M11 Anwendungen und Aufgaben zum Rechnen mit Vektoren

In den folgenden Bildern sind die Vektoren ohne Vektorpfeil angegeben. Leider macht GeoGebra das nicht.

Merke: Der Verbindungsvektor $\vec {AB}$ der zwei Punkte mit den Ortsvektoren $\vec a$ und $\vec b$ ist $\vec {AB} = \vec b - \vec a$. Um von A nach B zu kommen geht man den Vektor $\vec {AB}$. Man kann aber auch zuerst in Richtung $-\vec a$ gehen und dann in Richtung $\vec b$. Also ist $\vec {AB} = -\vec a + \vec b = \vec b - \vec a$.

Die Strecke [AB] hat einen Mittelpunkt M, dessen Ortsvektor ist $\vec m$.

Merke: Der Ortsvektor $\vec m$ des Mittelpunkts M der Strecke [AB] ist $\vec m = \frac{1}{2}(\vec a + \vec b)$

Wie kommt man vom Ursprung zu M?
Man geht zuerst mit dem Vektor $\vec a$ zum Punkt A und dann die Hälfte der Strecke [AB], dies geht mit dem Vekor $\frac{1}{2} \vec {AB} = \frac{1}{2} (\vec b -\vec a)$. Also insgesamt $\vec m = \vec a + \frac{1}{2} \vec {AB} = \vec a + \frac{1}{2} (\vec b - \vec a)=\vec a + \frac{1}{2} \vec b - \frac {1}{2} \vec a = \frac{1}{2} \vec a + \frac{1}{2} \vec b=\frac{1}{2}(\vec a +\vec b)$.

  Aufgabe 1

a) Bestimme den Mittelpunkt der Strecke mit den Endpunkten A(1,2,3) und B(6,5,4).
b) Bestimme den Mittelpunkt der Strecke mit den Endpunkten A(-1,2,3) und B(6,0,-4).

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$\vec m = \frac{1}{2} \left [ \left ( \begin{array}{c} 1 \\\ 2 \\\ 3 \end{array}\right) + \left ( \begin{array}{c} 6 \\\ 5 \\\ 4 \end{array}\right) \right ] = \frac{1}{2} \left ( \begin{array}{c} 7 \\\ 7 \\\ 7 \end{array}\right) = \left ( \begin{array}{c} 3,5 \\\ 3,5 \\\ 3,5 \end{array}\right)$ , also M(3,5;3,5;3,5)

b) $\vec m = \frac{1}{2} \left [ \left ( \begin{array}{c} -1 \\\ 2 \\\ 3 \end{array}\right) + \left ( \begin{array}{c} 6 \\\ 0 \\\ -4 \end{array}\right) \right ] = \frac{1}{2} \left ( \begin{array}{c} 5 \\\ 2 \\\ -1 \end{array}\right) = \left ( \begin{array}{c} 2,5 \\\ 1 \\\ -0,5 \end{array}\right)$ , also M(2,5;1;-0,5)

Ein ähnliches Ergebnis erhält man für den Schwerpunkt S eines Dreiecks mit den Eckpunkten A, B, C.

Merke: Der Schwerpunkt S eines Dreiecks mit den Eckpunkten A, B, C und deren Ortsvektoren $\vec a, \vec b, \vec c$ hat den Ortsvektor $\vec s$. Es ist $\vec s = \frac{1}{3}(\vec a + \vec b + \vec c)$.

Wie kommt man vom Urpsung zu S?
Sind Ma, Mb und Mc die Mittelpunkte der Dreiecksseiten a, b, c.

