man erhält 101. Wie geht es nun weiter?

Merke Bei diesem Vorgehen dividiert man eine Zehnerpotenz durch 10 und der Exponent verringert sich dabei um 1, also 10n : 10 = 10n-1.

Macht man dieses Verfahren nun weiter, so erhält man:

102		:10
101		:10
100		:10
10-1		:10
10-2		:10
10-3		:10
10-4		:10
usw.

Nun hat man plötzlich Potenzen mit negativen Exponenten. In unserem Fall 10^-n. Aber die Werte dieser Potenzen kennt man schon. Es ist:

102 =100  :10 101=100:10=10  :10 100=10:10=1  :10 10-1=1:10=0,1=$\frac{1}{10}$  :10 10-2=0,1:10=0,01=$\frac{1}{100}$  :10 10-3=0,01:10=0,001=$\frac{1}{1000}$  :10 10-4=0,001:10=0,0001=$\frac{1}{10000}$  :10 usw.

Man hat eine 10-Potenz z.B. 102. Man kommt zur nächstkleineren Zehnerpotenz, indem man durch 10 teilt. Also ist die nach 102 nächskleinere 10-Potenz 101 und man erhält deren Wert, indem man 100:10 = 10 berechnet. Die nächstkleinere 10-Potenz ist dann 100 und man erhält deren Wert, indem man 10 :10 = 1 berechnet. Die nächstkleinere 10-Potenz ist dann 10-1 und man erhält deren Wert, indem man 1 : 10 = 0,1 berechnet. usw.

Merke Also kann man sagen, 10-n ist eine Dezimalzahl mit n Nachkommastellen. Die letzte Nachkommastelle ist 1, alle anderen sind 0. Zahlen wie 10-4=0,001:10=0,0001 kennst du bereits. Es ist $10^{-4}=0,0001 = \frac{1}{10000}=\frac{1}{10^4}$ Also ist $10^{-4}=\frac{1}{10^4}$ oder allgemein $10^{-n}=\frac{1}{10^n}$

Für unseren Atomdurchmesser 0,0000000001m bedeutet dies, dass die Zahl 10 Nachkommastellen hat und die letze Ziffer ist 1, also ist 0,0000000001m = 10^-10m.

Merke: Man definiert Potenzen an mit ganzzahligen Exponenten: Ist n eine natürliche Zahl, dann ist $a^n = a\cdot a\cdot a \cdot ... \cdot a$ (mit n gleichen Faktoren a), $a^0 = 1$ und $a^{-n}= \frac{1}{a^n}$

Beispiele
$4^{-1}=\frac{1}{4}=0,25$
$5^{-2}=\frac{1}{5^2}=\frac{1}{25}=0,04$
$\frac{1}{2}^{-3}=\frac{1}{\frac{1}{2}^3}=\frac{1}{\frac{1}{8}}=8$
$(-\frac{1}{2})^{-4}=\frac{1}{(-\frac{1}{2})^4}=\frac{1}{\frac{1}{16}}=16$

  Aufgabe 1

Berechne ohne Taschenrechner den Termwert und
1. gib ihn als Dezimalzahl an.
$a) \quad 0,5^3 \qquad 0,5^{-1} \qquad (-0,5)^{-2} \qquad (-0,5)^{-3} \qquad (\frac{1}{0,5})^{-1} \qquad (-\frac{1}{0,5})^{-1}$
$b) \quad (\frac{1}{10})^2 \qquad (-0,1)^{-1} \qquad (\frac{1}{0,001})^2 \qquad (-0,1)^{-3} \qquad (-100)^{-3} \qquad (-0,001)^0$

2. $a) \quad 0,2^0+0,2^1+0,2^2+0,2^3+0,2^4$
$b) \quad 0,5^0-(-2)^0+0,5^1-(-2^{-2})+0,5^2$

[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

1
a) 0,5³=0,5·0,5·0,5 = 0,125
0,5^-1 = 1/0,5 = 2
(-0,5)^-2 = 4
$\left ( \frac{1}{0,5}\right )^{-1}=\frac{1}{\frac{1}{5}}=0,5$
$\left ( -\frac{1}{0,5}\right )^{-1}=\frac{1}{-\frac{1}{5}}=-0,5$
b) $\left ( \frac{1}{10} \right )^2=\frac{1}{100}=0,01$
$(-0,1)^{-1}=\frac{1}{-0,1}=-\frac{1}{\frac{1}{10}}=-10$
$\left ( \frac{1}{0,001} \right )^2=\frac{1}{0,000001}=\frac{1}{\frac{1}{1000000}}=1000000=10^6$
$(-0,1)^{-3}=\frac{1}{(-0,1)^3}=\frac{1}{-0,001}=-1000$
$(-100)^{-3}=\frac{1}{(-100)^3}=\frac{1}{1000000}=\frac{1}{10^6}=-10^{-6}$
(-0,001)⁰ = 1

