M9 Die allgemeine Wurzel

Zu Beginn des Schuljahres haben wir $\sqrt a$ als die positive Zahl definiert, die quadriert a ergibt. Diese Definition wird nun erweitert.

Merke:

Die n-te Wurzel $\sqrt [n] {a}$ aus a mit n $\in$ N\{1} und a $\in$ R⁺₀ ist diejenige nicht negative reelle Zahl, deren n-te Potenz a ist.

$(\sqrt [n] {a})^n = a$

Die Zahl a unter dem Wurzelzeichen heißt Radikand, n ist der Wurzelexponent.

Es ist 1. $\sqrt [n] {a} \ge 0$
2. $(\sqrt [n] {a})^n = a$
3. $\sqrt [n] {a^n} = a$ falls a ≥ 0

Für $\sqrt [n] {a}$ schreibt man auch $\sqrt [n] {a} = a^{\frac{1}{n}}$ .

Wenn a < 0 ist, dann hat die quadratische Gleichung x² = a keine Lösung. Wenn nun n eine ungerade Zahl ist, dann gibt es Lösungen. Die Gleichung x³ = -8 hat die Lösung x = -2, da (-2)³ = -8 ist. Also kann man unterscheiden:

Merke

Die Gleichung xⁿ = a kann zwei Lösungen, eine Lösung oder keine Lösung haben, je nachdem ob:

n gerade ist und
a > 0, dann ist L={ $-\sqrt [n] {a}, \sqrt [n] {a}$ }
a = 0, dann ist L = {0}
a < 0, dann ist L = { }

n ungerade ist und
a > 0, dann ist L={ $\sqrt [n] {a}$ }
a = 0, dann ist L = {0}
a < 0, dann ist L = { $-\sqrt [n]{a}$ }

Beispiele: $\sqrt [5] {1024} = 4$
$\sqrt [4] {0,0016} = 0,2$
$\sqrt [10] {1024} = 2$
$\sqrt [3] {216} = 6$
$\sqrt [5] {243} = 3$
$\sqrt [3] {729} = 9$

Mit der n-ten Wurzel hat man die Möglichkeit weitere Gleichungen zu lösen:
x³ = 216 hat die Lösung x = 6
x³ = -216 hat die Lösung x = -6
x⁵ = 1024 hat die Lösung x = 4
x⁴ = 256 hat die Lösungen x = -4 und x = 4
x⁴ = 2401 hat die Lösungen x = -7 und x = 7
x⁵ = -243 hat die Lösung x = -3
x⁴ = -256 hat die keine Lösung

Aufgabe 1

Buch S. 111 / 1, 2, 3, 4

[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

111/1 a) 2; 6; 3; 2; 10; 0; 1
b) 20; 400; 10; 100; 3; 1
c) 0,3; 0,2; 0,05; $\frac{2}{3}$ ; $\frac{4}{3}$ ; 8

111/2

111/3 a) D = $R_0^+$ und ...= a²
D = $R_0^+$ und ...= b³
D = $R_0^+$ und ...= $c^{\frac{1}{3}} = \sqrt [3]{c}$
D = $R_0^+$ und ...= 3·b²

b) D = $R^+$ und ...= d^-1
D = $R^+$ und ...= e^-2
D = $R^+$ und ...= f^-2
D = $R_0^+$ und ...= 17b

c) D = $R_0^+$ und ...= 5·g²
D = $R^+$ und ...= 10·h²
D = $R_0^+$ und ...= 5·k^0,2n+1 D = $R_0^+$ und ...= 12·b²

111/4 a) $x^3 = - 125$ --> $x = -5$ , L = {-5}
b) $x^6 = - 32$ --> L = { }
c) $x^2 = 8$ --> $x =2\sqrt 2$ , L = { $2\sqrt2$ }
d) $x^4 = 8$ --> $x =\sqrt [4]{8}$ , L = { $x =\sqrt [4]{8}$ }
e) $x^4 = 81$ --> $x = \pm 3$ , L = {-3,3}