Man geht zurest mit dem Vektor $\vec a$ zum Punkt A, dann von A nach Mb und von Mb nach S, also
$\vec s = \vec a+ \vec {AMb} + \vec {MbS}$
Nun ist $\vec{AMb}=\frac{1}{2}\vec {AC}=\frac{1}{2}(\vec c -\vec a)$ und $\vec {MbS}=\frac{1}{3} \vec {MbB} = \frac{1}{3}(\vec b - \vec {Mb})=\frac{1}{3}[\vec b - \frac{1}{2}(\vec c + \vec a)]$
Damit ist $\vec s = \vec a+ \vec {AMb} + \vec {MbS} = \vec a + \frac{1}{2}(\vec c -\vec a) + \frac{1}{3}[\vec b - \frac{1}{2}(\vec c + \vec a)]=\vec a + \frac{1}{2} \vec c - \frac{1}{2} \vec a + \frac{1}{3} \vec b - \frac{1}{6} \vec c - \frac{1}{6}\vec a = \frac{1}{3} \vec c + \frac{1}{3} \vec b + \frac{1}{3} \vec b = \frac{1}{3} (\vec a + \vec b + \vec c)$

Hinweis: $\vec {MbS}=\frac{1}{3} \vec {MbB}$ erhält man aus dem Strahlensatz!

  Aufgabe 2

Bestimmen Sie die Koordinaten des Schwerpunkts S des Dreiecks mit den Eckpunkten A(1;2;3), B(6;5;4) und C(5;2;-1).
Um was für ein besonderes Dreieck handelt es sich?

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$\vec s = \frac{1}{3} \left [ \left ( \begin{array}{c} 1 \\\ 2 \\\ 3 \end{array}\right) + \left ( \begin{array}{c} 6 \\\ 5 \\\ 4 \end{array}\right) + \left ( \begin{array}{c} 5 \\\ 2 \\\ -1 \end{array}\right) \right ] = \frac{1}{3} \left ( \begin{array}{c} 12 \\\ 9 \\\ 6 \end{array}\right) =\left ( \begin{array}{c} 4 \\\ 3 \\\ 2 \end{array}\right)$, also S(4;3;2).

Die Seitenlängen des Dreiecks sind: $\bar {AB} = \sqrt{5^2+3^2+1^2}=\sqrt{35}$, $\bar {BC}=\sqrt {(-1)^2+(-3)^2+(-5)^2}=\sqrt{35}$, $\bar {AC}=\sqrt{4^2+0^2+-4^2}=\sqrt{32}$, also ist das Dreieck gleichschenklig.

  Aufgabe 3

Buch S. 98 / 12

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Es ist $\vec m = \frac{1}{2}(\vec a + \vec b)$

a) $\vec m=\left ( \begin{array}{c} 2 \\\ -3 \\\ 4 \end{array}\right)$
b) $\vec m=\left ( \begin{array}{c} 0 \\\ 0 \\\ 0 \end{array}\right)$
c) $\vec m=\left ( \begin{array}{c} 2 \\\ -3 \\\ 4,3 \end{array}\right)$
d) $\vec m=\left ( \begin{array}{c} 4 \\\ -3 \\\ 1 \end{array}\right)$
e) $\vec m=\left ( \begin{array}{c} -4 \\\ 3 \\\ 0,5 \end{array}\right)$

f) $\vec m=\left ( \begin{array}{c} 1,5 \\\ 0 \\\ 0 \end{array}\right)$

Die beiden Formeln zum Mittelpunkt einer Strecke und Schwerpunkt eines Dreiecks stehen in der Merkhilfe!

  Aufgabe 4

Buch S. 98 / 8
Buch S. 98 / 9
Buch S. 99/ 14
Buch S. 98 / 10

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98/8
Im Bild im Buch sind die Vektoren $\vec a=\vec {AB}$ und $\vec d=\vec {AD}$ gegeben. Desweiteren weiß man $\vec {DC}=\frac{1}{2} \vec a$. Dann sind:
$\vec {BC}=-\vec a + \vec d + \frac{1}{2} \vec a=\vec d - \frac{1}{2}\vec a$,
$\vec {DC} = \frac{1}{2} \vec a$
$\vec {AC} = \vec a + \vec {BC}=\vec a + \vec d - \frac{1}{2} \vec a=\frac{1}{2} \vec a + \vec d$
$\vec {BD}=-\vec a + \vec d$

98/9 Es ist C(0;4;0) und D(0;0;0). C und D ergeben sich eindeutig, da die Pyramide gerade ist. Eine Pyramide ist gerade, wenn ihr Höhenfußpunkt gleich dem Mittelpunkt des Umkreises der Grundfläche ist.

