M11 Skalarprodukt

In Physik hat man gelernt, dass Arbeit W das Produkt aus der Kraft F, die in Wegrichtung entlang des Weges s wirkt. Man schreibt dann W = F·s. Was macht man aber, wenn man einen Leiterwagen zieht?

Nach unserer Arbeitsdefinition muss man den Wagen so wie er abgebildet ist nach vorne ziehen. Dazu muss man sich bücken und es ist sehr unbequem. Man wird den Handgriff hochnehmen, aber dann wirkt die Kraft nicht mehr in Wegrichtung sondern ist schräg dazu. Wenn die Zugstange senkrecht nach oben gerichtet ist, kann man den Leiterwagen gar nicht ziehen. Wie macht sich das dann in der Arbeit bemerkbar?
Man löst das, indem man die Kraftkomponente F_s in Wegrichtung betrachtet und damit die Arbeit Arbeit W = F_s·s berechnet.

F_s ist die waagrechte Kraftkomponente von F in Fahrtrichtung.

In der Mathematik führt man hierzu das Skalarprodukt ein, dies wird dann in der Physik auch verwendet und man sagt dann, dass die Arbeit W das Skalarprodukt des Kraftvektors $\vec F$ mit dem Wegvektor $\vec s$ ist, also $W = \vec F \circ \vec s$ oder ohne Vektoren $W = F\cdot s \cdot cos(\varphi)$.

Merke: Für die Vektoren $\vec a=\left ( \begin{array}{c} a_1 \\\ a_2 \\\ a_3 \end{array}\right)$ und $\vec b=\left ( \begin{array}{c} b_1 \\\ b_2 \\\ b_3 \end{array}\right)$ definiert man das Skalarprodukt $\vec a \circ \vec b = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3$. Das Ergebnis des Skalarprodukts $\vec a \circ \vec b$ ist eine Zahl (ein Skalar). Es ist $\vec a \circ \vec b = \left ( \begin{array}{c} a_1 \\\ a_2 \\\ a_3 \end{array}\right) \circ \left ( \begin{array}{c} b_1 \\\ b_2 \\\ b_3 \end{array}\right) = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3$. Für das Malzeichen verwenden wir einen Kringel $\circ$, damit man das Multiplizieren von Vektoren vom Multiplizieren von Zahlen unterscheidet. Es ist weiterhin, wenn $\varphi$ der Winkel zwischen den Vektoren $\vec a$ und $\vec b$ ist $\vec a \circ \vec b =|\vec a||\vec b|cos(\varphi)$

Beispiele:
1. $\vec a \circ \vec b = \left ( \begin{array}{c} 2 \\\ 3 \\\ -1 \end{array}\right) \circ \left ( \begin{array}{c} 3 \\\ 2 \\\ 2 \end{array}\right) = 2\cdot 3 + 3\cdot 2 + (-1)\cdot 2=10$.
2. $\vec a \circ \vec b = \left ( \begin{array}{c} -1 \\\ 2 \\\ 3 \end{array}\right) \circ \left ( \begin{array}{c} 3 \\\ 2 \\\ -2 \end{array}\right) = -1\cdot 3 + 2\cdot 2 + 3\cdot (-2)=-5$.

Merke: Dies führt zur Definition des Winkels. Der Winkel $\varphi$ der Winkel zwischen den Vektoren $\vec a$ und $\vec b$ ist gegeben durch $cos \varphi =\frac{\vec a \circ \vec b}{|\vec a||\vec b|} = \frac{a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3}{|\vec a||\vec b|}$

