M9 Die allgemeine Wurzel

Zu Beginn des Schuljahres haben wir $\sqrt a$ als die positive Zahl definiert, die quadriert a ergibt. Diese Definition wird nun erweitert.

Merke:

Die n-te Wurzel $\sqrt [n] {a}$ aus a mit n $\in$ N\{1} und a $\in$ R⁺₀ ist diejenige nicht negative reelle Zahl, deren n-te Potenz a ist.

$(\sqrt [n] {a})^n = a$

Die Zahl a unter dem Wurzelzeichen heißt Radikand, n ist der Wurzelexponent.

Es ist 1. $\sqrt [n] {a} \ge 0$
2. $(\sqrt [n] {a})^n = a$
3. $\sqrt [n] {a^n} = a$ falls a ≥ 0

Für $\sqrt [n] {a}$ schreibt man auch $\sqrt [n] {a} = a^{\frac{1}{n}}$ .

Beispiele: $\sqrt [5] {1024} = 4$ Tipp: Mache die Umkehrrechnung $4^5=1024$ !
$\sqrt [4] {0,0016} = 0,2$
$\sqrt [10] {1024} = 2$
$\sqrt [3] {216} = 6$
$\sqrt [5] {243} = 3$
$\sqrt [3] {729} = 9$

Wenn a < 0 ist, dann hat die quadratische Gleichung x² = a keine Lösung. Wenn nun n eine ungerade Zahl ist, dann gibt es Lösungen. Die Gleichung x³ = -8 hat die Lösung x = -2, da (-2)³ = -8 ist. Also kann man unterscheiden:

Merke

Die Gleichung xⁿ = a kann zwei Lösungen, eine Lösung oder keine Lösung haben, je nachdem ob:

n gerade ist und
a > 0, dann ist L={ $-\sqrt [n] {a}, \sqrt [n] {a}$ }
a = 0, dann ist L = {0}
a < 0, dann ist L = { }

n ungerade ist und
a > 0, dann ist L={ $\sqrt [n] {a}$ }
a = 0, dann ist L = {0}
a < 0, dann ist L = { $-\sqrt [n]{-a}$ } (Wenn a < 0 ist, dann ist -a > 0!)

Mit der n-ten Wurzel hat man die Möglichkeit weitere Gleichungen zu lösen:
x³ = 216 hat die Lösung x = 6
x³ = -216 hat die Lösung x = -6
x⁵ = 1024 hat die Lösung x = 4
x⁴ = 256 hat die Lösungen x = -4 und x = 4
x⁴ = 2401 hat die Lösungen x = -7 und x = 7
x⁵ = -243 hat die Lösung x = -3
x⁴ = -256 hat die keine Lösung

Aufgabe 1

Buch S. 111 / 1, 2

[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

111/1 a) 2; 6; 3; 2; 8; 10; 0; 1
b) 20; 400; 10; 100; 3; 1
c) 0,3; 0,2; 0,05; $\frac{2}{3}$ ; $\frac{4}{3}$ ; 2; $\frac{1}{4}=0,25$ ; 1,5

111/2

Für die kommenden Aufgaben sind die Potenzgesetze hilfreich.

Aufgabe Wiederholung der Potenzgesetze

Zum Wiederholen und Üben der Potenzgesetze: Potenzgesetze, Aufgaben 1, Aufgaben 2

Merke

Es ist $\sqrt [n]{a^n} = a = (\sqrt [n]{a})^n$ .

Aufgabe 2

Buch S. 111 / 3, 4

[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

111/3 a) D = $R_0^+$ und ...= a²
D = $R_0^+$ und ...= b³
D = $R_0^+$ und ...= $c^{\frac{1}{3}} = \sqrt [3]{c}$
D = $R_0^+$ und ...= 3·b²

b) D = $R^+$ und ...= d^-1
D = $R^+$ und ...= e^-2
D = $R^+$ und ...= f^-2
D = $R_0^+$ und ...= 17b

c) D = $R_0^+$
$\sqrt [4]{625\cdot g^2\cdot (g^3)^2}$
Hier fasst man zuerst den Radikand zusammen es ist $g^2 \cdot (g^3)^2=g^2\cdot g^6=g^{2+6}=g^8$ und $625 = 5^4$ . Damit formt man um $\sqrt [4]{625\cdot g^2\cdot (g^3)^2}=\sqrt [4]{5^4\cdot g^8}=\sqrt [4]{5^4\cdot (g^2)^4}=5\cdot g^2$

D = $R^+$
$\sqrt [3]{\frac{h^7}{0,001\cdot h}}=\sqrt [3] {\frac{h^6}{\frac{1}{1000}}}=\sqrt [3]{1000\cdot h^6}=\sqrt [3]{10^3\cdot (h^2)^3}=10\cdot h^2$

D = $R_0^+$ und
Hier fasst man zuerst die k's im Radikand zusammen:
$\sqrt [5]{\frac{k^{2n+3}}{0,00032\cdot k^n\cdot k^{-2}}}=\sqrt [5]{0,2^5\cdot k^{2n+3-n-(-2)}}=\sqrt [5]{0,2^5\cdot k^{n+5}}=\sqrt [5]{0,2^5 \cdot k^{5(0,2n+1)}}=0,2\cdot k^{0,2n+1}$

D = $R_0^+$ und
$\sqrt [3]{1728\cdot b^6}=\sqrt [3] {12^3 \cdot (b^2)^3}=12\cdot b^2$

111/4 a) $x^3 = - 125$ --> $x = -5$ , L = {-5}
b) $x^6 = - 32$ --> L = { }
c) $x^2 = 8$ --> $x =\pm 2\sqrt 2$ , L = { $-2\sqrt2;2\sqrt2$ }
d) Multipliziert man die Gleichung mit $x^3$ , dann erhält man $x^4 = 8$ --> $x =\pm \sqrt [4]{8}$ , L = { $-\sqrt [4]{8};\sqrt [4]{8}$ }
e) $x^4 = 81$ --> $x = \pm 3$ , L = {-3,3}