a) $\vec {AS}=\vec s - \vec a =\left ( \begin{array}{c} -2 \\\ 2 \\\ 6 \end{array}\right)$
$\vec {BS}=\vec s - \vec b =\left ( \begin{array}{c} -2 \\\ -2 \\\ 6 \end{array}\right)$
$\vec {CS}=\vec s - \vec c =\left ( \begin{array}{c} 2 \\\ -2 \\\ 6 \end{array}\right)$
$\vec {dS}=\vec s - \vec d =\left ( \begin{array}{c} 2 \\\ 2 \\\ 6 \end{array}\right)$
b) Es ist O = 4·A + G, wenn A eine Seitenfläche und G die Grundfläche ist.
$O = 4 \cdot \frac{1}{2}\cdot 4 \cdot \sqrt {2^2+6^2} + 4^2=16 \sqrt {10} + 16=16(1+\sqrt{10})$
Der Winkel SBC im Dreieck SBC ist der gleiche wie im Dreieck SBF, wenn F der Höhenfusspunkt der Höhe von S auf [BC] ist. Das hat den Vorteil, dass das Dreieck SBF bei F rechtwinklig ist. Dann ist $\bar {BC} = 2$ und $\bar {SB}=\sqrt {2^2+\sqrt{40}^2}=2\sqrt {11}$. Dann ist im Dreieck SBF der Winkel $\varphi$ durch $cos \varphi = \frac{2}{2\sqrt {11}}$ gegeben und es ist $\varphi = 72,45^o$.

99/14
Den Bildpunkt P* erhält man durch $\vec p ^*=\vec p + \vec v$.
a) $\left ( \begin{array}{c} 3 \\\ 4 \\\ 3 \end{array}\right)$
b) $\left ( \begin{array}{c} 1 \\\ 3 \\\ 0 \end{array}\right)$

98/10

Da man Vektoren angeben soll kommt es nicht auf den Anfangspunkt an, daher ist $\vec u=\frac{1}{4} \vec {AB} , \vec v = \frac{3}{4} \vec {BA}, \vec w=\frac{5}{4}\vec{AB}$.

Merke Der Teilpunkt T teilt eine Strecke [AB] im Teilverhältnis $\tau$. Dabei ist $\tau = \frac{\bar{AT}}{\bar{TB}}$. Dabei ist zu beachten, dass hier die Reihenfolge eine Rolle spielt. Wenn T die Strecke [AB] teilt, dann geht man von A zu T und dann von T zu B. Dann ist $\tau = \frac{\bar{AT}}{\bar{TB}}$. Teilt T die Strecke [BA], dann geht man von B zu T und von T zu A, es ist dann $\tau = \frac{\bar{BT}}{\bar{TA}}$. Durch die Verwendung von Vektoren hat man den Vorteil, dass das Teilverhältnis auch negativ sein kann. Man definiert: $\vec {AT}=\tau \cdot \vec {TB}$ Da Vektoren auch entgegengesetzt gerichtet sein können ist nun auch ein negatives $\tau$ sinnvoll. Ist $\tau$ positiv, dann ist T ein innerer Teilpunkt. (T liegt innerhalb der Strecke [AB].) Ist $\tau$ negativ, dann ist T ein äußerer Teilpunkt. (T liegt außerhalb der Strecke [AB].) Mehr dazu auf Wikipedia.

  Aufgabe 5

a) Welche Lage hat T für $\tau =1$?
b) In welchem Intervall liegt $\tau$, wenn T zwischen A und dem Mittelpunkt von [AB] liegt?
c) In welchem Intervall liegt $\tau$, wenn T zwischen dem Mittelpunkt von [AB] und B liegt?
d) In welchem Intervall liegt $\tau$, wenn T hinter B liegt?
e) In welchem Intervall liegt $\tau$, wenn T vor A liegt?

Welche Bedeutung hat der grüne Punkt?

[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

a) T ist der Mittelpunkt von [AB].
b) $0< \tau <1$
c) $1< \tau < \infty$
d) $-\infty < \tau <-1$

e) $-1< \tau < 0$