Beispiele:
1. $\vec a =\left ( \begin{array}{c} -2 \\\ 0 \\\ 3 \end{array}\right)$, $\vec b=\left ( \begin{array}{c} 2 \\\ 2 \\\ 3 \end{array}\right)$. Es ist $|\vec a|=\sqrt {13}, |\vec b|=\sqrt {17}, \vec a \circ \vec b = \left ( \begin{array}{c} -2 \\\ 0 \\\ 3 \end{array}\right) \circ \left ( \begin{array}{c} 2 \\\ 2 \\\ 3 \end{array}\right) = -2\cdot 2 + 0\cdot 2 + 3\cdot 3=5$.
Damit ist $cos \varphi = \frac{\vec a \circ \vec b}{|\vec a| \cdot |\vec b|}=\frac{5}{\sqrt{13}\cdot \sqrt{17}}\approx 0,3363$, also $\varphi = 70,3^o$
2. $\vec a =\left ( \begin{array}{c} -2 \\\ -1 \\\ 2 \end{array}\right)$, $\vec b=\left ( \begin{array}{c} 0 \\\ 2 \\\ 1 \end{array}\right)$. Es ist $|\vec a|=3, |\vec b|=\sqrt 5, \vec a \circ \vec b = \left ( \begin{array}{c} -2 \\\ -1 \\\ 2 \end{array}\right) \circ \left ( \begin{array}{c} 0 \\\ 2 \\\ 1 \end{array}\right) = -2\cdot 0 + -1\cdot 2 + 2\cdot 1=0$.
Damit ist $cos \varphi = \frac{\vec a \circ \vec b}{|\vec a| \cdot |\vec b|}=\frac{0}{3\cdot \sqrt 5}=0$, also $\varphi = 90^o$.

Merke Haben die zwei Vektoren $\vec a$ und $\vec b$ gleiche Richtung, dann ist $\varphi = 0^o$ und $cos \varphi = 1$. Dann ist $\vec a \circ \vec b = |\vec a||\vec b|$. Ist insbesondere $\vec b = \vec a$, dann ist $\vec a \circ \vec a = |\vec a||\vec a|=|\vec a|^2$. Hier ist das Skalarprodukt $\vec a \circ \vec a$ gleich dem Quadrat des Betrags des Vektors $\vec a$ . Haben die zwei Vektoren $\vec a$ und $\vec b$ entgegengesetzte Richtung, dann ist $\varphi = 180^o$ und $cos \varphi = -1$. Dann ist $\vec a \circ \vec b = -|\vec a||\vec b|$. Schließen die beiden Vektoren $\vec a$ und $\vec b$ einen Winkel $\varphi = 90^o$, dann stehen die beiden Vektoren senkrecht zueinander. Es ist $cos \varphi = 0$. Damit ist $\vec a \circ \vec b = |\vec a||\vec b|cos(90^o)=|\vec a||\vec b|\cdot 0=0$. Die beiden Vektoren $\vec a$ und $\vec b$ heißen senkrecht oder orthogonal zueinander. Dies giilt auch umgekehrt. Ist das Skalarprodukt $\vec a \circ \vec b = 0$, dann stehen die Vektoren $\vec a$ und $\vec b$ senkrecht zueinander . $\vec a$ und $\vec b$ sind orthogonal.

  Aufgabe 1

1. Finden Sie einen Wert für k, so dass die Vektoren $\vec a = \left ( \begin{array}{c} 1 \\\ 0 \\\ 2 \end{array}\right)$ und $\vec b = \left ( \begin{array}{c} k \\\ 5 \\\ 5 \end{array}\right)$ senkrecht zueiander sind.

2. Weise nach, dass die Einheitsvektoren $\vec e_1 =\left ( \begin{array}{c} 1 \\\ 0 \\\ 0 \end{array}\right), \vec e_2=\left ( \begin{array}{c} 0 \\\ 1 \\\ 0 \end{array}\right), \vec e_3 = \left ( \begin{array}{c} 0 \\\ 0 \\\ 1 \end{array}\right)$ unseres dreidimensionalen Koordinatensystems senkrecht zueinander stehen.

3. Finden Sie einen Vektor $\vec n =\left ( \begin{array}{c} n_1 \\\ n_2 \\\ n_3 \end{array}\right)$, der senkrecht auf den zwei Vektoren $\vec a =\left ( \begin{array}{c} 1 \\\ 0 \\\ 2 \end{array}\right)$ und $\vec b =\left ( \begin{array}{c} 3 \\\ 4 \\\ -2 \end{array}\right)$ steht.

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$\vec a \circ \vec b= \left ( \begin{array}{c} 1 \\\ 0 \\\ 2 \end{array}\right) \circ \left ( \begin{array}{c} k \\\ 5 \\\ 5 \end{array}\right)=k+0+10 = k+10$. Es ist k+10 = 0 für k = -10.