2.
a) 0,2⁰ + 0,2¹ + 0,2² + 0,2³ + 0,2⁴ = 1 + 0,2 + 0,04 + 0,008 + 0,0016 = 1.2496

b) 0,5⁰ - (-2)⁰ + 0,5¹ - (-2^-2) + 0,5² = 1 - 1 + 0,5 - (-0,25) + 0,25 = 1

  Aufgabe 2

Schaue dir dieses Video an.

Schreibe die Zahlen in wissenschaftlicher Schreibweise (Zehnerpotenzschreibweise):
a) mittlere Entfernung von der Sonne: 149 600 000 km
maximale Entfernung von der Sonne: 152 143 000 km
minimale Entfernung von der Sonne: 147 057 000 km
Durchmesserlänge des Äquators: 12756 km
Entfernung Nord-Südpol: 12713 km
Masse der Erde: 5 974 000 000 000 000 000 000 t
Volumen der Erde: 1 087 000 000 000 km³
Oberflächeninhalt: 510 100 000 km²

b) Ruhemasse des Elektrons: 0,00000000000000000000000000091 g (Gib das Ergebnis auch in kg an!)
elektrische Ladung eines Elektrons: -0,00000000000000000016 C

[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

a) 149 600 000 km = 1,496·10⁸km
1,52143·10⁸km
1,47057·10⁸km
1,2756·10⁴km = 1,2756·10⁷m
1,2713·10⁴km
5,974·10²¹t =5,974·10²⁴kg
1,087·10¹²km³
5,101·10⁸km²
b) 9,1·10^-28g = 9,1·10^-31kg

-1,6·10^-19As

  Aufgabe 3

Schaue dir diesen Video an:

Formuliere ein Rechengesetz dazu.

[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

Im Beispiel $2^2:2^7=2^{2-7}=2^{-5}$, also allgemein $a^m:a^n=a^{m-n}$ auch für negative Exponenten.

Merke: Auch für Potenzen mit negativen Exponenten gelten weiterhin die Potenzgesetze. Potenzen mit gleicher Basis: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ $a^m : a^n = a^{m-n}$ Potenzen mit gleichem Exponenten $a^n \cdot b^n = (a\cdot b)^n$ $a^n : b^n = \left( \frac{a}{b} \right)^n$ Potenzieren einer Potenz $\left ( a^m \right )^n = a^{m \cdot n}$ Beachte: Die Potenzgesetze gelten nur beim Multiplizieren und Dividieren von Potenzen. Bei der Addition und Subtraktion von Potenzen kann man nichts machen!

  Aufgabe 4

Formuliere die Aussagen der Potenzgesetze in Worten.

[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

Zwei Potenzen mit gleicher Basis werden multipliziert, indem man die Basis beibehält und die Exponenten addiert.
Zwei Potenzen mit gleicher Basis werden dividiert, indem man die Basis beibehält und die Exponenten subtrahiert.
Zwei Potenzen mit gleichem Exponenten werden multipliziert, indem man die Basen multipliziert und den Exponenten beibehält.
Zwei Potenzen mit gleichem Exponenten werden dividiert, indem man die Basen dividiert und den Exponenten beibehält.

Eine Potenz wird potenziert, indem man die Exponenten multipliziert.

Beispiele:
1. gleiche Basis - Exponenten werden beim Multiplizieren addiert:
x⁵ · x⁴ = x⁵⁺⁴ = x⁹
x⁵ · x ^-4 = x ^5-4 = x¹ = x
4x ^-5 · x ^-4 = 4x^-5-4 = 4x^-9

2. gleiche Basis - Exponenten werden beim Dividieren subtrahiert:
x⁵ : x ^-4 = x ^5-(-4) = x⁵⁺⁴ = x⁹
2x ^-4 : x ^-7 = 2x^-4-(-7) = 2x^-4+7 = 2x³

