M10 Der Logarithmus

Die Gleichung $2^x = 4$ ist ganz leicht zu lösen. Man erhält $x = 2$ . Dies geht immer gut, wenn der Wert auf der rechten Seite eine Potenz der Basis ist, also
$2^x = 1024$ hat die Lösung $x = 10$ ,
$5^x = 625$ hat die Lösung $x = 4$ ,
$3^x = 243$ hat die Lösung $x = 5$ .

Doch was macht man, wenn die Gleichung $2^x = 5$ lautet?

Man hatte schon einmal ein ähnliches Problem. Die Gleichung $x^2 = 4$ hat die Lösungen $x_1 = -2$ und $x_2=2$ . Für die Gleichung $x^2 = 5$ hat man dann neue Zahlen eingeführt, die Wurzeln, und die Gleichung hatte die Lösungen $x_1 = -\sqrt 5, x_2 = \sqrt 5$ .

Für die Gleichung $2^x = 5$ muss man, um eine Lösung zu haben, neue Zahlen einführen, die Logarithmen bzw. den Logarithmus.

Merke:

Die Gleichung $a^x = p$ mit a $\in$ R⁺ und p > 0 hat die Lösung $x = log_a (p)$ .

Man spricht für $x = log_a (p)$ : "x ist der Logarithmus von p zur Basis a"

Beispiele: $2^x = 4$ hat die Lösung $x = log_2(4) = 2$
$3^x = 243$ hat die Lösung $x = =log_3(243)=5$
$10^x = 5$ hat die Lösung $x = log_{10}(5)$
$2^x = 19$ hat die Lösung $x = log_2[18)$

Merke:

Es ist $log_a(a^r) = r$

$log_a(1) = 0$

Rechengesetze des Logarithmus

Logarithmus eines Produkts: $log_a(p\cdot q) = log_a(p) + log_a(q)$

Logarithmus eines Quotienten: $log_a(\frac{p}{q})=log_a(p) - log_a(q)$

Logarithmus einer Potenz: $log_a(p^r) = r\cdot log_a(p)$

Zur Begründung der Rechenregeln:
1. $log_a(p\cdot q) = log_a(p) + log_a(q)$ erhält man durch folgende Überlegung:
$p = b^x$ und $q = b^y$ . Dann ist $p\cdot q = b^x \cdot b^y = b^{x+y}$ , also $x + y = log_b(p\cdot q)$ .
Da $x = log_b (p)$ und $y = log_b(q)$ ist erhält man $log_b(p)+log_b(q)=x+y=log_b(p\cdot q)$ .

2. $log_a(\frac{p}{q}) = log_a(p) - log_a(q)$ erhält man durch folgende Überlegung:
$p = b^x$ und $q = b^y$ . Dann ist $p : q = b^x : b^y = b^{x-y}$ , also $x - y = log_b(p : q)$ .
Da $x = log_b (p)$ und $y = log_b(q)$ ist erhält man $log_b(p)-log_b(q)=x-y=log_b(p: q)=\log_b(\frac{p}{q})$ .