2. Es ist $\vec e_1 \circ \vec e_2 = \left ( \begin{array}{c} 1 \\\ 0 \\\ 0 \end{array}\right) \circ \left ( \begin{array}{c} 0 \\\ 1 \\\ 0 \end{array}\right) = 0+0+0=0$,
$\vec e_1 \circ \vec e_3 = \left ( \begin{array}{c} 1 \\\ 0 \\\ 0 \end{array}\right) \circ \left ( \begin{array}{c} 0 \\\ 0 \\\ 1 \end{array}\right) = 0+0+0=0$,
$\vec e_2 \circ \vec e_3 = \left ( \begin{array}{c} 0 \\\ 1 \\\ 0 \end{array}\right) \circ \left ( \begin{array}{c} 0 \\\ 0 \\\ 1 \end{array}\right) = 0+0+0=0$
Also sind $\vec e_1, \vec e_2, \vec e_3$ paarweise senkrecht zueinander.

3. Es muss sein: $\left ( \begin{array}{c} n_1 \\\ n_2 \\\ n_3 \end{array}\right)\circ \left ( \begin{array}{c} 1 \\\ 0 \\\ 2 \end{array}\right) = n_1 + 2n_3 = 0$ und $\left ( \begin{array}{c} n_1 \\\ n_2 \\\ n_3 \end{array}\right) \circ \left ( \begin{array}{c} 3 \\\ 4 \\\ -2 \end{array}\right )= 3n_1 + 4 n_2 - 2n_3 = 0$
Man hat also zwei Gleichungen $n_1 + 2n_3 = 0$ und $3n_1 + 4 n_2 - 2n_3 = 0$.
Löst man die erste Gleichung nach $n_1$ auf, so ist $n_1 = -2n_3$. Dies setzt man in die zweite Gleichung ein und erhält $3(-2n_3) + 4 n_2 - 2n_3 = 0$.
Dies führt zu der Gleichung $4n_2 = 8n_3$.
Wählt man $n_3 =1$, dann ist $n_2 = 2, n_1=-2$ und man hat den Vektor $\vec n=\left ( \begin{array}{c} -2 \\\ 2 \\\ 1 \end{array}\right)$.
$\vec n$ steht senkrecht zu den Vektoren $\vec a, \vec b$.

Probe: $\left ( \begin{array}{c} -2 \\\ 2 \\\ 1 \end{array}\right) \circ \left ( \begin{array}{c} 1 \\\ 0 \\\ 2 \end{array}\right) = -2+2=0$ und $\left ( \begin{array}{c} -2 \\\ 2 \\\ 1 \end{array}\right) \circ \left ( \begin{array}{c} 3 \\\ 4 \\\ -2 \end{array}\right )=-6+8-2=0$

Merke Rechengesetze für das Skalarprodukt Für Vektoren $\vec a. \vec b, \vec c$ und reelle Zahlen r,s gilt: Kommutativgesetz $\vec a \circ \vec b = \vec b \circ \vec a$ $(r \cdot \vec a)\circ (s \cdot \vec b)=(r\cdot s)\cdot (\vec a \circ \vec b)$ Distributivgesetz $\vec a \circ (\vec b + \vec c)=\vec a \circ \vec b + \vec a \circ \vec c$ Beachten Sie bitte die unterschiedlichen Malzeichen $\circ$ für Vektoren und $\cdot$ für Zahlen bzw. S-Multiplikation. Man kann hier auch wie gewohnt rechnen!

  Aufgabe 2

Buch S. 111 / 1
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111/1
a) $cos \varphi = \frac{2+2}{\sqrt 5 \cdot \sqrt 5}=\frac{4}{5}= 0,8$ liefert $\varphi = 36,9^o$
b) $cos \varphi = \frac{0+24-+24}{\sqrt {34} \cdot 10}=\frac{0}{10\sqrt{34}}= 0$ liefert $\varphi = 90^o$
c) $cos \varphi = \frac{-10-10-10}{\sqrt {12} \cdot \sqrt {75}}=\frac{-30}{30}= -1$ liefert $\varphi = 180^o$
d) $cos \varphi = \frac{0+80-6}{\sqrt {126} \cdot 10}=\frac{74}{10\sqrt{126}}= 0,6592$ liefert $\varphi = 48,8^o$
e) 90^o
f) 31^o
g) 0^o
h) 180^o
i) 144,7^o