3. Potenzen werden potenziert, indem man die Exponenten multipliziert:
(x ^-2)³ = x ^-2·3 = x ^-6
(x ^-4) ^-3 = x ^-4·(-3) = x¹²
(0,5x ^-3) ^-2 = 0,5 ^-2x ^-3·(-2) = 4x⁶

4. gleiche Exponenten - Basen werden multipliziert bzw. dividiert:
a^1-m · 2^1-m = (2a)^1-m
(ab)⁶ : (ac)⁵ = $\left ( \frac{ab}{ac} \right )^5=\left ( \frac{b}{c} \right ) ^5$
(abc)⁵ · (-abc)^2m+1 = (abc)⁵ · [-(abc)^2m+1] = - (abc)^5+2m+1 = - (abc)^6+2m
Beachte, dass der Exponent 2m+1 immer ungerade ist. Eine negative Zahl hoch einer ungeraden Zahl ist negativ. Daher wird das - vor die Potenz geschrieben.

5. Man kann eine Basis auch als Produkt schreiben und dann die Faktoren potenzieren (das ist der umgekehrte Vorgang zu 4.):
500⁴ = (5 · 100)⁴ = 5⁴ · 100⁴ = 625 · (10²)⁴ = 625 · 10⁸ = 6,25 · 10¹⁰
$0,004^{-4} = \left ( \frac{4}{1000} \right )^{-4} = \left ( \frac{1}{250} \right )^{-4} = 250^4 = (5^2 \cdot 10)^4 = (5^2)^4 \cdot 10^4 = 5^8 \cdot 10^4 = 390625 \cdot 10^4 = 3,90625 \cdot 10^9$

Wenn du mit den Beispielen klar gekommen bist, dann schau dir noch dieses Video an.

Die letze Potenz $x^{\frac{1}{2}} = \sqrt x$ lernst du in der 9. Klasse kennen. Da gibt es dann auch wieder Potenzgesetze.

  Aufgabe 5

1. Berechne ohne Taschenrechner

$a) \quad (-6)^3 \qquad b) \quad -3^4 \qquad c) \quad (-2)^4 \qquad d) \quad (-2 \cdot 5)^3 \qquad e) \quad 5 \cdot 3^2 \qquad f) (-5 \cdot 3)^2$
$g) \quad -5 \cdot (-3)^3 \qquad h) \quad 5^0+5^1-5^2 \qquad i) \quad 4^{-3} \cdot 4^3 \qquad j)\quad \frac{1}{4^{-1}} \qquad k) \quad \frac{2^3}{2^{-3}} \qquad l) \quad \frac{12^3}{4^3}$
$m)\quad (\frac{2}{3})^{-1} \qquad n) \quad (\frac{4}{5})^2\cdot (\frac{5}{4})^2 \qquad o) \quad [(\frac{1}{2})^3]^{-1} \qquad p) \quad (\frac{1}{4})^{-1}+(\frac{2}{5})^{-1} - 6,5 \qquad q) \quad 2^{-1} \cdot (\frac{1}{6})^{-1}$

2. Vereinfache so weit wie möglich ($x,y \in Q \setminus {0}$
$a) \quad \frac{y}{y^{-5}} \qquad b) x^3 \cdot x^{-4} \qquad c) \quad \frac{x^{-2}}{x^{-4}} \qquad d) (x^2)^{-4} \cdot (x^3)^3 \qquad e) \quad (2a)^{-3} -\frac{2}{a^3} \qquad f) \quad (x^{-2})^{-2}-2x^4$

3. Gib als Potenz mit positvem Exponenten an.
$a) \quad (2^4)^3 \qquad b) (2^{-4})^3 \qquad c) (2^4)^{-3} \qquad d) \quad (-2^{-3})^{-4} \qquad e) \quad (2^5)^{-1}$

4. Schreibe jeweils alsl Potenz mit positivem Expoenten und als Potenz mit negativem Exponenten.
$a) \quad \frac{1}{64} \qquad b) \quad 81 \qquad c) \quad \frac{125}{27} \qquad d) \quad 729 \qquad e) \quad 1024 \qquad f) \quad \frac{1}{512} \qquad g) \quad 10000$

5. Vereinfache so weit als möglich. Es sind $x \neq 0$ bzw. $y \neq 0$.
$a) \quad x^7:x^3 \qquad b) \quad y^3 \cdot y^{-6} \qquad c)\quad x^{-8}\cdot (x^4)^2 \qquad d) \quad (\frac{x^4y}{x^2y^3})^{-2} \qquad e) \quad \frac{x^{-1}-y^{-1}}{x-y}, \qquad x \neq y$

