M11 Aufgabe zu Vektoren

Buch S. 93 / 1 d, e

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d) $\vec {AB} = \vec B-\vec A = \left ( \begin{array}{c} 4 \\\ -4 \\\ 0 \end{array}\right) - \left ( \begin{array}{c} 2 \\\ -4 \\\ -5 \end{array}\right) = \left ( \begin{array}{c} 2 \\\ 0 \\\ 5 \end{array}\right)$
$\vec {BA} = \vec A-\vec B = \left ( \begin{array}{c} 2 \\\ -4 \\\ -5 \end{array}\right) - \left ( \begin{array}{c} 4 \\\ -4 \\\ 0 \end{array}\right) = \left ( \begin{array}{c} -2 \\\ 0 \\\ -5 \end{array}\right)$
e) $\vec {AB} = \vec B-\vec A = \left ( \begin{array}{c} -4 \\\ -8 \\\ 0 \end{array}\right) - \left ( \begin{array}{c} 0 \\\ 8 \\\ -2 \end{array}\right) = \left ( \begin{array}{c} -4 \\\ -16 \\\ 2 \end{array} \right)$
$\vec {BA} = \vec A-\vec B = \left ( \begin{array}{c} 2 \\\ 3 \\\ -5 \end{array}\right) - \left ( \begin{array}{c} -4 \\\ -8 \\\ 0 \end{array}\right) = \left ( \begin{array}{c} 4 \\\ 16 \\\ -2 \end{array} \right)$

Es ist $\vec {BA} = -\vec {AB}$

Buch S. 93 / 2

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a) $\vec {AB} = \vec B-\vec A = \left ( \begin{array}{c} 4 \\\ 1 \\\ -2 \end{array}\right)$, also $\vec B - \left ( \begin{array}{c} 0 \\\ 3 \\\ 6 \end{array}\right) = \left ( \begin{array}{c} 4 \\\ 1 \\\ -2 \end{array}\right)$ oder $\left ( \begin{array}{c} b_1 \\\ b_2 \\\ b_3 \end{array}\right) - \left ( \begin{array}{c} 0 \\\ 3 \\\ 6 \end{array}\right) = \left ( \begin{array}{c} 4 \\\ 1 \\\ -2 \end{array}\right)$ liefert $b_1 = 4, b_2 = 4, b_3=4$.

b) $\vec {AB} = \vec B-\vec A = \left ( \begin{array}{c} 4 \\\ 1 \\\ -2 \end{array}\right)$, also $\left ( \begin{array}{c} 2 \\\ 3 \\\ -5 \end{array}\right) - \vec A = \left ( \begin{array}{c} 4 \\\ 1 \\\ -2 \end{array}\right)$ oder $\left ( \begin{array}{c} 2 \\\ 3 \\\ -5 \end{array}\right) -\left ( \begin{array}{c} a_1 \\\ a_2 \\\ a_3 \end{array}\right) = \left ( \begin{array}{c} 4 \\\ 1 \\\ -2 \end{array}\right)$ liefert $a_1 = -2, b_2 = 2, b_3=-3$.

c) $\left ( \begin{array}{c} b_1 \\\ 0 \\\ 7 \end{array}\right) -\left ( \begin{array}{c} 2 \\\ a_2 \\\ a_3 \end{array}\right) = \left ( \begin{array}{c} 4 \\\ 1 \\\ -2 \end{array}\right)$ liefert $b_1 = 6, a_2=-1, a_3=9$

d) $\left ( \begin{array}{c} -a \\\ a \\\ 3a \end{array}\right) -\left ( \begin{array}{c} a \\\ -3 \\\ 2a \end{array}\right) = \left ( \begin{array}{c} 4 \\\ 1 \\\ -2 \end{array}\right)$ liefert

x₂-Koordinate: a + 3 = 1, also a = -2 und $\vec A= \left ( \begin{array}{c} -2 \\\ -3 \\\ -6 \end{array}\right)$ und $\vec B = \left ( \begin{array}{c} 2 \\\ -2 \\\ -6 \end{array}\right)$

Buch S. 93 / 3b

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$\vec {AB} = \left ( \begin{array}{c} 2 \\\ 1 \\\ 2 \end{array}\right), \vec {DC}=\left ( \begin{array}{c} -2 \\\ -1 \\\ 0 \end{array}\right)$

Buch S. 93 / 4

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a) Die Punkte werden im Gegenuhrzeigersinn bezeichnet. Die untere Grundfläche hat die Punkte H, A, M, I, die obere Grundfläche die Punkte L, T, O, N. Also liegt H und L, A unter T, M unter O und I unter N.
T,O,N werden durch L(4;-4;0) zu einem Quadrat ergänzt.
O(0,0,0) und M(0,0,-4) bedeuten, dass die untere Fläche 4 unterhalb der oberen Fläche liegt.
Damit: T(4;0;0) liefert A(4;0;-4), N(0;-4;0) liefert I(0;-4;-4) Nun ergeben sich noch H(4;-4;-4), A(4;0;-4), M(0,0,-4).
Also insgesamt: H(4;-4;4), A(4;0;-4), M(0;0;-4), I(0;-4;-4) und L((4;-4;0), T(4;0;0), O(0;0;0), N(0;-4;0)

Da O der Ursprung ist, ist ein Vektor $\vec {OM}$ mit Startpunkt O der Ortsvektor $\vec M$. $\vec {OM}= \vec M = \left ( \begin{array}{c} 0 \\\ 0 \\\ -4 \end{array}\right), \vec {OL} = \vec L = \left ( \begin{array}{c} 4 \\\ -4 \\\ 0 \end{array}\right), \vec {MH}=\vec H - \vec M = \left ( \begin{array}{c} 4 \\\ -4 \\\ 0 \end{array}\right), \vec {IA}=\vec A - \vec I = \left ( \begin{array}{c} 4 \\\ 4 \\\ 0 \end{array}\right)$
$\vec {NT} = \vec T - \vec N = \left ( \begin{array}{c} 4 \\\ 4 \\\ 0 \end{array}\right), \vec {LA} = \vec A - \vec L =\left ( \begin{array}{c} 0 \\\ 4 \\\ -4 \end{array}\right), \vec {AN} = \vec N - \vec A = \left ( \begin{array}{c} -4 \\\ -4 \\\ 4 \end{array}\right)$

b) Die Pyramide hat ein Quadrat mit Seitenlänge a = 4 als Grundfläche und die Pyramidenhöhe 2, also ist $V=\frac{1}{3} \cdot 4^2 \cdot 2=\frac{32}{3}$

Die Oberfläche hat den Inhalt $O=4^2 + 4\cdot \frac{1}{2}\cdot 4 \cdot 2\sqrt 2 = 16+16\sqrt 2=16(1+\sqrt 2) \approx 38,6$