111/2 a) $\vec a \circ \vec b = \left ( \begin{array}{c} q \\\ 3 \\\ 2 \end{array}\right) \circ \left ( \begin{array}{c} 1 \\\ 0 \\\ -1 \end{array}\right) = q-2$.
(1) Die Gleichung q-2 = 0 hat die Lösung q = 2.
(2) Da in $\vec a$ a₂=3 ist und bei $\vec b$ b₂=0 können die Vektoren nicht gegeneinander gerichtet sein.
Rechnerisch führt das zur Gleichung $-1 = cos 180^o=\frac{\vec a \circ \vec b}{|\vec a||\vec b|}=\frac{q-2}{\sqrt{q^2+13}\cdot \sqrt 2}$, also $-\sqrt{q^2+13}\cdot \sqrt 2 = q-2$ oder $\sqrt {2q^2+26}=2-q$.
Quadriert man die letze Gleichung , dann erhält man $2q^2+26 = q^2-4q+4$ und in der üblichen Form einer quadratischen Gleichung $q^2 +4q+22=0$, deren Diskriminante D = -84, also negativ ist. Die quadratische Gleichung hat also keine Lösung.
b) (1) q = 3, (2) $q = -\frac{5}{3}$ (Hier nicht rechnen, sondern die Koordinaten vergleichen!)
c) (1) q = 2 , (2) keine Lösung (bei $\vec a$ müsste a₂=a₃ sein.)

111/3 a) s = -2
b) s = -4 oder s = 1
c) $s_{1,2}=\pm 2$

111/4 Hier geht es nun um die andere Formel für das Skalarprodukt $\vec a \circ \vec b = |\vec a||\vec b|cos\varphi$.
a) $\vec a \circ \vec b = |\vec a||\vec b|cos\varphi =4\cdot 3 \cdot cos(45^o)=6\sqrt 2$
$-\vec a \circ \vec b = -|\vec a||\vec b|cos\varphi =-4\cdot 3 \cdot cos(45^o)=-6\sqrt 2$
b) $\vec a \circ \vec b = |\vec a||\vec b|cos\varphi =1\cdot 6 \cdot cos(30^o)=3\sqrt 3$
$-\vec a \circ \vec b = -|\vec a||\vec b|cos\varphi =-1\cdot 6 \cdot cos(30^o)=-3\sqrt 3$
c) $\vec a \circ \vec b = |\vec a||\vec b|cos\varphi =10\cdot 5 \cdot cos(135^o)=-25\sqrt 2$
$-\vec a \circ \vec b = -|\vec a||\vec b|cos\varphi =-10\cdot 5 \cdot cos(135^o)=25\sqrt 2$
d) $\vec a \circ \vec b = |\vec a||\vec b|cos\varphi =2,5\cdot 4 \cdot cos(72^o)\approx 3,09$

$-\vec a \circ \vec b = -|\vec a||\vec b|cos\varphi =-2,5\cdot 4 \cdot cos(71^o)\approx -3,09$

  Aufgabe 3

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Notiere die Formel für die senkrechte Projektion.
Buch S. 111 / 7

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Merke Die Formel für die senkrechte Projektion $\vec p$ des Vektors $\vec b$ auf den Vektor $\vec a$ ist $\vec p =\frac{\vec b \circ \vec a}{\vec a^2}\cdot \vec a$ Beachten Sie, dass in Zähler und Nenner des Bruches vor $\vec a$ Zahlen stehen! Insbesondere ist im Nenner $\vec a^2 = |\vec a|^2$.

111/7a) $\vec p = \frac{\vec b \circ \vec a}{\vec a^2}\cdot \vec a = \frac{\left ( \begin{array}{c} 1 \\\ 2 \\\ -2 \end{array}\right) \circ \left ( \begin{array}{c} 7 \\\ 4 \\\ -4 \end{array}\right) }{\left ( \begin{array}{c} 1 \\\ 2 \\\ -2 \end{array}\right) ^2}\cdot \left ( \begin{array}{c} 1 \\\ 2 \\\ -2 \end{array}\right)=\frac{23}{9} \left ( \begin{array}{c} 1 \\\ 2 \\\ -2 \end{array}\right)$

b) $\vec p = \frac{\vec b \circ \vec a}{\vec a^2}\cdot \vec a = \frac{\left ( \begin{array}{c} 2 \\\ 5 \\\ -14 \end{array}\right) \circ \left ( \begin{array}{c} 2 \\\ 2 \\\ -1 \end{array}\right) }{\left ( \begin{array}{c} 2 \\\ 5 \\\ -14 \end{array}\right) ^2}\cdot \left ( \begin{array}{c} 2 \\\ 5 \\\ -14 \end{array}\right)=\frac{28}{225} \left ( \begin{array}{c} 2 \\\ 5 \\\ -14 \end{array}\right)$