[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

1.
a) -216 <br< b) -81
c) 16
d) -1000
e) 45
f) 225
g) 135
h) -19
i) 1
j) 4
k) 2⁶ = 64
l) 3³ = 27
m) 1,5
n) 1
o) 8
p) 4 + 2,5 - 6,6 = 0
q) 3

2.
a) y⁶
b) x^-1
c) x²
d) x^-8 · x⁹ = x
e) 6a^-3
f) -x⁴

3.
a) 2¹²
b) 2^-12 =$\left (\frac{1}{2} \right )^{12}$
c) 2^-12=$\left (\frac{1}{2} \right )^{12}$ = 0,5¹²
d) 2¹²
e) 2^-5 =$\left (\frac{1}{2} \right )^{5}$ = 0,5⁵

4.
a) $\left ( \frac{1}{2} \right )^6 = 2^{-6}$
b) $3^4=\left ( \frac{1}{3} \right )^{-4}$
c) $3^6=\left ( \frac{1}{3} \right )^{-6}$
d) 2¹⁰ = 0,5^-10
e) $\left ( \frac{1}{2} \right )^9 = 2^{-9}$
g) 10⁴ = 0,1^-4

5.
a) x⁴
b) y^-3
c) x⁰ = 1
d) x ^-4 y⁴
e) Hier stehen in Zähler und Nenner Differenzen. Man kann Zähler und Nenner nicht in ein Produkt umwandeln. :-(
Aber man folgendes machen: $\frac{x^{-1} - y^{-1}}{x-y}=\frac{\frac{1}{x}-\frac{1}{y}}{x-y}=\frac{\frac{y}{xy}-\frac{x}{xy}}{x-y}=\frac{\frac{y-x}{xy}}{x-y}=\frac{y-x}{xy\cdot (x-y)} =\frac{-(x-y)}{xy\cdot(x-y)}=\frac{1}{xy}=(xy)^{-1}$

Und das schaut doch einfacher aus! :-)

  Aufgabe 6

Potenzen mit negativen Exponenten treten auch oft in der Physik bei den Einheiten auf und ermöglicht eine neue Schreibweise für Einheiten.
Welche physikalische Größe gibt man in
$a) \quad m \cdot s^{-1} \qquad b) \quad km \cdot h^{-1} \qquad c) \quad N \cdot m^{-1} \qquad d) \quad N \cdot m^{-2} \qquad e) N \cdot kg^{-1} \qquad f) g \cdot cm^{-3}$ an?

[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

a) $m\cdot s^{-1}=\frac{m}{s}$ ist die Einheit der Geschwindigkeit.
b) $km \cdot h^{-1}=\frac{km}{h}$ ist auch eine Einheit der Geschwindigkeit.
c) $N \cdot m^{-1}=\frac{N}{m}$ ist die Einheit der Federkonstante D.
d) $N \cdot m^{-2}=\frac{N}{m^2}$ ist die Einheit des Drucks p.
e) $N \cdot kg^{-1}=\frac{N}{kg}$ ist die Einheit des Ortsfaktors g und auch die Einheit der Beschleunigung a.

f) $g \cdot cm^{-3}=\frac{g}{cm^3}$ ist die Einheit der Dichte.

  Aufgabe 7

Informiere dich wie man bei deinem Taschenrechner eine Eingabe mit Zehnerpotenzen macht.
a) Wie lange braucht das Licht von der Sonne bis zur Erde?
b) Berechen, wie viele Zellen ein Jugendlicher der masse 45 kg hat, wenn die Masse einer Zelle etwa $0,0075\mu g$ beträgt.

[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

a) 8min 20 s

b) 6 · 10¹²

  Aufgabe 8

Zum Knobeln!
Zeige, dass gilt: $2^{1994}+4^{997}+8^{665}=16^{499}$

[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

linke Seite: 2¹⁹⁹⁴ + 4⁹⁹⁷ + 8⁶⁶⁵=2¹⁹⁹⁴ + 2¹⁹⁹⁴ + 2¹⁹⁹⁵ = 2¹⁹⁹⁴ + 2¹⁹⁹⁴ + 2 · 2¹⁹⁹⁴ = 4 · 2¹⁹⁹⁴ = 2¹⁹⁹⁶

rechte Seite: 16⁴⁹⁹ = (2⁴)⁴⁹⁹ = 2^{4 · 499} = 2¹⁹⁹⁶