  Aufgabe 4

Buch S. 111 / 9

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a) Es ist $\vec {AB} = \left ( \begin{array}{c} -3 \\\ 2 \end{array}\right), \vec {AC}= \left ( \begin{array}{c} -9 \\\ 1 \end{array}\right), \vec {BC} = \left ( \begin{array}{c} -6 \\\ -1 \end{array}\right)$ und $|\vec {AB}|=\sqrt {13}, |\vec {AC}|=\sqrt {82}, |\vec {BC}|=\sqrt {37}$
$cos \alpha = \frac{\vec {AB} \circ \vec {AC}}{|\vec {AB}||\vec {AC}|} = \frac{29}{\sqrt {13} \cdot \sqrt {82}}\approx 0,8882$, also $\alpha = 27,35^o$
$cos \beta = \frac{\vec {BA} \circ \vec {BC}}{|\vec {BA}||\vec {BC}|} = \frac{-16}{\sqrt {13} \cdot \sqrt {37}}\approx -0,7295$, also $\beta = 136,85^o$
$cos \gamma = \frac{\vec {CA} \circ \vec {CB}}{|\vec {CA}||\vec {CB}|} = \frac{53}{\sqrt {82} \cdot \sqrt {37}}\approx 0,9622$, also $\gamma = 15,80^o$
Das Dreieck ist stumpfwinklig und seine längste Seite ist [AC] mit $|\vec {AC}|=\sqrt {82}$

b) Es ist $\vec {AB} = \left ( \begin{array}{c} 2 \\\ -2 \\\ 4 \end{array}\right), \vec {AC}= \left ( \begin{array}{c} -3 \\\ 1 \\\ 5 \end{array}\right), \vec {BC} = \left ( \begin{array}{c} -5 \\\ 3 \\\ 1 \end{array}\right)$ und $|\vec {AB}|=\sqrt {24}, |\vec {AC}|=\sqrt {35}, |\vec {BC}|=\sqrt {35}$

$cos \alpha = \frac{\vec {AB} \circ \vec {AC}}{|\vec {AB}||\vec {AC}|} = \frac{12}{\sqrt {24} \cdot \sqrt {35}}\approx 0,4140$, also $\alpha = 65,54^o$
$cos \beta = \frac{\vec {BA} \circ \vec {BC}}{|\vec {BA}||\vec {BC}|} = \frac{12}{\sqrt {24} \cdot \sqrt {35}}\approx 0,4140$, also $\beta = 65,54^o$
$cos \gamma = \frac{\vec {CA} \circ \vec {CB}}{|\vec {CA}||\vec {CB}|} = \frac{23}{\sqrt {35} \cdot \sqrt {35}}\approx 0,6571$, also $\gamma = 48,92^o$
Das Dreieck ist gleichschenklig-spitzwinklig. Sein Umfang ist $u=2\sqrt{35}+2\sqrt 6$, sein Flächeninhalt $A=\sqrt {174}$

c) Es ist $\vec {AB} = \left ( \begin{array}{c} 2 \\\ 1\\\ 2 \end{array}\right), \vec {AC}= \left ( \begin{array}{c} 1 \\\ -1 \\\ 4 \end{array}\right), \vec {BC} = \left ( \begin{array}{c} -1 \\\ -2 \\\ 2 \end{array}\right)$ und $|\vec {AB}|=3, |\vec {AC}|=\sqrt {18}, |\vec {BC}|=3$

$cos \alpha = \frac{\vec {AB} \circ \vec {AC}}{|\vec {AB}||\vec {AC}|} = \frac{9}{3 \cdot \sqrt {18}}=\frac{\sqrt 2}{2}$, also $\alpha =45^o$
$cos \beta = \frac{\vec {BA} \circ \vec {BC}}{|\vec {BA}||\vec {BC}|} = \frac{0}{3 \cdot \sqrt {18}}= 0$, also $\beta = 90^o$
$cos \gamma = \frac{\vec {CA} \circ \vec {CB}}{|\vec {CA}||\vec {CB}|} = \frac{9}{\sqrt {18} \cdot 3}=\frac{\sqrt 2}{2}$, also $\gamma = 45^o$

Das Dreieck ist gleichschenklig-rechtwinklig. Der Flächeninhalt seines Umkreises ist $A_{Kreis}=4,5 \pi$

  Aufgabe 5

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